0:00
Энергетический метод вычисления сил.
В электрическом поле.
Значит, вот такая типичная задача,
которую можно решить вот таким, энергетическим способом.
Она вот такая вот, допустим.
Представим себе, что у вас есть конденсатор, заряженный.
Ну, и вот, скажем,
в него вставлена вот такая диэлектрическая пластинка, ну вот ε, да?
Ну и вот мы хотим узнать, какая же сила...
Ну, давайте обозначим глубину через x, да?
Вот эта сила F со значком x.
Ну, вообще, известная, потом я вам покажу даже, в следующий раз, эксперимент
Такая пластинка должна втягиваться внутрь заряженного конденсатора.
И нам эту силу хотелось бы определить И вот каким образом можно это сделать?
Для этого можно использовать метод виртуальных перемещений.
А именно: предположить, что эта пластинка (мысленно,
конечно) перемещается на расстояние dx какой-то,
ну давайте напишем лучше сначала Δx, да?
И для этого перемещения мы пишем закон сохранения энергии,
который включает изменение энергии электрической,
запасенной в системе, и работу, которую совершит электрическое поле.
Ну и вот, из этого соотношения будем пытаться получить силу,
которая вот втягивает пластинку.
Ну, естественно, так мысленно совершая это виртуальное перемещение,
мы должны это сделать, очевидно, квазистатически,
чтобы в баланс энергии не входили кинетические энергии Это понятно, да?
Бесконечно медленно.
Но этого недостаточно, мы должны сделать еще некоторое предположение.
А именно: нужно оговорить электрические условия,
при которых это перемещение происходит.
А какие могут быть условия?
Ну вот два типичных варианта, которые мы и рассматриваем.
Первый вариант: при таком перемещении сохраняется заряд, q = const.
То есть на пластину ничего не натекает, новый заряд, и не утекает с пластин заряд.
Это один из вариантов рассуждений.
А второй вариант, это когда мы будем предполагать, что U есть...
разность потенциалов есть const.
Ну, в первом случае, очевидно, пластины изолированы, да?
Раз заряд их не меняется.
А второй случай — когда пластины присоединены к какой-то,
к какому-то источнику, к батарее, которая поддерживает разность
потенциалов между этими обкладками постоянно.
Ну и вот первый случай, он чуть попроще немножко.
Значит, мы напишем закон сохранения энергии, предположив, что это,
так сказать, наша пластинка, в нашем примере, можем
ее в другой пример, другую конфигурацию взять, но это просто удобный пример.
Переместилась на Δx, и тогда,
поскольку система изолирована,
то изменение электрической энергии «плюс» работа,
ну, ΔA, механическая, вот так я напишу, да?
Вот такая сумма должна равняться 0.
Ну, а дальше совсем просто.
Ну, механическая энергия, то есть вернее, работа механических сил,
это есть Fx * Δx.
Да? Вот это закон сохранения энергии.
Ну, если так, тогда мы переходим к пределу,
и в конце концов получим вот такое выражение.
Если q = const, тогда Fx будет выражаться вот
такой формулой: ну, видно,
здесь будет −DWэ по Dx,
Нужно просто продифференцировать выражение для электрической энергии по координате x.
x — глубина погружения пластины внутрь конденсатора, да?
И при этом нужно обязательно указать,
при каком условии электрическом нужно вот дифференцировать эту энергию.
Вот это делаем таким образом.
Здесь просто мы пишем, вот здесь указываем ту величину,
которая при этом должна быть принята неизменной.
Ну, из формул...
Вот если мы сейчас посмотрим на написанные,
оставшиеся здесь на доске формулы, то видно,
как вот эти вот формулы выражают энергию конденсатора.
Ну, значит, очевидно, C будет функция...
C в данном случае, вот давайте, удобная форма такая,
значит, Wэ = q квадрат,
а это постоянная величина, деленная на 2C (x).
Вот такая вот формула выражает энергию конденсатора как функцию координаты x.
Ну вот значит, мы, если сюда подставим это выражение,
продифференцируем его, то Fx = ну,
тут получится Fx = q квадрат / 2C квадрат, да?
Это со знаком «+».
А еще будет, ну, такая вот dc, по dx, – вот такая производная.
Вот такое выражение получится для силы,
действующей на на такую пластину.
Обратите внимание, что сюда входит dc по dx, То есть,
чем глубже мы вдвигаем диэлектрик, тем, мы уже знаем,
емкость будет расти, стало быть эта производная положительна.
Ну и Fx тоже положительна.
То есть этот расчет показывает, что сила,
действующая на пластинку диэлектрическую, положительна.
Она...
диэлектрик втягивается внутрь конденсатора.
Вот такое вот у нас получилось выражение.
Ну, что здесь можно сказать?
Обращаю внимание ваше, что вот эту формулу вот можно немножко преобразовать.
[ПАУЗА] Вот давайте,
у нас есть еще несколько минут.
Значит, нужно просто попытаться явно записать C (x).
Как выразиться?
Что такое C (x)?
Ну, мы давайте предположим, что конденсатор имеет пластинки L x L,
вот так вот, да, квадратные пластинки.
А что такое C такого вот конденсатора, такого, состоящего из двух частей?
Это пустая часть, и, так сказать, заполненная диэлектриком часть.
Ну, это будет вот что.
Это будет, ну, по формуле плоского конденсатора, L * (L − x),
это площадь пластин пустой части конденсатора,
деленная на 4πd + L * x,
это площадь пластин заполненной части конденсатора, да, деленный тоже на 4πd.
Ну, это будет...
А что тут, а?
А, ε не хватает, я позабыл.
Заполненная часть вот конденсатора имеет...
задано ε, поэтому в эту формулу должна войти такая вот...
Ну, понятно, если мы Ну, если, можно так записать: это есть L, тут 4πd, да?
А здесь будет...
Что там будет?
Еще L, да?
А здесь будет x + x ( ε − 1 ), вот так, кажется, если не ошибаюсь.
Что-то не хватает тут, да?
Ребята, вот здесь что-то я L, где-то L должно быть еще...
А, все правильно, да?
Тогда, теперь сразу, чему равняется производная?
dc(x) по dx, она будет равняться...
Ну, это будет L * ( ε − 1 ) ÷ 4πd, да?
А стало быть, вот я напишу последнюю формулу, и мы разойдемся.
Fx, сила, будет равняться q квадрат на C квадрат.
Это что такое, q квадрат на C квадрат?
Это есть U квадрат, поделенное на 2.
q ÷ C, это есть разность потенциалов, да?
А тут напишем мы вот эту формулу,
L * ( ε − 1 ) ÷ 4πd, да?
Ну а q квадрат, можно еще...
Я немножко тороплюсь уже, чтобы вас не задерживать.
Это будет E квадрат * на d квадрат,
это как раз и есть квадрат разности потенциалов, да,
поделенное на 8π, ну вот тут d возникает, да?
И умножить на что там еще?
Ну, вот на L * ( ε − 1 ), да, вот такая формула.
Ну вот сейчас мы видим вообще, зачем это делается.
Тогда можно вот что сделать.
Здесь получится вот чего: (ε * E квадрат ÷ 8π) − (E квадрат ÷ 8π),
это вот такая разница, а здесь получится произведение L * d.
Вот это L * d, что такое L * d?
Это площадь торца.
Да?
Вот это есть площадь торца S.
Ну, и формула...
Что такое первый член?
Это объемная плотность энергии в диэлектрике, да?
Ну скажем, с индексом 1.
А это объемная плотность энергии пустой части конденсатора −Wэ с индексом 2.
И вот смотрите, что здесь получается.
Что сила, которая действует на торец,
оказывается пропорциональна его площади вот этой вот, да?
А коэффициент пропорциональности равен разности
объемных плотностей энергии внутри диэлектрика и вне его.
Почему я на это внимание ваше обращаю?
Буквально одну минутку, ребята.
Я вас спрошу, где на самом деле действует сила,
которая втягивает диэлектрик в конденсатор, в каком месте она приложена?
>> Там, где неоднородность поля.
>> Там, где неоднородность поля.
Где неоднородность поля?
Она только вот здесь вот, да?
Вот сила действует в этой области, где поле неоднородно.
Где есть диполи этого вещества,
а на диполь сила действует только в неоднородном поле и,
стало быть, это поле точно мы не знаем, и нам это не нужно.
А мы знаем результирующую силу,
но ее можно представить вот с таким вот множителем,
и вот такое выражение, умножаемое на площадь торца.
Можно представить себе формально,
как если бы сила действовала на поверхности вот здесь, этого торца.
Тогда разность объемных плотностей энергии что представляет собой?
Это поверхностная плотность силы.
Значит, вот таким образом можно свести объемную силу к поверхностной.
Видите, каким невероятно интересным свойством обладает электрическое поле.
Сила, которая действует в объеме с неизвестной структурой поля, может быть
сведена к поверхностной силе, которая действует там, где поле-то хорошее.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
