Ну теперь мне хочется немножко тут заняться небольшими преобразованиями.
Вот видите, сюда...
вот, допустим, в первую формулу входят ток, ну вот,
элемент тока, и вот определенный таким образом вектор B.
Оказывается, можно сделать по-другому.
Можно в качестве формулы, определяющей, что такое вектор B, ввести другую формулу.
Дело в том, что непосредственный эксперимент по измерению сил,
действующих на элемент тока...
а элемент тока нельзя выделить отдельно,
он всегда находится в составе замкнутой цепи.
Это вообще трудный эксперимент.
То есть, в принципе это можно сделать,
но практически это затруднительный эксперимент.
И можно поэтому или, вернее,
целесообразно поэтому преобразовать, перейти к другому определению.
Вот давайте мы с вами рассмотрим такую задачу.
Значит, представим себе какой-то проводник, вот я рисую такое толстое,
массивное тело этого проводника, по которому протекает какой-то ток, и вот мы,
как уже делали раньше, выделим некоторую трубку тока.
Ну и вот, возьмем ее элемент, скажем,
сечение dS, а длинна этого элемента dl.
Ну и здесь, по этой трубке тока, протекает ток и плотность...
вектор плотности тока — это j.
Вот такой вектор плотности тока.
Ну и мы хотим преобразовать, мы хотим применить закон Ампера,
формулу Ампера вот к этому элементу тока.
Ну предполагается, что все находится в каком-то магнитном поле, ну например,
вот таком, и тогда можно представить себе,
что сила, которая действует, это Амперова сила, так называемая,
действует вот на этот элемент тока, она сводится к силам,
действующим на отдельные носители заряда, которые в это
время находятся в этом элементе тока и перемещаются с некоторой скоростью.
Так вот, мы вспомним, что вектор j можно представить вот таким образом.
Концентрация n умножить на заряд отдельного носителя,
ну вот в случае металлов — это заряд электрона, да,
и умножить на дрейфовую скорость V.
Это вот плотность тока.
Ну а теперь, давайте преобразуем вот эту формулу.
Значит, вместо тока I мы напишем вот такое выражение.
Значит, dF по-прежнему будет равняться, вместо тока мы напишем...
Значит, ну ток I можно представить
так: это j * ds, и это в скалярной форме.
А если в векторной форме, вектор j направлен как и элемент dl.
Поэтому, мы можем j внести под знак векторного произведения,
а dl наоборот изгнать оттуда.
Тогда получится вот такое выражение.
dF = ds * dl, ну напишем здесь этот коэффициент C внизу,
а под знаком векторного произведения у нас будет
находится вектор j * ну вот на вектор B.
Ну, теперь осталось сделать...
Ну естественно, dS * dl — это элемент объема, да.
А теперь осталось только вместо j вот написать,
применить эту формулу,
и под знаком векторного произведения сохранить V вместо j.
Тогда формула преобразуется к такому виду.
Значит, здесь будет элемент объема dV
* n * q, ну вот здесь c,
а под знаком векторного произведения будет стоять V * B.
Ну вот такая формула получается,
если вот так применить все это к элементу тока,
к элементу трубки тока, можно так сказать, в которой находится какое-то
число носителей, движущихся с некоторой дрейфовой скоростью V.
Ну теперь вот смотрите, что означает вот эта комбинация, dV * n?
Объем, элемент объема на концентрацию?
Это есть число носителей, которые в данный
момент вот движутся в этом элементе тока и создают магнитное поле.
Поэтому вот магнитное поле...
и создают магнитное поле, и на них действует эта сила.
Так вот, сила, которая действует на 1 заряд может быть записана так.
Это есть q, поделенное на c и векторное произведение V * B.
Вот эта формула называется формулой Лоренца.
И сила, которая действует на один заряд,
движущийся в магнитном поле, называется силой Лоренца.
Или точнее, это магнитная компонента силы Лоренца.
А есть еще электрическая компонента.
Чему она равна?
Если еще бы здесь было электрическое поле,
какая электрическая сила действует на заряд?
E, то есть, q * E, где E — напряженность электрического поля.
Нас сейчас пока это не интересует, мы занимаемся магнитной частью.
Так вот эта сила Лоренца, она, вот эта формула показывает,
какая сила действует на единичный заряд, который со скоростью...
Простите пожалуйста, сила Лоренца показывает, какая сила действует на заряд
q, который движется со скоростью V в магнитном поле B.
Так вот эту формулу, которая, собственно говоря,
является следствием закона Ампера и можно наоборот, и приняв эту формулу,
получить закон Ампера, эту формулу можно принять за определение вектора B.
Эту формулу довольно легко проверить, я хочу вам показать
сейчас эксперимент, ну вот, такой не очень хитрый эксперимент,
который нам покажет, в чем тут дело.
Значит, вот у нас электронная трубка, где пятнышко, которое, наверное,
видите, – зеленое.
Это все наверное уже знают, это есть след пучка электронов,
которые попадают на экран.
Ну и вот это электроны, это ускоренный пучок электронов,
на которых есть некоторый ток.
В данном случае,
прямой ток от соответствующей электронной пушки и вот до экрана.
А мы будем действовать на этот ток магнитным полем постоянного магнита.
Посмотрите пожалуйста, как тут происходит.
Если мы подносим этот магнит сбоку, вот например, слева от вас,
то пучок отклоняется вверх.
Ну если это пучок электронов, то куда направлен ток?
С учетом его знака?
Это в обратную, ток направлен сюда.
Туда, в сторону электронной пушки.
Значит, магнитное поле направлено вот так.
Пучок откланяется вот так.
Такая тройка векторов получается.
Это еще раз показывает,
что адекватным математическим понятием является векторное произведение.
Видите, во все три...
Тут есть вектора, направленные во всех трех направлениях.
Вот это и есть действие магнитного поля на движущийся заряд.
Конечно, измерив отклонение, зная скорость этого электронного пучка,
можно узнать и силу, которая действует на...
Конечно, это может быть не так и просто,
но это в принципе уже гораздо более простая задача, чем измерять силу,
действующую на элемент тока, на кусок провода.
Ну вот такой момент есть.
Давайте мы еще, раз уже мы занялись этим вопросом,
и сделали пересчет к одиночному заряду,
и нашли выражение для силы Лоренца, и вот это и есть...
как я уже сказал...
можно рассматривать, как определение вектора B,
равноценное определению того же вектора с помощью закона Ампера.
Так вот можно, оказывается, преобразовать и вторую формулу.
Формула это выражает, повторяю, магнитное поле,
создаваемое в некоторой точке элементом тока Idl.
На выбранном, отмеченном в контуре постоянного тока.
Когда мы, если хотим мы найти полное поле, нужно поэлементно
весь этот ток пройти, сосчитать отдельные вклады и векторно их сложить.
Так вот, давайте преобразуем формулу, выражающую закон Био-Савара.
Ну, идея такая же.
Придется мне вот здесь, наверное.
На этот раз, что нам нужно сделать?
Снова я рисую вот эту картинку, протекание тока по какому-то массивному проводнику.
Вот это — трубка тока, ее элемент dl — это вектор j.
Ну теперь вот мы хотим найти магнитное поле в какой-то точке.
Вот это точка, определяемая радиусом-вектором r.
Ну и вот теперь мы будем преобразовывать эту формулу.
Ну снова вместо тока I вот здесь можно подставить,
вместо тока, j * dS.
Ну и снова вот вытащить,
поскольку вектор j направлен так же, как вектор dl,
то можно вектор j внести под знак векторного произведения, а dl вытащить.
Тогда получится вот такая, такое выражение.
dB = что тут будет,
dS, ну там, c внизу мы не должны забыть,
а здесь еще появится dl, которое мы вытащили из-под знака векторного
произведения, а под знаком останется j * r,
да, вот такое произвведение, а здесь r в 3.
Ну а дальше вместо j нужно подставить,
использовать вот эту формулу, и теперь уже вектор V у нас будет,
вектор скорости будет внесен под знак векторного произведения.
Ну а здесь появится вот такое выражение.
Значит, ну снова элемент dV, это dS * dl, элемент объема,
а дальше вытащить здесь n и q, ну здесь будет c.
Что дальше будет?
Дальше будет стоять вот такой вектор на произведение V * B
ну и поделенное на r в 3.
А, то есть нет, извиняюсь, это я не то написал, да.
Прошу прощения, здесь не B, а r просто стоит, вектор r.
Вот такой вектор стоит.
Ну а дальше снова мы вспомним,
что вот это dV * n — это есть число носителей,
которые движутся в этом выборном элементе тока, и стало быть...
А это — магнитное поле, создаваемое всеми этими носителями.
Значит, если поделим мы сейчас вот на этот объем, на dV * n,
мы тем самым сделаем пересчет к отдельному,
к магнитному полю, создаваемому...
к вкладу в магнитное поле, создаваемое отдельным движущимся зарядом.
И вот эта вот формула B движущегося заряда
будет выражаться такой формулой.
q / c, а здесь будет стоять вектор, ну, нехорошо я начал тут.
Так, где у меня тряпка, я чего-то ее...
а, вот она.
Повыше нужно приподнять это векторное произведение.
Здесь будет стоять V * r / r в 3.
Ну и последнее, что здесь можно сделать,
я обращаю внимание, что если мы внесем этот куб под знак векторного произведения,
то здесь образуется вот такая комбинация: q * r,
вектор r, поделенное на r в 3.
Что это такое, а?
q, заряд, умноженное на вектор r и поделенное на r в 3, это что такое?
Это Кулоновское поле вот этого самого заряда в той же самой точке.
Поэтому эту формулу написать можно так: 1 / c,
а здесь стоит векторное произведение V * E.
То есть, магнитное поле движущегося заряда,
оно связано с его собственным электрическим полем,
и в этом смысле магнитное поле, оно выступает как поле,
как объект второго сорта.
Потому что электрическое поле создается зарядами,
а магнитное поле создается электричеством, то есть...
Как бы, вот такое магнитное поле является таким,
ну что ли вторичным проявлением электричества, я бы так сказал.
И вот такая симметрия есть.
Но об этом мы будем еще много раз говорить.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
