En este video de Fundamentos de Estadística Aplicada vamos a presentar una síntesis de las principales fórmulas y supuestos para la aplicación y el cálculo de intervalos de confianza. En videos anteriores de este curso, nos ocupamos de la definición conceptual de un intervalo de confianza, así como de la lógica para su construcción, aplicación e interpretación. En el video que vamos a desarrollar, presentaremos un resumen de los intervalos de confianza de uso más común, así como de los supuestos necesarios para aplicar y calcular dichos intervalos en estimación de parámetros poblacionales de interés. Este resumen está estructurado en forma de tabla en la que, para cada caso de intervalo de confianza, se presentan las diferentes características que debe tener la población y los supuestos y el tamaño de la muestra aleatoria que se requieren para poder aplicar y calcular dicho intervalo. Como características relevantes se considera la distribución de la población, si se conoce o no la varianza poblacional y el tamaño requerido de la muestra aleatoria. En la última columna de la tabla, aparece la expresión matemática del intervalo de confianza con base en la cual se puede obtener el cálculo del intervalo a partir de los resultados de la muestra aleatoria específica que se haya utilizado. La tabla que vamos a presentar contiene doce casos de intervalos de confianza que se utilizan para estimar la media poblacional mu, la diferencia de medidas poblacionales, mu sub uno menos mu sub dos, la proporción poblacional p, la diferencia de proporciones poblacionales p sub uno menos p sub dos, la varianza poblacional sigma al cuadrado y, finalmente, el cociente sigma uno al cuadrado sobre sigma dos al cuadrado entre las varianzas de dos poblaciones. Esta primera parte de la tabla contiene cuatro casos de intervalos de confianza que se refieren a la estimación de la media poblacional mu. En particular, en el caso número uno tenemos una población con distribución normal, la varianza poblacional sigma al cuadrado se supone conocida, el tamaño de la muestra no tiene ninguna limitación particular. En ese caso, entonces, el intervalo de confianza es dado por límite inferior X barra menos el percentil de uno menos alfa medios por ciento de la distribución normal estándar multiplicada por sigma dividido por raíz de n. De la misma manera, el límite superior es dado por la expresión X barra, más el percentil de uno o menos alfa medios por ciento de la distribución normal estándar multiplicado por sigma dividido por raíz de n. Debe ser perfectamente claro que, una vez se tiene una muestra de aleatoria particular, entonces, todos los términos del intervalo serían conocidos, en este caso, que estoy describiendo, por ejemplo, además de las constantes sigma y n, tendríamos el percentil que está determinado por el nivel de confianza del intervalo, así que también se conocería y, finalmente, por X barra que se calcula con base en los valores que se tienen en la muestra. A continuación, vamos a presentar un ejemplo numérico del caso de intervalo de confianza números dos. Consideremos una variable aleatoria X con distribución normal, de la cual tenemos una muestra aleatoria de tamaño siete, cuyos datos se presentan en la pantalla. Nuestro interés es calcular el intervalo de confianza del 95 por ciento de confiabilidad para la media de esta variable. ¿Cuál de los casos vistos anteriormente podemos utilizar? Verifiquemos los supuestos. Empezamos por precisar cuál es la distribución de la población. En nuestro caso, normal. ¿Cómo es la varianza poblacional, conocida o desconocida? En nuestro caso, no nos dan información, así que la supondremos desconocida. Luego, debemos precisar si el tamaño de la muestra es grande o es pequeño. En nuestro caso es pequeño. Verificados los supuestos, vemos que el caso número dos se ajusta y las condiciones perfectas para nuestro ejercicio, así que, tomémoslo para poder encontrar cuáles son los límites de nuestro intervalo. Empecemos por determinar qué valor toma la T, recuerden que este valor depende de cuál es el nivel de confianza del intervalo que estamos construyendo, en nuestro caso 95 por ciento. Eso quiere decir, que el percentil de la variable aleatoria T que debemos encontrar es el percentil de 97,5. Una vez lo hayamos, que corresponde a 2,447 podemos, entonces, continuar obteniendo la información que necesitamos para nuestro intervalo. Calculamos, a partir de los datos, el valor de X barra y el valor de S cuadrado para encontrar así la desviación muestral. Una vez tenemos la información, lo que debemos hacer es reemplazar. Tal como aparece en la pantalla, luego de realizar las operaciones obtenemos nuestro intervalo calculado. ¿Cómo lo interpretamos? Con un nivel de confiabilidad del 95 por ciento, el intervalo de confianza para la media de la variable aleatoria X se encuentra entre 4,27 y 7,65 unidades. Esta segunda parte de la tabla contiene cuatro casos que se refieren a la estimación de la diferencia de medias poblacionales, mu sub uno menos mu sub dos. Voy a describir, en particular, el caso de intervalo número siete, que se refiere a dos poblaciones cuyas muestras aleatorias son independientes entre sí, no hay ninguna restricción sobre la distribución de dichas poblaciones, las varianzas poblacionales sigma uno al cuadrado y sigma sub dos al cuadrado son conocidas, se requiere que el tamaño de las muestras de cada una de las dos poblaciones sea suficientemente grande, mayor igual que 30 y con esos supuestos tendríamos que el intervalo está conformado de la siguiente forma: el límite inferior está guiado por X uno barra menos X dos barra, que no es otra cosa que un estimador centrado de mu sub uno menos mu sub dos, menos el percentil de uno menos alfa medios por ciento de la distribución normal estándar, multiplicado por la raíz cuadrada de sigma uno al cuadrado dividido por n sub uno más sigma dos al cuadrado dividido por n sub dos y, de manera similar, el límite superior estaría dado por X uno barra menos X dos barra más el percentil de uno menos alfa promedio por ciento de la distribución normal estándar, multiplicado por la raíz cuadrada de sigma sub uno al cuadrado, dividido por n sub uno más sigma sub dos al cuadrado dividido por n sub dos. A continuación, vamos a presentar un ejemplo numérico del caso intervalo de confianza que acabo de describir. Consideremos dos variables aleatorias independientes con varianzas poblacionales conocidas dadas por: varianza de la población uno igual a dos, varianza de la población dos igual 1,5. Cada una de estas dos variables aleatorias tiene su respectiva muestra. En este caso, la muestra aleatoria de la población uno tiene un tamaño de 58 y muestra aleatoria de la población dos tiene un tamaño de 36 elementos. Nuestro interés es calcular el intervalo de confianza del 95 por ciento de confiabilidad para la diferencia de las medias, mu uno menos mu dos. ¿Cuál de los casos podemos utilizar en esta oportunidad? Verifiquemos los supuestos. Empecemos por validar si las dos poblaciones que estoy analizando se comportan de manera independiente. En este caso tenemos ese supuesto verificado. Ahora bien, debemos identificar cuál es la distribución de la población, no nos dan información, así que podría ser cualquier tipo de distribución. Luego, debemos verificar si las varianzas de la población son conocidas o desconocidas, en este caso las dos son conocidas y tenemos los valores específicos ya dados. Ahora bien, nos preguntan si el tamaño de las muestras son grandes o son pequeñas. En nuestro caso, las dos son grandes, ya que las dos muestras aleatorias tienen un tamaño muestral superior a 30. Verificados los supuestos, vemos que el caso que podemos utilizar en esta oportunidad corresponde al caso número siete. ¿Cómo calculamos? Bueno, encontremos entonces los valores de cada uno de los ítems que hacen parte de este intervalo. ¿Cuánto vale X barra uno, X barra dos, sigma uno cuadrado, sigma dos cuadrado, los respectivos tamaños de muestra y el valor de la variable aleatoria Z? Muy bien, con base en los datos de las muestras aleatoria, podemos calcular la media muestral, la desviación muestral y tenemos, obviamente, el tamaño de la muestra. ¿Qué utilizamos? ¿Varianza poblacional, desviaciones muestrales o varianzas muestrales y lo elevamos al cuadrado? En esta oportunidad dijimos que uno de los supuestos era que las varianzas eran conocidas, es decir, que no podemos utilizar los valores muestrales, porque conocemos el valor poblacional. Encontremos el valor de Z, teniendo en cuenta que el intervalo de confianza que estamos construyendo es del 95 por ciento, el percentil que debemos hallar corresponde al percentil del 97,5 por ciento. En nuestro caso, tiene un valor de 1,96; lo podrían verificar si ustedes realizan el cálculo en Excel. Muy bien, vamos entonces a reemplazar la información que ya tenemos en el intervalo del caso número siete. Luego de resolver las operaciones que están planteadas en este intervalo, obtenemos el intervalo calculado que nos indica que el intervalo de confianza del 95 por ciento para la diferencia de las medias de la población uno menos la población dos se encuentra entre 1,46 y 2,54 unidades. Esta parte de la tabla contiene dos intervalos de confianza. El primero se refiere a la estimación de una proporción poblacional p y el segundo, a la estimación de una diferencia de proporciones poblacionales p sub uno menos p sub dos. Me voy a referir, en particular, al caso número nueve que corresponde a una población con distribución de Bernoulli. La varianza poblacional es desconocida, puesto que depende del parámetro p, el tamaño de la muestra debe ser grande, mayor o igual que 30 y, en ese caso, el intervalo de confianza tendría los siguientes límites: p sombrero, que se calcula como la sumatoria de los Xi dividido por n, es decir, no es otra cosa que la media muestral, menos el percentil de uno menos alfa medio por ciento de la distribución normal estándar, multiplicado por la raíz de p sombrero por uno menos p sombrero dividido por n y, de la misma manera, el límite superior del intervalo estaría dado por p sombrero más el percentil de uno menos alfa medios por ciento de la distribución normal estándar multiplicado por la raíz de p sombrero por uno menos p sombrero dividido por n. A continuación, vamos a presentar un caso numérico que se refiere exactamente a la situación que acabo de describir. Consideremos una variable aleatoria X con distribución de Bernoulli de parámetro p, de la cual contamos con una muestra aleatoria tamaño 50, cuyos datos parciales se presentan en la pantalla. Nuestro interés es calcular un intervalo de confianza del 95 por ciento de confiabilidad para el parámetro p de esta distribución. ¿Cuál de los intervalos vistos podemos utilizar? Verifiquemos los supuestos. La distribución de la población, conocida, Bernoulli, tal como nos lo dan en el enunciado, varianza poblacional, desconocida, no nos dan información al respecto, tamaño de la muestra, grande, ya que nos dicen que el tamaño de la muestra tiene 50 elementos. Verificados los supuestos para utilizar el caso número nueve de los casos vistos, podemos, entonces, tomar este intervalo para desarrollar. Calculemos, para empezar, el valor de p gorrito que corresponde a la sumatoria de los Xi sobre n donde esta sumatoria corresponde al total de éxitos dentro de mi muestra. Vamos a asumir un total de diez para nuestro ejercicio. Ahora bien, necesitamos encontrar el valor del Z para este intervalo, recuerden que depende del nivel de confiabilidad del intervalo que estamos construyendo, en este caso 95 por ciento, lo cual implica que debemos encontrar el percentil de 97,5 por ciento para la distribución normal estándar, la cual corresponde a 1,96. Pueden verificar este resultado en Excel. Una vez tenemos la información disponible, procedemos a reemplazar en el intervalo que tenemos. Una vez desarrollamos los procedimientos allí planteados, encontramos que el intervalo calculado corresponde a: con un 95 por ciento de confiabilidad, el parámetro p se puede encontrar entre 0,09 y 0,31. Para finalizar, tenemos dos casos de intervalo de confianza que se refieren a la estimación de la varianza poblacional sigma cuadrado y a la estimación de un cociente de varianzas poblacionales sigma uno al cuadrado sobre sigma sub dos al cuadrado. Me voy a referir en particular al caso número 11, que corresponde a una población con distribución normal. No hay ninguna restricción sobre el tamaño de la muestra. En ese caso, el intervalo de confianza para la varianza poblacional está dado por los siguientes límites: el límite inferior, n menos uno por S al cuadrado, donde S al cuadrado, por supuesto, es la varianza muestral, dividido por el percentil de uno menos alfa medios por ciento de una distribución ji cuadrado de n menos uno grados de libertad. De manera similar, en el límite superior del intervalo, tendríamos n menos uno por S cuadrado dividido por el percentil de alfa medios por ciento de la distribución ji cuadrado de n menos uno grados de libertad. Como en otros casos que ya hemos descrito en este video, a continuación, vamos a presentar un caso numérico que corresponde al intervalo que acabo de describir. Consideremos ahora una variable aleatoria X con distribución normal, de la cual contamos con una muestra aleatoria tamaño nueve, cuyos datos se presentan en la pantalla. Nuestro interés es calcular un intervalo de confianza del 95 por ciento de confiabilidad para el parámetro sigma al cuadrado. ¿Cuál de los intervalos vistos podemos utilizar? Bueno, para eso debemos, primero, identificar cuál es el parámetro por el cual queremos realizar la estimación, en este caso sigma cuadrado, verificar los supuestos, distribución de la población normal, tamaño de la muestra pequeño o grande, en este caso no hay ningún inconveniente, nuestro caso es pequeño y verificados estos supuestos, podemos entonces hacer uso del intervalo que se plantea en el caso 11. Para empezar, debemos calcular el valor de la varianza muestral tal como aparece en la pantalla, pueden verificar este resultado. Luego, debemos encontrar cuáles son los valores de los chi cuadrado que se necesita para construir el intervalo. En nuestro caso, debemos recordar que el intervalo que estamos construyendo es del 95 por ciento. Eso implica que debemos calcular no solamente el percentil del 97,5 que corresponde a 17,535, sino también, el percentil del 2,5 por ciento que corresponde a 2,180. Una vez hemos encontrado esta información, podemos simplemente reemplazar en el intervalo que hemos identificado y encontrar nuestro intervalo calculado. En este caso, el intervalo de confianza del 95 por ciento de confiabilidad para el parámetro sigma al cuadrado se encuentra entre 565,13 como límite inferior y 4.545,67 como límite superior. Recuerden que las unidades de este parámetro son unidades al cuadrado. Esperamos que les hubiera sido útil la aplicación de estos intervalos de confianza.
