[MÚSICA] [MÚSICA] En este video vamos a presentar y a discutir tres distribuciones de probabilidad continúas de gran importancia en estadística. Las distribuciones Chi cuadrado, t de Student, y F de Snedecor. La estadística diferencial se ocupa entre otros temas de estudiar parámetros de una distribución F sub x de X parámetro theta, de una variable aleatoria X con base en una muestra aleatoria X1, X2, Xn, de construir intervalos de confianza para estos parámetros, y de formular pruebas estadísticas para confrontar hipótesis acerca del valor de dichos parámetros. Para ello se utilizan diferentes tipos de estadísticas que son funciones que dependen de la muestra aleatoria de la forma T igual a H de X1, X2, Xn. En dicho contexto, los estadísticos y otros investigadores han identificado y definido unas pocas distribuciones que requieren para obtener la distribución de un estimador de un parámetro para construir intervalos de confianza o para evaluar hipótesis estadísticas entre otros. A diferencia de las distribuciones que se definieron y estudiaron en el tema de probabilidad, las llamadas distribuciones muestrales corresponden a operaciones o expresiones entre variables aleatorias tales como sumas, multiplicaciones, y cocientes. Lo importante aquí es que dichas variables aleatorias you han sido estudiadas y están completamente caracterizadas en el sentido de que se conoce su distribución de probabilidad, y por tanto, su función de densidad de probabilidad, su función de distribución acumulada y los parámetros que las caracterizan. Al confrontar hipótesis acerca del valor de un parámetro theta de una población, se utilizan estimadores muestrales, tales como la media muestral y la varianza muestral, que son variables aleatorias. Comencemos con lo que se conoce como distribución Chi cuadrado. Si se tiene un conjunto de n variables aleatorias Xi, cada una de ellas con distribución normal 0, 1 independientes entres sí, es decir, Xi es independiente de Xj para i diferente de j. Entonces, la suma de dichas variables aleatorias al cuadrado tiene una distribución Chi cuadrado de n grados de libertad. Es decir, la variable aleatoria Y, definida por Y igual a X1 al cuadrado, más X2 al cuadrado hasta Xn al cuadrado, tiene una distribución Chi cuadrado de n grados de libertad, también denotada por Chi cuadrado de parámetro n. En la gráfica que aparece a continuación se ilustra la forma genérica que tiene la función de densidad de probabilidad de esta variable. Propiedad tres. Si tenemos n variables aleatorias Y sub i con distribución Chi cuadrado de parámetro ni independientes entre sí, entonces, [MÚSICA] Es decir, la suma de variables aleatorias independientes con distribución Chi cuadrado de parámetro n sub i es una variable aleatoria con distribución Chi cuadrado de parámetro n con n igual a la sumatoria de los n sub i. Más adelante en la construcción de intervalos de confianza y en la evaluación de hipótesis estadísticas, va ser de utilidad calcular probabilidades asociadas a este tipo de variables tales como las siguientes. Se tiene una variable aleatoria Y con distribución Chi cuadrado con 10 grados de libertad. Uno. Calcular la probabilidad de que Y sea menor o igual que 18.3. Dos. Hallar el valor y tal que la probabilidad de que Y sea menor o igual que y es igual a 0.90, es decir, hallar el percentil del 90% de la variable aleatoria Y. Esas probabilidades se pueden hallar, bien sea, utilizando una tabla de la distribución acumulada de la variable, o simplemente utilizando la función correspondiente en Excel, tal como se ilustra a continuación. Procedamos entonces a calcular la probabilidad de que Y sea menor o igual que 18.3 para Y variable aleatoria con distribución Chi cuadrado con 10 grados de libertad. Utilizando la tabla de la distribución acumulada de una variable aleatoria de Chi cuadrado de n grados de libertad, para hallar la probabilidad solicitada, debemos identificar primero los grados de libertad de la variable aleatoria, en este caso, n igual a 10. Luego nos movemos sobre la fila hasta encontrar el valor de interés Y. Una vez encontrado el valor 18.3, identificamos en el encabezado de la tabla la probabilidad correspondiente a este valor. Esta probabilidad también puede ser calculada utilizando la función de Excel, que aparece en la pantalla. Observemos que al usar esta función se debe ingresar en orden. El valor x de interés, en este caso, 18.3. Luego, los grados de libertad, y por último, indicar si se debe usar la distribución de probabilidad acumulada, verdadero, o la función de densidad de probabilidad, falso. Veamos ahora cómo hallar el valor y tal que la probabilidad de que Y sea menor o igual que y es igual a 0.9 para Y con distribución Chi cuadrado de 10 grados de libertad. Para hallar dicho valor y utilizando la tabla que se muestra en pantalla, teniendo en cuenta que nos dan la probabilidad, buscamos este valor en la primera fila de la tabla y ubicamos la columna que tiene este valor de probabilidad. Luego, bajamos hasta encontrar la fila con los grados de libertad correspondientes, en este caso, n igual a 10. El valor en el que se cruzan fila y columna, es 15.98, que es el valor solicitado. Dicho valor y también puede ser calculado utilizando la función de Excel, que aparece en pantalla. Observemos que para utilizar esta función, se debe ingresar en orden, la probabilidad acumulada de interés, y luego los grados de libertad. [MÚSICA] [MÚSICA] [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA]