En este vídeo vamos a discutir acerca del concepto de prueba de hipótesis y específicamente en qué consisten, cómo se construyen y cómo se calculan y aplican en el contexto de la estimación de un parámetro. Por ejemplo, la media "mu" de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria "x". Consideremos una variable aleatoria "x" con función de probabilidad o función de densidad de probabilidad "f sub x dx", que depende de un parámetro "zeta", cuyo valor es desconocido. Se tiene una muestra aleatoria "x1, x2,..., xn" de la variable aleatoria "x". En términos conceptuales, una hipótesis estadística, es una afirmación acerca del valor del parámetro de la distribución de probabilidad de una población, si el tipo de distribución de la población se conoce o sobre el tipo de distribución de probabilidad de la población, si ésta es desconocida. Si la hipótesis especifica completamente la distribución, se llama hipótesis simple. De lo contrario, se dice que es una hipótesis compuesta. Hipótesis nula e hipótesis alterna en el contexto de pruebas de hipótesis. En pruebas de hipótesis estadísticas, se acostumbra llamar hipótesis nula "H0" aquella que se asume hasta el momento como válida e hipótesis alterna "H1" aquella que se presenta como nueva alternativa a la hipótesis "H0" que hasta el momento aparece como válida. Prueba estadística. Una prueba para confrontar dos hipótesis estadísticas "H0" y "H1", las cuales deben ser excluyentes. Es un procedimiento que permite tomar la decisión de no rechazar o de rechazar la hipótesis "H0" y consecuentemente, rechazar o no rechazar "H1", según los valores obtenidos en la muestra aleatoria y de acuerdo con cierto porcentaje admisible de error, que corresponde al nivel de significancia de la prueba. Región crítica. La región crítica asociada a la prueba de una hipótesis estadística es el conjunto de todos los posibles resultados de la muestra aleatoria, para los cuales la hipótesis nula "H0" es rechazada, de acuerdo con la prueba aplicada. Usualmente esta región se representa con base en la gráfica de la distribución de probabilidad del estadístico de prueba, como veremos más adelante. Antes de continuar con las definiciones y conceptos sobre hipótesis estadísticas, vamos a presentar un ejemplo introductorio. Cierto medicamento tiene hasta el momento una efectividad del 70 por ciento en cuanto a la cura de cierta dolencia. El laboratorio que lo produce ha realizado una mejora del producto y quiere establecer si la efectividad del medicamento ha aumentado a un nivel de 80 por ciento. Aquí, el parámetro de interés es el porcentaje de efectividad del medicamento, el cual se puede representar como la probabilidad "p", "p mayor o igual que cero, menor o igual que uno", de que un paciente seleccionado al azar que tome el medicamento se cure de la dolencia. El parámetro "p" corresponde al parámetro de una distribución de Bernoulli con probabilidad de éxito "p" y probabilidad de fracaso "q igual a uno menos p". En este contexto, se plantean las siguientes hipótesis estadísticas simples: "H0: p es igual a punto siete" y "H1: p es igual a punto ocho". ¿Mediante qué procedimiento estadístico podemos establecer si el porcentaje de efectividad del medicamento ha aumentado a un nivel de 80 por ciento? Se trata entonces de presentar técnicas estadísticas que permitan, con base en una muestra aleatoria de la población, tomar la decisión de rechazar la hipótesis nula "H0" optando, aceptando, la hipótesis alterna "H1" o de no rechazar la hipótesis "H0" descartando la hipótesis "H1". Las pruebas estadísticas se construyen y definen con base en: uno, una muestra aleatoria de la variable aleatoria "x" cuyo parámetro se está analizando. Dos, un estimador apropiado del parámetro sobre el cual se plantean las hipótesis. Tres, un estadístico de prueba, construido a partir del estimador del parámetro, con base en el cual se define la prueba estadística. En el caso de la efectividad del medicamento, por ejemplo, tendríamos: uno, una muestra aleatoria "x1, x 2,.., xn" de la variable aleatoria "x" que correspondería a una muestra de "n" personas que han tomado el medicamento. Para cada individuo "i" de la muestra, la variable "xi" tomará el valor de uno, si el medicamento resultó efectivo para ese individuo o de cero, si el medicamento no tuvo el efecto buscado. Dos, el estimador del parámetro "p" estaría dado por "p sombrero igual a x barra", que es un estimador apropiado de "p". Tres, el estadístico de prueba estaría dado por "EP igual a p sombrero menos p, dividido por la raíz cuadrada de p por uno menos p sobre n". Bajo la validez de la hipótesis nula "H0" dada por "p igual a punto siete", esta estadística tomaría la forma "p sombrero menos punto siete dividido por la raíz cuadrada de punto siete por uno menos punto siete dividido por n". Para un tamaño de la muestra suficientemente grande, esta estadística tiene aproximadamente una distribución normal de media cero y varianza uno, es decir, una distribución normal cero uno. Observemos entonces que el estadístico de prueba tomaría la forma: "x barra menos punto siete, dividido por la raíz cuadrada de punto siete por uno menos puntos siete dividido por n". Este estadístico puede tomar diferentes valores acorde con el resultado que produce la muestra aleatoria y que, dependiendo del resultado de esta estadística, se debe tomar la decisión de rechazar o de no rechazar la hipótesis nula "H0". Debe ser claro para los participantes que si "x barra" diera, por ejemplo, como resultado punto siete, lo cual es altamente improbable por la variabilidad de la muestra o un valor muy cercano a punto siete, deberíamos tender a no rechazar la hipótesis nula. Mientras que si "x barra" diera como resultado, por ejemplo, punto 78, deberíamos tender a rechazar la hipótesis nula. Un elemento fundamental de las pruebas de hipótesis es que inevitablemente tienen un nivel de error, puesto que la decisión está basada en el resultado que produce una estadística, que es una variable aleatoria. Ello hace que al aplicar una prueba estadística pueda suceder que se rechace la hipótesis nula, siendo en realidad esta verdadera, o que se acepte la hipótesis nula, siendo en realidad esta falsa. La discusión anterior motiva las definiciones que presentaremos a continuación.