[MUSIC] Empecemos con las variables aleatorias discretas. Si X es una variable aleatoria discreta y x chiquita, x minúscula, es uno de sus posibles valores. Entonces la probabilidad de que X tome cierto valor x chiquita, lo vamos a definir como P(x), o la probabilidad de que X sea igual a x minúscula. Esto se conoce como la función de probabilidad. A modo de ejemplo, tiramos un dado. X es la variable aleatoria que indica el número resultante del lanzamiento de ese dado. Si el dado es equilibrado, cada uno de los valores posibles que van de 1 a 6, tienen igual probabilidad de ocurrencia, 1/6. Entonces la función de probabilidad en este caso es constante, es siempre de 1/6 para todos los valores posibles que pueda tomar X. ¿Cómo se vería gráficamente esta distribución? Si hiciéramos el histograma o graficáramos la función de probabilidad, va a ser una recta constante. Donde las barritas van a tener una magnitud o una altura de 1/6 de probabilidad. Conocer la función de probabilidad nos va a permitir calcular distintas probabilidades. Por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un dado y sacar algún número entre 2 y 4? Eso es la probabilidad de sacar un 2, más la probabilidad de sacar un 3, más la probabilidad de sacar un 4, es decir 1/2. O por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual a 5? En esos casos conviene trabajar con el complemento. Eso es lo mismo que decir 1 menos la probabilidad de sacar algún número mayor que 5. Que en este caso es la probabilidad de sacar un 6, en ese caso es 5/6. En este caso puede resultar sencillo. Pero si uno conoce las funciones de distribución de probabilidad quizás un poco más complejas, puede facilitar mucho los cálculos. Entonces, volvamos a repasar que era el valor esperado o la esperanza matemática. No era más que una medida de lo que ocurre con más frecuencia de lo que ocurre en promedio. Es decir, el valor esperado de una variable aleatoria discreta X. La esperanza de X la vamos a denotar con esta letra griega miu, y va a ser una especie de promedio ponderado. Es decir, a cada uno de los valores que puede tomar X lo voy a multiplicar por su probabilidad de ocurrencia, y voy a sumar todo eso. Es decir, el valor esperado es el promedio ponderado de todos los posibles valores que esta variable pueda adoptar. Donde los ponderadores son las probabilidades asociadas a cada X. Noten entonces que en realidad el promedio simple es un caso particular del promedio ponderado. Donde estamos asignando igual peso, a cada uno de los resultados de esta variable aleatoria. A modo de ejemplo, si X es la cantidad de autos que compra una familia en el lapso de 5 años. Supongamos que conocemos la probabilidad asociada a cada valor que toma esta variable. Y simplifiquemos el análisis en el sentido de que, en el lapso de 5 años las familias, lo que observamos, es que o no compra ningún auto, X = 0. O compran 1, 2, 3, 4, 5, 6 y no hay otro resultado posible, es decir, no hay una familia que en lapso de 5 años compre 7 o más autos. Y, si conocemos la probabilidad asociada a cada uno de los resultados de esa variable, estamos en condiciones de calcular el valor esperado. ¿Cuál será? Lo que tenemos que hacer, usando la fórmula del valor esperado, es multiplicar cada valor que toma X por su probabilidad. Por eso estamos generando esa tercer columna que es la multiplicación de las realizaciones o resultados de X por su probabilidad asociada. Si sumamos todas esas multiplicaciones, vamos a tener el valor esperado. Es decir, en promedio esperamos que en lapso de 5 años una familia compre 1,51 autos. La esperanza tiene algunas propiedades que serán interesantes conocer. Supongamos que a es una constante, es un número, y X en cambio es una variable aleatoria. Entonces, la esperanza de un número es justamente ese número. Y la esperanza de X por a es a por la esperanza de X. Si tenemos ahora dos variables aleatorias X e Y, la esperanza de la suma de esas variables es la suma de las esperanzas. O, la esperanza de la diferencia de esas dos variables es la diferencia de las esperanzas. Conocer las propiedades es muy útil you que facilita mucho de los cálculos que vamos a realizar. Ojo, que multiplicar o dividir esas variables aleatorias, y calcular sus esperanzas, va a ser distinto.
