Financial Engineering is a multidisciplinary field drawing from finance and economics, mathematics, statistics, engineering and computational methods. The emphasis of FE & RM Part I will be on the use of simple stochastic models to price derivative securities in various asset classes including equities, fixed income, credit and mortgage-backed securities. We will also consider the role that some of these asset classes played during the financial crisis. A notable feature of this course will be an interview module with Emanuel Derman, the renowned ``quant'' and best-selling author of "My Life as a Quant". We hope that students who complete the course will begin to understand the "rocket science" behind financial engineering but perhaps more importantly, we hope they will also understand the limitations of this theory in practice and why financial models should always be treated with a healthy degree of skepticism. The follow-on course FE & RM Part II will continue to develop derivatives pricing models but it will also focus on asset allocation and portfolio optimization as well as other applications of financial engineering such as real options, commodity and energy derivatives and algorithmic trading.
Introduction to Martingales
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Del curso dictado por Columbia University
Financial Engineering and Risk Management Part I
1567 calificaciones
De la lección
Background Material
Conoce a los instructores
Martin HaughCo-Director, Center for Financial Engineering
Industrial Engineering & Operations Research
Garud IyengarProfessor
Industrial Engineering and Operations Research Department
>> En este módulo vamos a introducir martingalas.
Martingalas juegan un papel muy importante en las finanzas.
No juegan un papel muy importante en este curso, pero se surgen ahora y
otra vez y es que vale la pena entender lo que son y ver uno o dos
ejemplos de martingalas. Vamos a tener la siguiente
definición de una martingala, un proceso aleatorio, Xn es una martingala, con respeto
a la filtración de información Fn y la distribución de probabilidad P, si estos dos
se cumplen las condiciones. La primera condición es sólo una técnica
condición de integrabilidad que establece que el valor esperado del valor absoluto
de Xn debe ser finito para todos n. La condición realmente importante, es
condición dos aquí, que afirma que el valor esperado de Xn plus m, dado el Fn, es
Xn igual para todos nm superior o igual a 0.
Un rápido comentario sobre lo que quiero decir por filtración de información.
Para la filtración de información, Fn, es sólo una forma complicada de reconocer la
información que tenemos en el tiempo n. Así denota Fn toda la información
en nuestro modelo que conocemos en el tiempo n. Así que por lo general, usted será realmente, sería el
caso que Fn es igual a la información proporcionada por X 1 a Xn.
Así que, básicamente, es justo reconocer que en tiempo n, ya hemos visto los valores
X 1 a Xn. volviendo a condición dos aquí, vemos
que lo que aquí realmente se está diciendo, es el valor esperado de X, en cualquier momento en
hoy, el futuro, es igual a su valor actual.
Y así, martingalas han utilizado a menudo, para modelar los denominados juegos de Feria,
tienen una rica historia en el juego, por ejemplo.
Debido a esta condición, modelos la idea de un juego justo, así que su futuro
rentabilidad, o su esperada futura rentabilidad, es igual a su actual riqueza hoy, Xm.
Definimos una martingala sub, sustituyendo la condición dos con una mayor o igual
para firmar, y definimos una martingala super sustituyendo condición dos con menos
igual o inferior a firmar. Una martingala entonces es tanto una martingala sub
y una super martingala. Aquí está nuestro primer ejemplo de una martingala.
Podemos construir uno de un paseo aleatorio. Sea igual a la suma de XI Sn
de es igual a 1 a N, donde el Xi es IID con mu malo, entonces podemos fijar Mn igual
Sn menos n veces mu y en ese caso, Mn es una martingala.
Podemos ver esto debido a lo siguiente, el valor esperado de Mn más n,
Información n en tiempo condicional, es igual a lo que tenemos aquí en el
lado derecho. Así que recordar, Mn más n será igual a Sn
Además m, restamos n, y m veces mu. Así que esta aquí es Sn, y aquí está nuestra m plus
m veces es mu. Bien tomaban esta expectativa
depender de la información n tiempo, así que en ese caso, lo que podemos hacer es, que podemos tomar
hacia fuera el primer nxi, porque son conocidas por nosotros como un fin de tiempo, les tome
fuera de la expectativa. Y lo que estamos dejamos es la expectativa de
n de tiempo, de la suma de la xi de i es igual a n plus 1 n y m.
Bueno, el xi es IID, así que sabiendo el valor de la primera nxi nos dice nada
sobre éstos. También sabemos que tienen mu malo, por lo que
por lo tanto el valor esperado de esta suma, es igual a m veces mu.
También tenemos el mu n plus m aquí. Ahora cuando simplificamos todo esto, este
m-mu se cancelará con este m-mu, estamos salimos con la suma de la xi y creo es igual
1 menos n veces mu, y por supuesto, vemos que esto es igual a Mn.
Así que de hecho, hemos demostrado el valor esperado de m, subíndice m y n,
condicional en información n tiempo equivale a Mn, y por lo tanto es una martingala.
En este ejemplo, vamos a considerar lo que llamaremos una martingala de apuestas
estrategia. Sea x 1 x 2 y así sucesivamente IID al azar
variables, donde xi puede tomar dos valores posibles, puede tomar en 1 o menos
1, en cada caso que toma ese valor con probabilidad 1/2.
Así que usted puede imaginar xi que representa el resultado de un juego de bancos, moneda-Mae, usted gana $1
Si la moneda sube de cabezas, y pierde $1 si la moneda sube de colas, que asume que usted
apuesta $1 en el juego. ¿Qué vamos a hacer ahora es considerar
una estrategia de doblaje, donde nos seguimos doblar la apuesta hasta que finalmente ganamos,
una vez que ganamos, nos detenemos y nuestra apuesta inicial es de $1.
Entonces lo primero que tenga en cuenta, es que el tamaño de la apuesta en el juego n es 2 a
al menos n 1 y que debido a lo siguiente, así en el primer juego, apostamos $1
que es igual a 2 0. En el segundo juego apostamos $2, porque
nos estamos duplicando nuestra apuesta, y esto es igual a 2 a la potencia de 1.
En el tercer juego del juego lo haríamos doble nuestra apuesta una vez más, por lo que apostamos 4,
y eso es igual a 2 al cuadrado y así sucesivamente. Así podemos ver cada vez que jugaste
el juego, hemos duplicado nuestra apuesta y así el juego, el tamaño de la apuesta en el juego n
es 2 a la n menos 1. Por supuesto asume que todavía estamos jugando
en tiempo n, porque sólo nos tocará en tiempo n si no hemos todavía ganamos el juego
hasta este punto. Que Wn denotan las ganancias totales después de m
lanzamientos de la moneda y asumir que comenzamos con W0 es igual a 0.
Lo que vamos a mostrar, entonces, es que el Wn es una martingala.
Para ver esto, primero Observe que Wn sólo puede tomar dos valores posibles, sólo puede
toma el valor 1, o se enfrentará al valor menos 2 a la n plus 1, y
eso es cierto para todos los n. ¿Por qué es esto así?
Bien, considere las siguientes dos situaciones.
La primera situación es la siguiente, supongamos que ganamos por primera vez en la n-ésima apuesta.
También en ese caso, Wn es igual a menos esta suma aquí.
¿De dónde proviene esta suma? Bien, hemos perdido $1 en la primera apuesta, $2
en la segunda apuesta y así sucesivamente, hasta 2 a la n menos $2, en el n menos primera apuesta.
Luego en la enésima apuesta ganamos y ganamos 2 a la potencia de n menos 1.
Recuerde 2 a la potencia de n menos 1 es el tamaño de la apuesta en el juego de la n-ésima, tan
por consiguiente, estas son nuestras ganancias en tiempo de n, si ganamos por primera vez en la n-ésima
apuesta. Si usted realmente calcular esta cantidad, sólo
utilizando, la fórmula para sumar una serie geométrica, recuerde que es al 1
menos r a la potencia de n, todo 1 menos r, esa es la fórmula general.
En este caso, esto se traduce a veces 1 1 menos 2 a la potencia de n menos 1 dividido
1 menos 2 y eso es igual a 2 a la potencia de n menos 1 menos 1, que es
lo que tenemos aquí. Así W n, si ganamos por primera vez en
la enésima apuesta, es igual al menos 2 a la n menos 1 menos 1, más 2 al menos 1, n
Este término se cancela con este término y estamos salimos con 1.
Después de eso por supuesto, estamos siempre salimos con 1 porque dejamos de jugar el juego como
cuanto ganamos. Así que es la otra situación que pueda surgir,
que tenemos no apuesta ganada después de n, en ese caso, las ganancias, Wn es igual a
restamos 1 y 2 y así sucesivamente hasta 2 a la n menos 1.
Del 2 al n menos 1 ya que también perdió la enésima apuesta, por lo que en realidad esto es un
menos, esto se convierte en un signo de menos aquí y nos metemos aquí esta cantidad, resumirlo
y obtenemos una suma de menos 2 al n más 1.
Por lo tanto, son los dos valores posibles de Wn, 1 y 2 al poder
de n más 1. Para mostrar el Wn como una martingala, sólo necesitamos
para mostrar el siguiente, que el valor esperado de Wn más 1, dado el Wn, es igual a
WN. Y esto sigue por un iterada
argumento de las expectativas. Y la razón es la siguiente, supongamos
desea calcular el valor esperado de Wn más 2 dado Wn.
También en ese caso, podemos escribir esto como el siguiente, el valor esperado de la
valor esperado de Wn más 2, dado el Wn más 1, todo dado Wn.
Ahora este término dentro de aquí, es igual al Wn más 1 por este resultado aquí.
Igual así por estrellas, con igual n m más 1, tan por evaluar la estrella pero no n a m
Además 1 obtenemos que esta expectativa interna aquí equivale a Wn más 1.
Por tanto, esto es igual al valor esperado de Wn más 1, dado wn y
por supuesto, esto es igual a Wn otra vez por las estrellas.
Así que de hecho, para cualquier valor de n pequeño, podemos demostrar que ello tiene, solo
usando esto iterada argumento de expectativas que hicimos aquí.
Lo único que necesitamos hacer para demostrar que el Wn es martingala, es establecer estrella, y
eso es lo que haremos ahora. Hay dos casos a considerar.
El primer caso es donde Wn es igual a 1. Recordar, hemos demostrado que Wn sólo puede
tomar en dos valores, el primer valor es 1. Así que si Wn es igual a 1, entonces realmente nos detenemos
el juego, porque significa que ya hemos ganado en algún momento, hemos dejado
el juego y por lo tanto, Wn siempre es igual a 1 en cada período después de que
en primer lugar han ganado. En este caso, la probabilidad que Wn
más 1 es igual a 1, dado el Wn es igual a 1, es efectivamente igual a 1.
Que significa, el valor esperado de Wn más 1, dado el Wn es igual a 1 bien deberá ser igual
1 porque es el único valor que puede tomar.
Toma este valor 1 con probabilidad 1, tan el, este valor esperado es igual a 1,
que equivale a Wn. La otra situación que puede ocurrir, es
ese Wn es igual a menos 2 a la potencia de n más 1.
Si ese es el caso, entonces nos se apostaron 2 a la potencia de n, n además primero mezcle.
Así que en ese caso, Wn plus 1 será 1, si ganamos el n plus primer sorteo o se
será menos 2 a la potencia de n más 1 más 1, y esto se desprende nuestra
argumentos en las diapositivas anteriores. WN plus 1 enfrentará este valor con
probabilidad media y se quedo en este valor con probabilidad media y que
sigue porque es una moneda justa, ganamos con probabilidad media y perdemos con
probabilidad la mitad. Por lo tanto, tenemos estos dos
expresiones, de las cuales sigue inmediatamente que el esperado
valor de Wn más 1, dado igual Wn menos 2 a la potencia de n más 1, es igual a
1, con prob-, con probabilidad medio y es igual a menos 2 a la n plus 1, plus
1 de probabilidad a la mitad. Si sumamos estos dos juntos, tendremos menos
2 a la n más 1 y por supuesto es igual a Wn.
Por lo que en ambos casos, caso 1 y caso 2, hemos demostrado el valor esperado
de Wn más 1, dado el Wn, es igual a Wn. Así hemos demostrado que Wn es un
Matingale. Permítanme mencionar que este ejemplo es bastante
complicado, pero valió la pena introducir porque es fácil
generalizar este ejemplo al caso donde se permiten apuestas al azar en cada juego de la
del juego, mientras las apuestas sólo dependen de lo que has visto hasta ese momento, usted
realmente todavía conseguirá una martingala. Para un último ejemplo, miramos algo
llamado urna de Polya, no pasamos por todos los detalles, de hecho, que usted puede completar
los detalles usted mismo. Considerando la urna que contiene bolas rojas
y bolas de verdes, por lo que tenemos algunas urnas like this, hay bolas rojas allí
y hay bolas verdes dentro de esta urna. Y en cada paso de tiempo se elige una bola
al azar de la urna, si la bola es de color roja, luego se devuelve a la urna con una
bola roja adicional. Si la bola es verde, luego se volvió
a la urna con una bola verde adicional. Así que lo que vamos hacer es que vamos
para ver que hay n plus 2 bolas en la urna, en n tiempo.
Y esto sigue, porque empezamos con dos bolas y después de cada juego de la
juego añadimos una bola adicional, ya sea una bola roja adicional, o un adicional
bola verde. Así que tenemos n plus 2 bolas en la urna,
después de n tiempo. Que Xn denotan el número de bolas rojas en
la urna después n dibuja. Entonces, si Xn es igual a k, Xn plus 1 puede
tomar sólo dos valores posibles, se enfrentará el valor k plus 1 o el valor
k. se tendrá en el valor k y 1, si la
bola retirar en la enésima más 1 juego es una bola roja y que ocurrirá con
k probabilidad sobre n plus 2, k porque hay k bolas-, rojo k bolas en la urna
y n plus 2 porque n plus 2 es el número total de bolas en la urna.
Asimismo Xn plus 1 sería igual a k dado Xn igual k, si dibujamos un verde
la bola, porque si sacamos una bola verde no agregaremos una bola roja adicional.
Xn así más 1 es igual a k, dado Xn k igual que ocurre con probabilidad n plus 2
menos k dividida por n plus 2. Y ahora, lo que decimos y lo que puede
fácilmente comprobar, es que Mn, que es igual a Xn dividida por n plus 2, es un
Martingala.
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