Ci sono due macchine che stanno viaggiando nelle direzioni indicate nella figura. Le
macchine hanno le seguenti masse e le seguenti velocità.
A un certo punto, le due macchine urtano tra di loro. L'urto è abbastanza violento, quindi,
dopo l'urto, esse rimangono incastrate l'una nell'altra, andando a costituire un unico
corpo. Questo corpo avrà una massa totale che è pari alla somma delle due masse. Questo corpo si muoverà
in una certa direzione, data dall'angolo α, e con una certa velocità v_f, che sono incognite,
ed è quello che voglio andare a trovare. Per trovarla, posso studiare l'urto: se nell'urto
non agiscono forze esterne alle mie macchine, posso dire che la quantità di moto si conserva.
Cioè, posso scrivere che la quantità di moto iniziale è uguale a quella finale; iniziale
e finale vuol dire un istante prima dell'urto e un istante appena dopo l'urto. La quantità
di moto è la quantità che è data dal prodotto della massa per la velocità; quindi, se ho
più corpi, devo considerare le quantità di moto di tutti i corpi. Inoltre, la quantità
di moto è una quantità vettoriale, proprio perché dipende dalla velocità. Quindi, se
ho delle velocità che hanno direzioni differenti, devo andare a scomporre il mio sistema nelle diverse
direzioni, in questo caso in x e in y. Allora, in x avrò la quantità di moto iniziale
che sarà la quantità della macchina 1, per cui la massa m_1, per la velocità lungo la direzione
x. In questo caso la velocità della macchina 1 è completamente nella direzione x, quindi
posso scrivere direttamente v_1. Allora, se passo alla y, la quantità della macchina
m_1 sarà nulla, perché la velocità non ha componenti lungo la direzione verticale. Devo
poi aggiungere la quantità di moto della macchina 2. La velocità ha entrambe le componenti,
quindi avrò in entrambi i casi un termine di quantità di moto. Nel caso della x avrò
la componente della v_2 lungo la x, che è questa, e quindi sarà pari a v_2*cosθ. Nel caso
della y avrò l'altra componente, che sarà v_2sinθ. Ora devo andare a scrivere questo
pezzo, cioè la quantità di moto finale; in questo caso, ho un unico corpo, composto
dalla massa totale, e dovrò poi scomporre la velocità finale nelle due direzioni. Lungo
la x ho questa componente, quindi avrò v_fcosα, lungo la y avrò v_fsinα.
Allora, arrivati a questo punto, posso andare a ricavare un'espressione per l'angolo α,
in particolare inizio con il dividere la seconda equazione per la prima; vedo che ottengo che
la tangente di α è uguale a m_2 v_2sinθ/(m_1 v_1+m_2 v_2cosθ). Mentre, se nella seconda equazione ricavo
la velocità finale, ottengo m_2 v_2sinθ fratto la massa totale per il seno di α.
Posso allora andare a sostituire i numeri e in particolare ottengo per l'angolo α, che si ricaverà
facendo l'arco tangente di questo rapporto, un valore pari a 33,53°.
Andando poi a sostituire questo numero dentro qui e sostituendo anche i parametri noti
del problema, otterrò una velocità pari a 59,6 km/h.
Quindi vedo che la velocità finale è una via di mezzo tra le altre due velocità e
l'angolo è di circa 33°, quindi l'angolo che ho disegnato è già rappresentativo della
mia situazione. Posso ora chiedermi che cosa succede all'energia
durante questo urto: si conserverà oppure no? Siccome già vedo che ci sono delle differenze
nelle velocità, probabilmente ho una differenza in energia cinetica. E questo è tipico, infatti,
degli urti completamente anelastici. Andiamo allora a verificarlo con un calcolo: calcoliamo
quindi la variazione di energia cinetica, che sarà l'energia cinetica finale, quindi
quella dopo l'urto, per cui è 1/2 massa totale velocità finale al quadrato, meno l'energia
cinetica iniziale, che è data dalla somma delle energie cinetiche delle due macchine,
quindi (1/2)m_1v_1²-(1/2)m_2v_2². Se inserisco tutti i numeri, ottengo -60.726 J.
Questo numero non è uguale a 0, quindi effettivamente ho avuto una variazione
di energia; e questo numero è negativo perché questa energia è stata dissipata durante
l'urto. Quindi, se è stata dissipata, dove è andata? Allora, se la macchina è stata
costruita in modo opportuno, questa energia si trasferirà all'esterno della macchina
stessa, sulla carrozzeria. Se non è stata costruita in un modo opportuno, si trasferirà
anche all'interno, con un possibile danno al conducente.