La velocità scalare media e la velocità scalare istantanea hanno un'interpretazione
geometrica semplice sul diagramma orario. Iniziamo ad analizzare il diagramma orario,
quindi la relazione che intercorre tra la posizione S, lungo l'ascissa curvilinea, e il tempo t.
Ad esempio la legge oraria, la disegniamo in questa maniera, attraversa diverse posizioni nel tempo,
ipotizziamo di voler sapere la velocità media tra un istante iniziale che potrebbe essere questo,
all'istante t_A, dove il corpo si trova nella posizione S con A,
e un certo istante di tempo successivo in cui il corpo si è spostato in avanti o indietro.
Partiamo dalla velocità media. Abbiamo detto che la velocità media è il rapporto tra
lo spazio percorso, lo spostamento ∆S, e il tempo intercorso per percorrere questo spostamento.
Quindi ∆S e ∆t, vediamo ∆t, potremmo essere arrivati qua, ad un certo istante t_1,
e quindi siamo in una certa posizione S_1; quindi partendo dal punto A siamo arrivati
al punto B_1. Lo spostamento ∆S è, quindi, questo, ∆S sul grafico, e il tempo intercorso,
∆t, è questo e quindi la velocità media è il rapporto tra ∆S e ∆t.
E quindi, se uniamo il punto iniziale al punto finale, tramite un segmento, vediamo che ∆S su ∆t
è, quindi, il rapporto tra questo cateto e questo cateto ed è, quindi, pari alla tangente
di un angolo, questo angolo, che possiamo chiamare α_m1. Quindi lo scriviamo qua.
Velocità media è pari alla tangente dell'angolo α m1.
Ora, se noi spostiamo il punto B_1 verso il punto A, riandando indietro, ci spostiamo
dalla velocità media verso la velocità istantanea, quindi andiamo a valutare un intervallo di
tempo sempre più piccolo, e quindi il punto B_1 arretra, verso, ad esempio, un punto B_2
che potrebbe essere questo. Allora, in tal caso, la velocità media sarà la tangente
di un altro angolo. Il nuovo angolo è questo, quello tra l'orizzontale e questo segmento,
che ora è più pendente. Questo sarà l'angolo α_m2. Se continuiamo questo processo al limite,
cioè valutiamo intervalli di tempo sempre più piccoli, il punto B tenderà verso il
punto A, così l'intervallo di tempo ∆t sarà sempre più piccolo, la strada percorsa,
lo spostamento ∆S sarà sempre più piccolo, e quindi il punto finale, B_1, B_2, B_3 tenderà
ad essere sempre più vicino al punto A. Al limite arriviamo alla definizione
di velocità istantanea, che è la derivata della legge oraria dS su dt
che ha, quindi, un'interpretazione geometrica,
pari alla tangente non più di α_m1, α_m2 α_m3 ma alla tangente dell'angolo che è proprio,
lo chiamiamo semplicemente α, ed è l'angolo della tangente, della retta tangente,
al Diagramma Orario, all'ascissa curvilinea sul grafico. Questa tangente la possiamo indicare,
ad esempio, con una retta blu in questa maniera. Passerà per A e α è l'angolo d'inclinazione,
cioè la pendenza, di questa retta e quindi possiamo concludere dicendo che
la velocità istantanea è la tangente dell'angolo α.