Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Concepto de velocidad instantánea y métodos para calcularla
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
247 calificaciones
De la lección
Velocidad instantánea y derivadas
En esta semana hablaremos de conceptos importantes referentes a la velocidad instantánea, las derivadas y cómo se usan en la física. Te invitamos a revisar cuidadosamente el contenido de esta semana, realizar todas las actividades y a participar en los foros de discusión.
Conoce a los instructores
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Hola.
Bienvenidos a el tema de velocidad instantánea.
Vamos a empezar este tema observando esta gráfica.
En esta gráfica podemos describir el movimiento de la partícula.
Es una gráfica de posición versus tiempo.
Habíamos hablado en el tema pasado del cambio de posición.
Aquí podríamos hablar de diferentes tipos
de cambio de posición de la partícula.
Observen que la partícula en t igual a 1 segundo está en 0.
Es decir, en el origen, lo que nosotros llamamos origen.
En t igual a 2 segundos, la partícula está en 4 metros.
Es decir, podemos hablar del cambio de posición de la partícula de 1 a 2
segundos que sería 4 menos 0, es decir 4 metros sería el cambio de posición.
Pudiéramos también hablar
del cambio de posición de la partícula de 1
a 3 segundos, y, como observamos que la partícula
está en 0 metros en 1 y 3 segundos,
significa que el cambio de posición es de 0 metros.
Hacemos una descripción con cambio de
posición pero, sin embargo, no es suficiente.
Aquí decimos una mejor descripción del movimiento no sólo usando
la posición de la partícula, se necesita la velocidad media.
También hablamos de la velocidad
media en el tema pasado; entonces hagamos uso de esta velocidad media.
Si nosotros vemos la gráfica, observamos que la velocidad media de la partícula de
0 a 2 según, de 1, perdón, de 1 segundo a 2 segundos sería 4 menos
0, serían 4 metros, el cambio de posición dividido entre 1 segundo, es decir, la
partícula tiene una velocidad media de 4 metros por segundo de 1 a 2 segundos.
Podemos decir
que la velocidad media de 1 a 3 segundos es igual a 0.
¿Porqué?
Porque la posición de la partícula en 1 es igual a 0
y la posición de la partícula en 3 es igual a 0.
El cambio de posición es 0 dividido entre el intervalo que es 2 segundos es 0.
La velocidad media nos hace una mejor descripción de la,
de la posición de la partícula, del movimiento de la partícula.
Sin embargo, no lo es suficiente.
La velocidad media nos da una información incompleta.
Por ejemplo cuando decimos que la velocidad media
de 1 a 3 segundos es igual a 0.
¿Qué nos dice eso? Solamente que el cambio de posición fue 0.
Sin embargo no sabemos hasta dónde se movió la partícula.
¿Cómo se movió la partícula?
Entonces, tenemos que, eh, hacer más el uso de mayor
número de intervalos para poder saber qué pasó con la partícula.
Si hacemos eso,
pudiéramos hacer, eh, cálculos de la
velocidad media de la partícula en intervalos
quizás más pequeños para poder obtener una mejor descripción de la, de la partícula.
Pudiéramos hablar, no solamente del cambio de posición o de la
velocidad media de 1 a 3 segundos, podríamos decir el, la
velocidad media de 1 a 2 segundos, la velocidad media de
1 a 1.5 segundos, la velocidad media entre 1 y 1.1 segundos.
De esa manera, podemos describir mejor al movimiento de la partícula.
Lo ideal sería que pudiéramos tener infinito número de
intervalos en donde podemos encontrar la velocidad media en
todos los intervalos, y eso nos da una descripción
mucho mejor de la, del movimiento de la partícula.
Entonces, esto nos lleva a la necesidad
de tener que hablar de la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea
proviene precisamente de la velocidad media.
Por eso, aquí decimos de la velocidad media a la velocidad instantánea.
Nosotros tenemos la, la ecuación de la velocidad media que
es igual al cambio de posición sobre el intervalo de tiempo.
Bueno, si hablamos de la velocidad
instantánea, podemos decir que ese cambio de
la posición entre el intervalo de tiempo lo tenemos que hacer en un intervalo
de tiempo muy pequeño.
Para poder hablar de velocidad instantánea, tenemos que hablar
de un intervalo de tiempo que tiende a 0.
Matemáticamente decimos, "tiende a 0". La simbología es esa.
El límite de delta x sobre delta t cuando delta
t tiende a 0 sería la definición de la velocidad instantánea.
¿Qué significa numéricamente este, esta definición de velocidad instantánea?
Para ello, vamos a, pues, hacer uso de
una ecuación.
La ecuación 2 t cuadrado menos 3 es la que vamos a utilizar.
Si hacemos el cálculo de la velocidad media entre
2 y 3 segundos, en la tabla lo ofrecemos.
En t igual a 2 segundos, la posición de 5, en t igual a 3
segundos, la posición es 1.5 de tal manera que su cambio de posición es 10.
Tenemos el, el intervalo de tiempo es 1, de tal manera que la velocidad
media sería 10 metros por segundo. Esa sería el cálculo de 2 a 3 segundos.
Sin embargo, si queremos hacer cálculos de velocidad
instantánea, tenemos que de, decrementar el intervalo de tiempo.
Si hacemos el cálculo de 2 a 2.5, eh, la velocidad media
en ese intervalo, lo que nos sale es 9 metros por segundo.
Si hacemos el cálculo de la velocidad media
de 2 a 2.1 segundo, es decir el intervalo
you ahora tenemos como 0.1, es 8.2 metros por segundo.
De la misma manera, con un intervalo más pequeño aún, 0.01 segundos es un intervalo
pequeño, observamos que la velocidad media es
igual a 8.02 segundos, metros por segundo, perdón.
Y tenemos el último cálculo que tenemos en la tabla, una velocidad
media de 2 a 2.001 segundos, es decir el intervalo es 0.001 segundo.
La velocidad media calculada de esta manera es 8.002 metros por segundo.
Observen los valores de la velocidad media.
Cada vez más pequeña el intervalo y obtenemos el
valor más cercano a la velocidad instantánea de la partícula.
Con esta tabla podemos concluir que la velocidad instantánea en t igual
a 2 segundos de esta partícula es de 8 metros por segundo.
Pues, eso es lo que significa numéricamente la
definición de la velocidad instantánea. Ahora, ¿qué significa gráficamente?
Bueno, si yo tengo una gráfica de posición versus tiempo, como la que tenemos en la
gráfica, podemos calcular la velocidad media, por ejemplo, entre 1 y 3 segundos.
Si hacemos eso, sería la posición en, en 3
menos la posición en 1 dividido entre el intervalo.
Esto nos da 2 metros por segundo.
Bueno, ¿qué significa
esto en la gráfica?
Si yo observo en t igual a 1 la posición 2
metros, eso me da en la gráfica, unas coordenadas: (1, 2).
Si yo tengo en la posición que es de 6
metros en t igual a 3 segundos, nos da otra coordenadas.
Grafico esas dos coordenadas.
La velocidad media, si yo calculo la pendiente
de la recta que pasa por estos dos puntos
en la gráfica, resulta que esa pendiente es exáctamente igual a velocidad media.
Por lo tanto, un significado gráfico de la velocidad media es la
pendiente de la recta que pasa por dos puntos que es del intervalo.
Esto es la velocidad media.
¿Pero qué pasa con la velocidad instantánea?
Bueno, recuerden que la velocidad instantánea no es más
que una velocidad media con un intervalo muy pequeño.
Bueno, hagamos un intervalo
más pequeño.
Observen en la gráfica que tenemos un intervalo más pequeño.
Aún así, observen que es la pendiente, la velocidad media
sería la pendiente de esta recta que pasa por dos puntos.
Bueno, necesitamos hacer un intervalo suficientemente pequeño.
Esto significaría que esos dos puntos van a colapsar a un solo punto
de tal manera que la recta que pasaba por dos puntos se va convertir
en una recta que pasa por un solo punto.
Esta recta le conoc, le conocemos como una recta tangente a la gráfica.
Entonces, si yo quisiera calcular la velocidad instantánea en
t igual a 1 segundo, lo que tendría que
hacer es colocar una recta tangente en t igual
a 1 segundo, y calcular la pendiente de esta recta.
Esto nos daría la velocidad instantánea.
Eso es lo que significa gráficamente la definición de velocidad instantánea.
De tal manera, que si en esta misma gráfica,
tenemos diferentes eh, tiempos, por ejemplo en t igual a
1 segundo, tendríamos la recta que representa a la velocidad
instantánea, la pendiente de esta recta es la velocidad instantánea.
En este caso, observen que la pendiente
es positiva, la velocidad instantánea es positiva.
La partícula se mueve con una velocidad positiva.
En t igual a 3 segundos, la partícula
tiene una velocidad igual a 0. ¿Y porqué decimos esto?
Bueno, observen cuál es la recta tangente en t igual a 3 segundos.
Es una recta horizontal. La pendiente de una recta horizontal es 0.
Eso significa que la velocidad instantánea en un tiempo determinado,
en este caso de 3 segundos, es igual a 0.
Posteriormente a 3 segundos, observamos que la velocidad pasa a ser negativa.
Por ejemplo, en 4.5 segundos.
En 4.5 segundos, si nosotros colocamos una recta tangente a la, a la gráfica en
t igual a 4.5 segundos, lo que obtenemos
es una recta que tiene una pendiente negativa.
Esa pendiente negativa nos indica que la velocidad es negativa.
Entonces, esto nos va a ayudar muchísimo en la descripción.
En este caso la partícula antes de 3
segundos tenía unas velocidades positivas, después de 3
segundos tiene velocidades negativas, y exáctamente en 3
segundos tiene la velocidad exáctamente igual a 0.
Bueno, con esta definición de velocidad instantánea,
vamos a hacer cálculos eh, de velocidad instantánea,
por medio de tres métodos: el método
aproximado, el método gráfico, y el método analítico.
Vamos a ver cada uno de estos métodos.
Si empezamos con el método aproximado, vamos a, a hacerlo
con una, con una función, con un ejemplo con una función.
Tenemos que la función de posición de este ejemplo es 2 t cuadrado menos 1 t.
Necesitamos la velocidad instantánea en un te, en un tiempo determinado.
Es decir, por ejemplo, calculemos la velocidad
instantánea en t igual a 1 segundo.
Si hacemos esto, recuerden que, para calcular la
velocidad instantánea, yo lo que tengo que hacer es
calcular una velocidad media en un intervalo muy pequeño.
Vamos a hacerlo de un intervalo de 1 segundo a 1.001 segundos.
Es un intervalo de 0.001 segundos.
Es un intervalo pequeño.
Hacemos los cálculos y decimos, bueno, x de 1
sería sustituir 1 en la ecuación es igual a 1.
x de 1.001, sustituimos 1.001 en
la ecuación y nos da 1.003002
Sí yo hago el cálculo de el cambio de posición sobre el intervalo de
tiempo que es 0.001, lo que nos queda es 3.002
Entonces, pensemos ¿Cuál debe ser la velocidad de la partícula en t igual
a, a 1 segundo? En ese caso debe ser 3 metros
por segundo. Entonces, este es el método aproximado.
La pregunta sería, "¿Bueno, qué intervalo se debe escoger?"
Yo escogí 0.001 segundos. ¿Porqué no escoger 0.00001 segundos?
¿O 1 por 10 al menos 8?
Es decir, podemos, ¿qué, qué nos dice qué intervalo tan pequeño podemos escoger?
Bueno, observemos esta tabla.
Tenemos la misma ecuación y vamos a hacer cálculos de
velocidad media con diferentes intervalos. Fíjense, que si hacemos un cálculo
de, de la velocidad media de 1 a 1.1, lo que nos queda es 3.2 metros por segundo.
Si decrecemos el intervalo, estamos de, decreciendo el
intervalo entre 10, vemos que los números van cambiando
de 3.2 metros por segundo, que sería la versión de i entre 1 y 1.1, 3.02 metros
por segundo, 3.002 metros por segundo, 3.0002 metros
por segundo. Observen que, cada vez que decrementamos
el intervalo, la velocidad media va acercándose a la velocidad instantánea.
¿Dónde detenernos?
Bueno, observemos la ecuación.
La ecuación está dada con tres cifras significativas.
A tres cifras significativas en el resultado,
observamos que las dos últimos valores, el 3.002 y el 3.0002,
ambos con tres cifras significativas, son exáctamente igual a 3.00.
Eso significa que no tenemos que hacer más cálculos.
La velocidad instantánea de esta partícula en t igual a 1 segundo es
precísamente 3 metros por segundo. Eso fue con respecto a el
método aproximado.
Ahora veamos como vamos hacerle para encontrar
la velocidad instantánea en el método gráfico.
Bueno, para ello, utilizamos esta gráfica.
Tenemos una gráfica de posición versus tiempo y
queremos encontrar la velocidad instantánea en un tiempo determinado.
Por qué no calculemos la velocidad instantánea en 2 segundos.
En t igual a 2 segundos.
Para ello, en el método gráfico recordemos,
lo que tenemos que hacer es encontrar la, el,
el punto de la gráfica en t igual 2 segundos.
Allí, en este punto, lo que trazamos es una recta tangente.
La pendiente de esta recta tangente, recordemos,
es la velocidad instantánea; esa fue nuestra interpretación.
Bueno, calculemos la pendiente de esta recta tangente.
Para poder procurar la pendiente de la
recta tangente, podemos utilizar cualquier, cualquieras dos puntos.
Podemos utilizar el punto que you teníamos que es 2,8 en t
igual a 2, la, la posición de la partícula es 8 metros.
y podemos utilizar cualquier otro punto de la recta, ¿sí?
En este caso, como ejemplo, vamos a utilizar el punto (1, 4).
De esta manera, podemos calcular la pendiente de esta
recta sería 8 menos 4 dividido entre 2 menos 1.
Eso nos da 4.
Bueno, 4 es precisamente la velocidad instantánea.
Es un delta x sobre un delta t que sería 8 menos 4
sobre 2 menos 1, y eso nos da 4; 4 metros por segundo.
La velocidad instantánea de la partícula de esta gráfica en t
igual a 2 segundos es igual a 4 metros por segundo.
El último método que vamos a ver es el método analítico.
El método analítico es importante porque vamos a encontrar
la velocidad instantánea, no solamente para un tiempo determinado.
Observen que en el método aproximado y en el método gráfico encontramos esa
velocidad instantánea en un tiempo determinado, en 1 segundo o en 2 segundos.
El método analítico nos da la posibilidad
de encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo.
Para ello, necesitamos la ecuación de posición.
Y se basa mucho en álgebra.
Tenemos que hacer uso de nuestros conocimientos de álgebra.
La definición de velocidad instantánea nos dice: la velocidad
instantánea es igual a el límite de delta x sober delta t cuando delta t tiende a 0.
Vamos a hacer un, un intervalo de tiempo general.
Vamos a decir que el intervalo de tiempo es de un tiempo t a un tiempo t más
epsilon, dónde epsilon es una, es un, es un
valor, es un valor, una constante, un valor muy pequeño.
Observen ese intervalo, t a t más epsilon.
Ese es el intervalo.
Es muy general, porque estamos fixando la variable t y
ese valor que va, va finalmente a ser muy pequeño.
Observen, entonces, que el intervalo sería t más epsilon menos
t, tiempo final menos tiempo inicial, y esto nos da epsilon.
El intervalo va ser epsilon.
De tal manera, que podemos sustituir en nuestra definición de
la velocidad instantá, de la velocidad instantánea, como el límite
de delta x, en este caso sería x de t más epsilon, la posición de la partícula en t
más epsilon, menos la posición de la partícula en t,
dividido sobre el intervalo, que en este caso, es epsilon.
Entonces es el límite cuando epsilon tiende a 0.
Entonces vamos a hacer esto con una ecuación.
Y vamos a encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo.
Tomemos como ejemplo x de t,
es decir la posición de la, de la partícula como
función de tiempo, dada por 2 t cuadrada menos 1 t.
Si hacemos eso, observamos la definición, que la expresamos en función de
epsilon, y, y lo que necesitamos es la posición de la partícula en t más epsilon.
Para poder hacer esto, lo que tenemos que hacer es lo que hacíamos anteriormente, no
es otra cosa: tenemos que sustituir el valor, en este caso es t más epsilon en
la función. En este caso, 2 t cuadrado menos 1 t.
Sustituimos t más epsilon por t y lo que obtenemos es 2
por t más epsilon al cuadrado menos 1 multiplicado por t más epsilon.
Si hacemos todo el desarrollo matemático que es
pura álgebra, lo que obtenemos es que la posición
de t más epsilon es la expresión que tenemos
aquí abajo, en la última parte de la filmina.
También necesitamos la función de posición
en t. Bueno, no es más que la misma.
La función de posición en t es, precísamente, 2 t cuadrado menos 1 t.
Necesitamos la diferencia. Es decir este es el cambio de posición.
El cambio de posición sería la posición final menos la inicial.
En este caso sería la posición en t más epsilon menos la posición en t.
Pues, aquí volvemos a hacer uso de nuestra álgebra.
Ponemos lo que teníamos de la posición en t más epsilon,
lo, le restamos la posición en t, y obtenemos
el resultado final que es 4 t epsilon más 2 epsilon al cuadrado menos uno epsilon.
Ese sería el resultado del cambio de posición.
¿Qué más tenemos que hacer?
Tenemos que dividir el cambio de posición sobre
el intervalo de tiempo, en este caso, epsilon.
Si dividimos la expresión que teníamos anteriormente sobre epsilon,
los que nos que, lo que nos queda es 4
t más 2 epsilon menos 1.
Esa sería la expresión de la velocidad media.
Ahora lo que tenemos que hacer, es hacer el
límite de esta velocidad media cuando epsilon tiende a 0.
Lo único que tenemos que hacer es sustituir
epsilon como 0 y, nos queda la velocidad instantánea.
En este caso, la velocidad instantánea es 4 t menos 1 metros por segundo.
Observen,
entonces, que obtuvimos la velocidad instantánea para cualquier tiempo.
Yo puedo encontrar con esta ecuación, la velocidad en t igual 1 segundo,
la velocidad en 2 segundos, en 3 segundos, o cualquier tiempo que yo quisiera.
Esta es la ventaja del método analítico.
Bueno, con esto terminamos el tema. Los
esperamos el siguiente tema.
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