Hola. Bienvenidos a el tema de velocidad instantánea. Vamos a empezar este tema observando esta gráfica. En esta gráfica podemos describir el movimiento de la partÃcula. Es una gráfica de posición versus tiempo. HabÃamos hablado en el tema pasado del cambio de posición. Aquà podrÃamos hablar de diferentes tipos de cambio de posición de la partÃcula. Observen que la partÃcula en t igual a 1 segundo está en 0. Es decir, en el origen, lo que nosotros llamamos origen. En t igual a 2 segundos, la partÃcula está en 4 metros. Es decir, podemos hablar del cambio de posición de la partÃcula de 1 a 2 segundos que serÃa 4 menos 0, es decir 4 metros serÃa el cambio de posición. Pudiéramos también hablar del cambio de posición de la partÃcula de 1 a 3 segundos, y, como observamos que la partÃcula está en 0 metros en 1 y 3 segundos, significa que el cambio de posición es de 0 metros. Hacemos una descripción con cambio de posición pero, sin embargo, no es suficiente. Aquà decimos una mejor descripción del movimiento no sólo usando la posición de la partÃcula, se necesita la velocidad media. También hablamos de la velocidad media en el tema pasado; entonces hagamos uso de esta velocidad media. Si nosotros vemos la gráfica, observamos que la velocidad media de la partÃcula de 0 a 2 según, de 1, perdón, de 1 segundo a 2 segundos serÃa 4 menos 0, serÃan 4 metros, el cambio de posición dividido entre 1 segundo, es decir, la partÃcula tiene una velocidad media de 4 metros por segundo de 1 a 2 segundos. Podemos decir que la velocidad media de 1 a 3 segundos es igual a 0. ¿Porqué? Porque la posición de la partÃcula en 1 es igual a 0 y la posición de la partÃcula en 3 es igual a 0. El cambio de posición es 0 dividido entre el intervalo que es 2 segundos es 0. La velocidad media nos hace una mejor descripción de la, de la posición de la partÃcula, del movimiento de la partÃcula. Sin embargo, no lo es suficiente. La velocidad media nos da una información incompleta. Por ejemplo cuando decimos que la velocidad media de 1 a 3 segundos es igual a 0. ¿Qué nos dice eso? Solamente que el cambio de posición fue 0. Sin embargo no sabemos hasta dónde se movió la partÃcula. ¿Cómo se movió la partÃcula? Entonces, tenemos que, eh, hacer más el uso de mayor número de intervalos para poder saber qué pasó con la partÃcula. Si hacemos eso, pudiéramos hacer, eh, cálculos de la velocidad media de la partÃcula en intervalos quizás más pequeños para poder obtener una mejor descripción de la, de la partÃcula. Pudiéramos hablar, no solamente del cambio de posición o de la velocidad media de 1 a 3 segundos, podrÃamos decir el, la velocidad media de 1 a 2 segundos, la velocidad media de 1 a 1.5 segundos, la velocidad media entre 1 y 1.1 segundos. De esa manera, podemos describir mejor al movimiento de la partÃcula. Lo ideal serÃa que pudiéramos tener infinito número de intervalos en donde podemos encontrar la velocidad media en todos los intervalos, y eso nos da una descripción mucho mejor de la, del movimiento de la partÃcula. Entonces, esto nos lleva a la necesidad de tener que hablar de la velocidad instantánea. La velocidad instantánea proviene precisamente de la velocidad media. Por eso, aquà decimos de la velocidad media a la velocidad instantánea. Nosotros tenemos la, la ecuación de la velocidad media que es igual al cambio de posición sobre el intervalo de tiempo. Bueno, si hablamos de la velocidad instantánea, podemos decir que ese cambio de la posición entre el intervalo de tiempo lo tenemos que hacer en un intervalo de tiempo muy pequeño. Para poder hablar de velocidad instantánea, tenemos que hablar de un intervalo de tiempo que tiende a 0. Matemáticamente decimos, "tiende a 0". La simbologÃa es esa. El lÃmite de delta x sobre delta t cuando delta t tiende a 0 serÃa la definición de la velocidad instantánea. ¿Qué significa numéricamente este, esta definición de velocidad instantánea? Para ello, vamos a, pues, hacer uso de una ecuación. La ecuación 2 t cuadrado menos 3 es la que vamos a utilizar. Si hacemos el cálculo de la velocidad media entre 2 y 3 segundos, en la tabla lo ofrecemos. En t igual a 2 segundos, la posición de 5, en t igual a 3 segundos, la posición es 1.5 de tal manera que su cambio de posición es 10. Tenemos el, el intervalo de tiempo es 1, de tal manera que la velocidad media serÃa 10 metros por segundo. Esa serÃa el cálculo de 2 a 3 segundos. Sin embargo, si queremos hacer cálculos de velocidad instantánea, tenemos que de, decrementar el intervalo de tiempo. Si hacemos el cálculo de 2 a 2.5, eh, la velocidad media en ese intervalo, lo que nos sale es 9 metros por segundo. Si hacemos el cálculo de la velocidad media de 2 a 2.1 segundo, es decir el intervalo you ahora tenemos como 0.1, es 8.2 metros por segundo. De la misma manera, con un intervalo más pequeño aún, 0.01 segundos es un intervalo pequeño, observamos que la velocidad media es igual a 8.02 segundos, metros por segundo, perdón. Y tenemos el último cálculo que tenemos en la tabla, una velocidad media de 2 a 2.001 segundos, es decir el intervalo es 0.001 segundo. La velocidad media calculada de esta manera es 8.002 metros por segundo. Observen los valores de la velocidad media. Cada vez más pequeña el intervalo y obtenemos el valor más cercano a la velocidad instantánea de la partÃcula. Con esta tabla podemos concluir que la velocidad instantánea en t igual a 2 segundos de esta partÃcula es de 8 metros por segundo. Pues, eso es lo que significa numéricamente la definición de la velocidad instantánea. Ahora, ¿qué significa gráficamente? Bueno, si yo tengo una gráfica de posición versus tiempo, como la que tenemos en la gráfica, podemos calcular la velocidad media, por ejemplo, entre 1 y 3 segundos. Si hacemos eso, serÃa la posición en, en 3 menos la posición en 1 dividido entre el intervalo. Esto nos da 2 metros por segundo. Bueno, ¿qué significa esto en la gráfica? Si yo observo en t igual a 1 la posición 2 metros, eso me da en la gráfica, unas coordenadas: (1, 2). Si yo tengo en la posición que es de 6 metros en t igual a 3 segundos, nos da otra coordenadas. Grafico esas dos coordenadas. La velocidad media, si yo calculo la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos en la gráfica, resulta que esa pendiente es exáctamente igual a velocidad media. Por lo tanto, un significado gráfico de la velocidad media es la pendiente de la recta que pasa por dos puntos que es del intervalo. Esto es la velocidad media. ¿Pero qué pasa con la velocidad instantánea? Bueno, recuerden que la velocidad instantánea no es más que una velocidad media con un intervalo muy pequeño. Bueno, hagamos un intervalo más pequeño. Observen en la gráfica que tenemos un intervalo más pequeño. Aún asÃ, observen que es la pendiente, la velocidad media serÃa la pendiente de esta recta que pasa por dos puntos. Bueno, necesitamos hacer un intervalo suficientemente pequeño. Esto significarÃa que esos dos puntos van a colapsar a un solo punto de tal manera que la recta que pasaba por dos puntos se va convertir en una recta que pasa por un solo punto. Esta recta le conoc, le conocemos como una recta tangente a la gráfica. Entonces, si yo quisiera calcular la velocidad instantánea en t igual a 1 segundo, lo que tendrÃa que hacer es colocar una recta tangente en t igual a 1 segundo, y calcular la pendiente de esta recta. Esto nos darÃa la velocidad instantánea. Eso es lo que significa gráficamente la definición de velocidad instantánea. De tal manera, que si en esta misma gráfica, tenemos diferentes eh, tiempos, por ejemplo en t igual a 1 segundo, tendrÃamos la recta que representa a la velocidad instantánea, la pendiente de esta recta es la velocidad instantánea. En este caso, observen que la pendiente es positiva, la velocidad instantánea es positiva. La partÃcula se mueve con una velocidad positiva. En t igual a 3 segundos, la partÃcula tiene una velocidad igual a 0. ¿Y porqué decimos esto? Bueno, observen cuál es la recta tangente en t igual a 3 segundos. Es una recta horizontal. La pendiente de una recta horizontal es 0. Eso significa que la velocidad instantánea en un tiempo determinado, en este caso de 3 segundos, es igual a 0. Posteriormente a 3 segundos, observamos que la velocidad pasa a ser negativa. Por ejemplo, en 4.5 segundos. En 4.5 segundos, si nosotros colocamos una recta tangente a la, a la gráfica en t igual a 4.5 segundos, lo que obtenemos es una recta que tiene una pendiente negativa. Esa pendiente negativa nos indica que la velocidad es negativa. Entonces, esto nos va a ayudar muchÃsimo en la descripción. En este caso la partÃcula antes de 3 segundos tenÃa unas velocidades positivas, después de 3 segundos tiene velocidades negativas, y exáctamente en 3 segundos tiene la velocidad exáctamente igual a 0. Bueno, con esta definición de velocidad instantánea, vamos a hacer cálculos eh, de velocidad instantánea, por medio de tres métodos: el método aproximado, el método gráfico, y el método analÃtico. Vamos a ver cada uno de estos métodos. Si empezamos con el método aproximado, vamos a, a hacerlo con una, con una función, con un ejemplo con una función. Tenemos que la función de posición de este ejemplo es 2 t cuadrado menos 1 t. Necesitamos la velocidad instantánea en un te, en un tiempo determinado. Es decir, por ejemplo, calculemos la velocidad instantánea en t igual a 1 segundo. Si hacemos esto, recuerden que, para calcular la velocidad instantánea, yo lo que tengo que hacer es calcular una velocidad media en un intervalo muy pequeño. Vamos a hacerlo de un intervalo de 1 segundo a 1.001 segundos. Es un intervalo de 0.001 segundos. Es un intervalo pequeño. Hacemos los cálculos y decimos, bueno, x de 1 serÃa sustituir 1 en la ecuación es igual a 1. x de 1.001, sustituimos 1.001 en la ecuación y nos da 1.003002 Sà yo hago el cálculo de el cambio de posición sobre el intervalo de tiempo que es 0.001, lo que nos queda es 3.002 Entonces, pensemos ¿Cuál debe ser la velocidad de la partÃcula en t igual a, a 1 segundo? En ese caso debe ser 3 metros por segundo. Entonces, este es el método aproximado. La pregunta serÃa, "¿Bueno, qué intervalo se debe escoger?" Yo escogà 0.001 segundos. ¿Porqué no escoger 0.00001 segundos? ¿O 1 por 10 al menos 8? Es decir, podemos, ¿qué, qué nos dice qué intervalo tan pequeño podemos escoger? Bueno, observemos esta tabla. Tenemos la misma ecuación y vamos a hacer cálculos de velocidad media con diferentes intervalos. FÃjense, que si hacemos un cálculo de, de la velocidad media de 1 a 1.1, lo que nos queda es 3.2 metros por segundo. Si decrecemos el intervalo, estamos de, decreciendo el intervalo entre 10, vemos que los números van cambiando de 3.2 metros por segundo, que serÃa la versión de i entre 1 y 1.1, 3.02 metros por segundo, 3.002 metros por segundo, 3.0002 metros por segundo. Observen que, cada vez que decrementamos el intervalo, la velocidad media va acercándose a la velocidad instantánea. ¿Dónde detenernos? Bueno, observemos la ecuación. La ecuación está dada con tres cifras significativas. A tres cifras significativas en el resultado, observamos que las dos últimos valores, el 3.002 y el 3.0002, ambos con tres cifras significativas, son exáctamente igual a 3.00. Eso significa que no tenemos que hacer más cálculos. La velocidad instantánea de esta partÃcula en t igual a 1 segundo es precÃsamente 3 metros por segundo. Eso fue con respecto a el método aproximado. Ahora veamos como vamos hacerle para encontrar la velocidad instantánea en el método gráfico. Bueno, para ello, utilizamos esta gráfica. Tenemos una gráfica de posición versus tiempo y queremos encontrar la velocidad instantánea en un tiempo determinado. Por qué no calculemos la velocidad instantánea en 2 segundos. En t igual a 2 segundos. Para ello, en el método gráfico recordemos, lo que tenemos que hacer es encontrar la, el, el punto de la gráfica en t igual 2 segundos. AllÃ, en este punto, lo que trazamos es una recta tangente. La pendiente de esta recta tangente, recordemos, es la velocidad instantánea; esa fue nuestra interpretación. Bueno, calculemos la pendiente de esta recta tangente. Para poder procurar la pendiente de la recta tangente, podemos utilizar cualquier, cualquieras dos puntos. Podemos utilizar el punto que you tenÃamos que es 2,8 en t igual a 2, la, la posición de la partÃcula es 8 metros. y podemos utilizar cualquier otro punto de la recta, ¿sÃ? En este caso, como ejemplo, vamos a utilizar el punto (1, 4). De esta manera, podemos calcular la pendiente de esta recta serÃa 8 menos 4 dividido entre 2 menos 1. Eso nos da 4. Bueno, 4 es precisamente la velocidad instantánea. Es un delta x sobre un delta t que serÃa 8 menos 4 sobre 2 menos 1, y eso nos da 4; 4 metros por segundo. La velocidad instantánea de la partÃcula de esta gráfica en t igual a 2 segundos es igual a 4 metros por segundo. El último método que vamos a ver es el método analÃtico. El método analÃtico es importante porque vamos a encontrar la velocidad instantánea, no solamente para un tiempo determinado. Observen que en el método aproximado y en el método gráfico encontramos esa velocidad instantánea en un tiempo determinado, en 1 segundo o en 2 segundos. El método analÃtico nos da la posibilidad de encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Para ello, necesitamos la ecuación de posición. Y se basa mucho en álgebra. Tenemos que hacer uso de nuestros conocimientos de álgebra. La definición de velocidad instantánea nos dice: la velocidad instantánea es igual a el lÃmite de delta x sober delta t cuando delta t tiende a 0. Vamos a hacer un, un intervalo de tiempo general. Vamos a decir que el intervalo de tiempo es de un tiempo t a un tiempo t más epsilon, dónde epsilon es una, es un, es un valor, es un valor, una constante, un valor muy pequeño. Observen ese intervalo, t a t más epsilon. Ese es el intervalo. Es muy general, porque estamos fixando la variable t y ese valor que va, va finalmente a ser muy pequeño. Observen, entonces, que el intervalo serÃa t más epsilon menos t, tiempo final menos tiempo inicial, y esto nos da epsilon. El intervalo va ser epsilon. De tal manera, que podemos sustituir en nuestra definición de la velocidad instantá, de la velocidad instantánea, como el lÃmite de delta x, en este caso serÃa x de t más epsilon, la posición de la partÃcula en t más epsilon, menos la posición de la partÃcula en t, dividido sobre el intervalo, que en este caso, es epsilon. Entonces es el lÃmite cuando epsilon tiende a 0. Entonces vamos a hacer esto con una ecuación. Y vamos a encontrar la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Tomemos como ejemplo x de t, es decir la posición de la, de la partÃcula como función de tiempo, dada por 2 t cuadrada menos 1 t. Si hacemos eso, observamos la definición, que la expresamos en función de epsilon, y, y lo que necesitamos es la posición de la partÃcula en t más epsilon. Para poder hacer esto, lo que tenemos que hacer es lo que hacÃamos anteriormente, no es otra cosa: tenemos que sustituir el valor, en este caso es t más epsilon en la función. En este caso, 2 t cuadrado menos 1 t. Sustituimos t más epsilon por t y lo que obtenemos es 2 por t más epsilon al cuadrado menos 1 multiplicado por t más epsilon. Si hacemos todo el desarrollo matemático que es pura álgebra, lo que obtenemos es que la posición de t más epsilon es la expresión que tenemos aquà abajo, en la última parte de la filmina. También necesitamos la función de posición en t. Bueno, no es más que la misma. La función de posición en t es, precÃsamente, 2 t cuadrado menos 1 t. Necesitamos la diferencia. Es decir este es el cambio de posición. El cambio de posición serÃa la posición final menos la inicial. En este caso serÃa la posición en t más epsilon menos la posición en t. Pues, aquà volvemos a hacer uso de nuestra álgebra. Ponemos lo que tenÃamos de la posición en t más epsilon, lo, le restamos la posición en t, y obtenemos el resultado final que es 4 t epsilon más 2 epsilon al cuadrado menos uno epsilon. Ese serÃa el resultado del cambio de posición. ¿Qué más tenemos que hacer? Tenemos que dividir el cambio de posición sobre el intervalo de tiempo, en este caso, epsilon. Si dividimos la expresión que tenÃamos anteriormente sobre epsilon, los que nos que, lo que nos queda es 4 t más 2 epsilon menos 1. Esa serÃa la expresión de la velocidad media. Ahora lo que tenemos que hacer, es hacer el lÃmite de esta velocidad media cuando epsilon tiende a 0. Lo único que tenemos que hacer es sustituir epsilon como 0 y, nos queda la velocidad instantánea. En este caso, la velocidad instantánea es 4 t menos 1 metros por segundo. Observen, entonces, que obtuvimos la velocidad instantánea para cualquier tiempo. Yo puedo encontrar con esta ecuación, la velocidad en t igual 1 segundo, la velocidad en 2 segundos, en 3 segundos, o cualquier tiempo que yo quisiera. Esta es la ventaja del método analÃtico. Bueno, con esto terminamos el tema. Los esperamos el siguiente tema.
