Este curso provee al estudiante con conceptos y herramientas matemáticas para modelar problemas en física, que al aplicar podrá enfrentar con éxito los cursos de física universitarios. Así pues, la filosofía de este curso consiste en cubrir temas conceptuales relativos a la Física y desarrollar tu capacidad de aprender y aplicarlos en tu vida profesional. El curso se aborda en dos fases a través de las cuales el alumno: - Aprenderá a aplicar el cálculo diferencial e integral para interpretar y modelar la cinemática de una partícula en una dimensión, - Aprenderá el manejo de cantidades físicas vectoriales en forma gráfica y analítica en dos y tres dimensiones.
Delimitación Teórica
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
Conceptos y Herramientas para la Física Universitaria
259 calificaciones
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De la lección
Producto cruz
En este módulo estudiamos el producto cruz (o producto vectorial) y su interpretación gráfica, así como algunas aplicaciones en la física.
Conoce a los instructores
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
Departamento de Física, Escuela de Ingeniería y Tecnologías de Información
[MUSIC]
Hola, bienvenidos al tema de Producto Cruz.
Hasta el momento hemos hecho diferentes operaciones como la suma, la resta,
la multiplicación por un escalar y la multiplicación de vectores cuando
el resultado de esta multiplicación es un escalar.
Y lo hemos hecho de manera gráfica,
por medio de sus definiciones y también lo hemos hecho cuando los vectores
están en función de las componentes y los vectores unitarios cartesianos.
Bueno, ahora queremos hablar sobre la multiplicación también de dos vectores,
pero cuando el resultado me da otro vector.
Y en el tema pasado también veíamos este ejemplo.
Tenemos que en física, cuando una partícula cargada viaja una cierta
velocidad a través de un campo magnético, se ejerce una fuerza sobre esa partícula.
Y esa fuerza es una fuerza que depende proporcionalmente del campo magnético,
es decir, a mayor campo magnético mayor es la fuerza.
Y a mayor velocidad de la partícula mayor es la fuerza.
Observen que la fuerza es un vector,
el campo magnético es un vector y la velocidad es un vector.
Ésto significa que la fuerza vector es proporcional a la multiplicación
del campo magnético y de la velocidad, dos vectores.
Existe entonces la necesidad de tener un producto
en donde el resultado de dos vectores me dé un vector.
A diferencia del tema anterior,
donde el resultado de la multiplicación de dos vectores era un escalar.
Bueno, veamos la definición.
El producto cruz de dos vectores tiene como resultado un vector.
Su definición es.
Para poder hablar de la definición,
tengo que hablar tanto de la magnitud como la dirección del resultado.
Entonces, si hablo de la magnitud,
la magnitud del producto cruz está definida como A B por el seno de Theta.
Es decir la magnitud del primer vector que es A, la magnitud del segundo vector que
es B, por el seno del ángulo entre los dos vectores.
Esa sería la magnitud del producto cruz, A cruz B.
La dirección, la dirección es el resultado de este resultado de esta operación.
Es una dirección que es perpendicular al plano formado por los vectores,
esta sería una dirección perpendicular al plano fomado por los vectores.
Ahorita vamos a ver cómo vamos a calcular esta dirección.
Claro que cuando pensamos en dos vectores y que forman un plano,
puedo yo ver que existen dos direcciones perpendiculares.
Como en este caso, tenemos una dirección hacia arriba
que es perpendicular al plano formado por los vectores A y B.
Y una dirección hacia abajo, que es también perpendicular.
Bueno, ¿cuál de las dos direcciones es
el resultado de la dirección del producto cruz de estos dos vectores A x B.
Bueno, eso lo vamos a encontrar por medio de la regla de la mano derecha,
se le conoce así.
Regla de la mano derecha es una regla muy común que se utiliza en ingeniería,
se utiliza en física, en donde podemos encontrar la dirección del producto A x B.
Recuerden, aquí la duda es entre dos direcciones,
porque la definición me dice que la dirección del producto cruz debe ser
perpendicular al plano formado por los vectores.
Entonces solamente tengo duda entre dos vectores y utilizo la regla de la mano
derecha.
Esta sería la regla de la mano derecha.
Voy a ir despacio, hablando de la regla de la mano derecha paso por paso.
Entonces para ello voy hacer uso de vectores.
Y vectores de una manera esquemática por medio de flechas.
El primer paso, dice mueve los vectores de tal manera que sus inicios estén juntos.
Entonces vamos a pensar que éstos son dos vectores.
El vector azul y el vector verde serían los vectores.
Si yo tengo los dos vectores de esta manera, lo primero que tengo que hacer,
el primer paso es juntarlos.
Es decir, no cambiar la dirección del vector y los junto.
Y aquí tengo los vectores, el vector azul y el vector verde.
Lo que yo quiero encontrar es el producto cruz entre estos dos vectores.
Puedo yo decir, el vector, producto cruz azul, cruz verde.
Eso es lo que voy a calcular.
El segundo paso,
es decir, bueno mentalmente forma un plano estos dos vectores,
y queremos encontrar las direcciones que sean perpendiculares a este plano.
Bueno, si yo tengo estos dos vectores, aquí forma un plano, este sería un plano.
El plano formado por los dos vectores, y las dos direcciones perpendiculares sería
una dirección hacia acá y una dirección hacia acá.
Esas serían las direcciones que pueden ser el resultado
del producto cruz entre azul cruz verde.
Sería perpendicular para allá o perpendicular para acá.
Esas serían las únicas dos direcciones, ese sería el paso dos.
En el paso 3 dice, identifica el ángulo entre los dos vectores.
Recuerda que el ángulo entre los dos vectores está entre cero y 180 grados.
Observemos, aquí no hay mucha duda, porque el ángulo dentro de dos vectores es éste.
Este es el ángulo entre los dos vectores.
Este ángulo, que también es un ángulo entre dos líneas
no es el ángulo entre dos vectores, porque es un ángulo mayor a 180 grados.
El ángulo entre dos vectores tiene que ser menor o igual a 180 grados.
Entonces aquí estamos hablando de este como ángulo.
El siguiente paso, el paso cuatro, es apunta los cuatro
dedos de la mano derecha, es decir, el índice, el medio, el anular y el meñique,
en la dirección del primer vector multiplicando del producto cruz.
Y tu pulgar,
en cualquiera de las dos direcciones posibles que definiste en el paso dos.
Es decir, tengo que utilizar mi mano derecha, ésta sería mi mano derecha.
Y utilizo primeramente los dedos.
Los dedos para poder poner en la dirección del primer vector multiplicando.
Y me dice que el pulgar debe estar en dirección
de alguna de las dos direcciones posibles.
Recuerden que las dos direcciones
posibles es perpendicular al plano; sería para acá o para acá.
Entonces aquí pudiera yo poner mi mano, que
sería los cuatro dedos en dirección del primer vector multiplicando porque dijimos
que era azul cruz verde, y el pulgar está en una de las dos direcciones posibles.
Éste sería una manera de colocar la mano, claro que podría colocar la mano
así,una de estas dos maneras de colocar la mano tendría que ser.
Y fíjense qué va pasar en el paso cinco.
En el paso cinco dice cierra tu mano hacia donde está ubicado el segundo vector
del producto cruz, siguiendo el ángulo entre dos vectores.
Es decir, este ángulo.
Si acaso no puedes cerrar tu mano hacia donde está ubicado el segundo vector,
entonces gira tu muñeca de tal manera que el pulgar apunte en la dirección opuesta.
Y entonces cierra la mano.
Vamos a suponer que dijimos así ponemos la mano.
Los cuatro dedos en dirección del primer vector multiplicando,
el pulgar en una de las dos direcciones que tenemos como candidatas.
Y cerramos la mano en dirección del segundo vector,
siguiendo el ángulo entre ellos.
Es decir, se fijan que en este momento yo no puedo cerrar la mano,
puedo cerrar la mano para acá, pero ahí no quiero cerrar la mano
siguiendo el ángulo que no es el ángulo entre dos vectores.
Entonces lo que yo tengo que hacer es girar la mano 180 grados
y observen que aquí si puedo cerrar la mano en dirección
del segundo vector que es en este caso el vector verde.
De tal manera que la dirección del vector producto cruz azul verde
es en esta dirección.
Ese sería el paso cinco.
Y creo que tenemos un paso seis.
Dice la dirección de tu pulgar cuando puedas cerrar la mano es la dirección
del producto cruz que estás requiriendo, en este caso azul cruz verde.
Estos serían los seis paso que tenemos que seguir.
Muy bien, ahora,
¿cuál sería una interpretación gráfica del producto cruz?
Así como vimos una interpretación gráfica del producto punto, bueno,
¿cuál sería una interpretación gráfica del producto cruz?
Yo tengo que la magnitud de esta multiplicación es AB seno de Theta.
Si yo tengo aquí dos vectores, A y B, el ángulo entre ellos es Theta.
Observen que yo puedo pensar que A cruz B
pudiera ser la multiplicación de A que multiplica a B por el seno de Theta.
A que multiplica a B seno de Theta.
Bueno, veamos qué significa esto en la gráfica.
Si yo trazo dos líneas perpendiculares formando un paralelogramo con los dos
vectores, observen que B seno de Theta sería la altura de este paralelogramo.
De tal manera que si multiplico la altura del paralelogramo que es B seno de Theta,
multiplicada por la base del paralelogramo que es la magnitud de A,
obtengo precisamente la magnitud del producto cruz entre A y B.
Entonces ahí tenemos la altura del paralelogramo.
La base sería A, la magnitud del vector A, y puedo interpretar la magnitud
del producto cruz como el área del paralelogramo formado por los vectores.
Esa sería mi interpretación geométrica, gráfica del producto cruz.
Bueno, y si hablamos de contexto como estábamos hablando,
si decíamos bueno, esto proviene de la necesidad en física
de tener una multiplicación entre dos vectores para obtener otro vector.
Bueno, decíamos, si yo tengo un campo magnético, pensemos que este es un campo
magnético que va dirigido hacia dentro de la hoja, hacia dentro de la proyección.
El campo magnético es un vector.
Si yo coloco una carga con una cierta velocidad hacia la derecha,
resulta que existe una fuerza expresada por la ecuación F=QV x B,
se fijan aquí hay un producto cruz entre la velocidad y el campo magnético V x B.
Va haber una fuerza,
esta fuerza es ejercida por el campo magnético sobre la carga en movimiento,
que en este caso, de acuerdo a la regla de la mano derecha, es hacia arriba.
Esa sería la fuerza sobre la carga.
Entonces existe la necesidad en física.
Bueno, ahora pensemos en el producto cruz otra vez.
Veamos el producto cruz entre A y B.
Pensemos en un ángulo cualquiera.
En este caso un ángulo menor a 90 grados.
Puedo yo interpretarlo, lo habíamos dicho como el área del paralelogramo
que se forma entre A y B, y aquí resulta que el área formada tiene un cierto valor.
¿Qué pasaría si este ángulo varía?
Pensemos en un ángulo Theta de 90 grados.
Observen que si yo formo un paralelogramo con dos vectores perpendiculares,
en realidad lo que estoy formando es un rectángulo.
Bueno, el área de este rectángulo que es simplemente la multiplicación de A B,
sería el producto cruz entre los dos vectores.
Esto tiene sentido porque el seno de 90 es uno.
De tal manera que si el ángulo es igual a 40 grados,
la magnitud del producto cruz es la máxima que podemos obtener
entre la multiplicación de dos vectores con ciertas magnitudes.
Bueno, ¿que pasaría si yo tengo dos vectores con un
ángulo de cero grados entre ellos?
O un ángulo de 180 grados entre ellos,
observen que gráficamente no obtengo ninguna área.
No puedo hacer un paralelograma con estos vectores,
con cualquiera de estos dos pares de vectores,
cuando el ángulo es de cero grados o cuando el ángulo es de 180 grados.
En este caso, el producto cruz entre dos vectores paralelos
o antiparalelo le llamamos, que sean opuestos es igual a cero.
El producto cruz es cero.
Así como lo vimos en el producto punto, es útil también hacer multiplicaciones
del producto cruz entre vectores unitarios del sistema cartesiano.
Y esto nos va servir para poder hacer operaciones complicadas de una manera un
poco más sencilla.
Bueno, la definición de la magnitud del producto cruz es AB seno de Theta.
Y vamos a tratar de aplicar esto con los vectores unitarios cartesianos.
¿Qué pasa si yo quiero encontrar i x i?
Primeramente pensemos en la magnitud de i x i.
La magnitud de i x i de acuerdo a la definición sería la magnitud del
primer vector por la magnitud del segundo vector por el seno del ángulo entre ellos.
Observen que me quedaría uno por uno, que es la magnitud del vector i,
multiplicado por el seno de cero, que es cero.
Acabamos de ver que no hay área formada por el vector i y el vector i.
De tal manera que i x i me da cero.
De la misma manera puedo ver que j x j es igual a cero, y que k x k es igual a cero.
Esas serían las multiplicaciones del producto cruz por sí mismos,
los vectores unitarios i x i, j x j y k x k.
Los vectores, las multiplicaciones del producto cruz son cero.
No lo es así con i x j.
Si tenemos i x j, por ejemplo, calculemos su magnitud.
La magnitud de i x j es la magnitud del primero por la magnitud del segundo por el
seno del ángulo entre ellos, que son 90 grados, y el seno de 90 es igual a uno.
De tal manera que me queda un uno.
Observen, la magnitud del producto cruz entre i y j es uno,
significa que el resultado tiene que tener un vector que tenga magnitud uno unitario.
Además, i x j es un vector que tiene que ser perpendicular a i y j.
Es decir, al plano formado por i y j, es decir, al plano X Y.
Esto significa que no más tengo dos opciones,
que vaya en dirección Z o que vaya en dirección menos Z.
De acuerdo a la regla mano derecha,
si utilizamos la regla mano derecha nos queda en dirección Z.
Significa que el producto cruz entre i y j, i x j,
en ese orden, nos quedaría un vector de magnitud uno que va en dirección Z.
¿Y qué es ese vector?
Pues es el vector unitario k.
De tal manera que me queda que i x j es igual a k.
Si yo quiero multiplicar j x k va a ser algo similar,
porque j x k como magnitud me quedaría uno por uno que son la magnitud de los
vectores por el seno de 90 grados que es uno.
De tal manera que me queda que el resultado me tiene que dar
un vector con magnitud 1.
Y j x k, debe ser en dirección i o -i.
De acuerdo, la mano derecha es dirección x,
por lo tanto es el vector i, de tal manera que j x k es i.
Y de la misma manera k x i, si yo hago la operación, si hago el ejercicio,
k x i me va quedar un vector que va en dirección Y y que tiene magnitud uno.
Eso significa que tiene que ser j, k x i es j.
Claro que si yo multiplico el i x k,
es decir al revés, i x k, me quedaría un vector -j.
Muy bien, de tal manera que si expreso las multiplicaciones en producto cruz de
estos vectores unitarios, como conclusión me queda que i x i es cero, j x j es cero,
k x k es cero, i x j es k, j xk es i, k x i es j.
Y también puedo decir entonces que j x i es -k, que k x j es -i, y que i x k es -j.
Eso lo puedo concluir, ¿para qué me srive ésto?
Bueno si yo tengo los vectores en función de las componentes y los vectores
unitarios cartesianos,
puedo entonces hacer operaciones de producto cruz bastantes sencillas.
Y claro, esto lo pudo acumular con nuestros conocimientos
de vectores en suma, resta, multiplicación por escalar,
multiplicación producto punto, y hacer muchas operaciones.
Bueno, ¿qué pasaría?
Si yo tengo dos vectores, A y B, en función de las componentes, y los vectores
unitarios cartesianos, puedo hacer la multiplicación de producto cruz.
Y bueno, así como lo hice producto punto, puedo hacer operaciones de cada uno
de los términos del primer vector con cada uno de los términos del segundo vector.
Nos quedaría entonces, Ax Bx i x i.
Pero you sabemos que i x i es cero.
Luego tenemos Ax, By x j.
Y sabemos que i x j es k.
Y así sucesivamente, cada uno de los términos del primer vector con cada uno de
los términos del segundo vector.
Y obtengo esta serie de términos que conozco el resultado de cada una de las
operaciones de los vectores unitarios cartesianos.
De tal manera que si yo sustituyo el resultado, lo que me queda
si hago operaciones de álgebra, lo que me queda es éste como resultado.
El resultado de el producto cruz entre dos vectores no es una ecuación tan sencilla
como en el caso de producto punto.
Pero es una ecuación que podemos obtener siempre con las multiplicaciones de
vectores unitarios.
Entonces nos quedaría, como les comento, una operación más sencilla.
Bueno, con ésto terminamos producto cruz, les agradezco su atención.
[MUSIC]
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