[MUSIC] Hola de nuevo. El método gráfico fue el primero que vimos en el video de esta semana de ejercicios. Vimos también el método de aproximación numérica. Bueno, hoy vamos a usar un método que es el método por medio de la definición de la velocidad instantánea. Es decir, podemos llamarle el método analítico. Y este nos va a dar una función de velocidad para todo tiempo t. Vamos al ejercicio. El hecho, vamos a calcular o determinar la función de velocidad de una partícula. you no nada más vamos a calcular la velocidad de un solo instante de tiempo. Sino que vamos a formar una función que nos permita calcular la velocidad para cualquier instante de tiempo. Nos da la función x(t) = -1.00t² + 2.00t- 3.00 (m) todo está dado en metros y el tiempo está dado en segundos. Entonces, queremos determinar una función para la velocidad. you habíamos visto que la definición formal es el límite cuando delta t tiende a 0 de, pues ahora lo podemos escribir como la velocidad media. En donde este delta x, vamos a poner ésto en unos términos un poquito más generales. Este delta x es la posición para un instante de tiempo final, menos la posición evaluada en un instante de tiempo inicial. Y todo dividido entre un intervalo de tiempo. Noten que en lugar de utilizar el símbolo delta t para el intervalo de tiempo, estoy utilizando un nuevo símbolo el símbolo epsilon. Puede ser cualquier símbolo, puede ser una A, una H. En muchos libros de matemáticas vas a encontrar esto con diferentes representaciones. El caso es que como vamos a necesitar hacer un poco de desarrollos algebraicos. El símbolo delta t pues tiene dos caracteres para un mismo símbolo. Así que vamos a simplificar la notación. No quiere decir que estemos cambiando en absoluto la idea de la velocidad instantánea. Simplemente estamos cambiando de símbolo para facilitar un poquitito el proceso. Y por supuesto, pues el límite en lugar de decir delta t diría el límite cuando epsilon tiende a 0. Tenemos en la teoría que lo que necesitamos es un instante de tiempo determinado, vamos a llamarle ahora en forma genérica t. Esto va a ser muy parecido a lo que hicimos para el método de aproximación numérica. En donde visualizamos qué es lo que teníamos que hacer para calcular la velocidad instantánea en una línea del tiempo, en el eje del tiempo. Así que, aquí en lugar de utilizar un instante, específicamente algún número. De las posibles cantidades que puede tener el instante de tiempo vamos a llamarle simplemente t. Y por supuesto en ese instante de tiempo la partícula tiene alguna posición que se representa por medio de x evaluado en t. Okay, Igual que en el ejercicio de la aproximación numérica. Vamos a dejar que transcurra en un intervalo de tiempo. Que you hace un momento dijimos que ese intervalo de tiempo le vamos a llamar simplemente epsilon. Y como estamos hablando de un intervalo de tiempo infinitesimal decimos que es un intervalo de tiempo epsilon, tiende a 0. No puede ser 0 exactamente porque si no entonces nuestra división en la definición de la velocidad instantánea quedaría una división entre 0. Que es una operación indefinida. Bien, ahora, este análisis que estamos haciendo inicia en el instante t. Estamos dejando que transcurra un intervalo de tiempo epsilon. Por lo tanto, este intervalo termina justo en el instante no t, sino t más epsilon. Esto es muy fácil de pensarlo porque si, por ejemplo, t son las seis de la tarde y epsilon son tres horas, es un intervalo de tres horas. Aquí serían las cinco más tres, las ocho de la mañana o las ocho de la noche. Entonces aquí en forma genérica tenemos una t y estamos dejando transcurrir epsilon unidades de tiempo. Por lo tanto este instante es el instante t + epsilon. Y claro, En ese instante de tiempo la posición de la partícula sería la posición evaluada en el instante t más epsilon. Noten que nuestra definición de la derivada, lo que quiere que hagamos es, restar la posición final que es esta de aquí menos la posición inicial que es esta de aquí. Y el resultado dividirlo por el intervalo de tiempo que dijimos que es epsilon. Y por supuesto evaluar toda esa cantidad que noten que por el momento, si epsilon no tiene asignado ningún valor específico, eso es simplemente una velocidad media. Pero en el límite cuando epsilon tiende a 0. Esto se convierte en una velocidad instantánea para el instante de tiempo t. Bien, pues tenemos que encontrar tres cantidades, más bien hablar de tres cantidades porque en verdad no tenemos que encontrar todos estos tres. Por ejemplo. En esta fórmula no tenemos que sustituir nada para épsilon, porque épsilon you tiene no exactamente un valor definido pero si tiene una restricción. Ese épsilon debe ser una caridad tan pequeña que sea prácticamente cero. Aunque recuerden que no podemos sustituir directamente el cero. Tenemos otra cantidad aquí que es la posición en el instante t. Bueno esa posición en el instante t, noten la redacción de nuestro ejercicio. Hay nos dicen que esta dada por x(t) = -1t² + 2t- 3. Así que podemos escribir eso aquí. Menos t cuadrada. Voy a quitar las constantes con el caso de los unos, no va a ser necesario ponerlos, voy a quitar los ceros también. Eso nada más nos va a servir para que al final podamos dar una respuesta redondeada a la cantidad de cifras significativas correctas. Entonces, pues simplificado esto sin tanta formalidad de cifras significativas tendríamos la función -t cuadrada más 2t menos 3. Así que esa es la posición en el instante t. Eso lo vamos a sustituir aquí. Pero en un momento más, vamos ahora a averiguar cuál es la posición en el instante t más épsilon. Pero al igual que en cualquier otra función la posición en algún instante de tiempo. La forma de calcularla es simplemente sustituir ese instante de tiempo determinado en la ecuación para todas las t que vean. Por ejemplo en este caso, como tengo la función -t cuadrada, aquí en lugar de poner t debería escribir menos abrir un paréntesis y poner t más épsilon elevado al cuadrado. Noten que ese menos está operando sobre el resultado de lo que de t más épsilon elevado al cuadrado. Luego más dos veces t más épsilon. Y menos 3. Comparen la función, la posición en t y la posición en t más épsilon. La única diferencia entre las dos es que en lugar de que una dice t y la otra dice t más épsilon. Bueno, pues esta es la que tenemos que sustituir también, junto con todo lo demás en la definición de velocidad instantánea. Podemos hacer un arreglo algebraico aquí para que you sea más fácil la sustitución. Pero puede ser también después de haber sustituido. Yo lo voy a hacer de una vez, vamos a aplicar este signo negativo, al cuadrado de este binomio, recuerden que el binomio al cuadrado es en este caso el cuadrado de t pero con el signo negativo que esta afuera se va a hacer negativo. Más dos veces t por épsilon, pero con el menos se convierte en negativo, más épsilon al cuadrado pero con el menos es épsilon al cuadrado negativo. Más dos t más dos épsilon, aquí por la ley distributiva multiplicamos el dos por la t y el dos por el épsilon también y todo menos tres. Bueno eso es al posición en el instante t más épsilon. Parece que you tenemos todos los datos listos para sustituir en la definición formal de la velocidad instantánea. Así que vamos a sustituir. Tenemos que el límite cuando épsilon tiene a cero t pues como lo marca la definición. La posición en el instante t más épsilon que es todo lo que obtuvimos hace un momento en forma algebraica, es decir -t² -2tε- ε² + 2t + 2ε -3 aquí you tenemos esta parte you sustituimos la posición en el instante t + ε. Le vamos a restar la posición evaluada en t, que recuerden que esa es la función y la función es -t² + 2t- 3. Pero con este signo menos que se aplica a toda la función, por la ley distributiva tenemos que cambiarle el signo a todo. Así que nos va a quedar +t², -2t + 3 y bien todo dividido como está en esa definición, todo dividido entre el intervalo de tiempo que es épsilon. Noten que aquí podemos simplificar en buena medida mucho de lo que está en la parte superior de esta expresión. Porque menos t cuadrada y t cuadrada se cancelan, 2t- 2t tambien- 3 y +3 tambien. Y nos queda simplemente el límite cuando épsilon tiene a cero de 2tε- ε² + 2ε y todo dividido entre épsilon. Bien vamos a la parte de evaluar este límite. Evaluar un límite, bueno ese es un tema que se ve con mucha profundidad en un curso de cálculo. Sin embargo para ponerlo de una manera cualitativa, de una manera fácil para los que apenas van empezando en este tipo de herramientas de matemáticas. Consideren evaluar un límite algo así como, hacer la operación que nos dicen dentro de toda esta cajita la que está después de el símbolo de límite. Pero suponiendo, Un valor para épsilon en este caso que es muy pequeño, algo muy cercano a cero. Y un primer intento que uno puede hacer cuando evalúa límites es simplemente sustituir el valor que dice aquí al cual se aproxima esa variable, que aparece. Pero el problema en este momento es que si evaluamos en cero esa expresión que está ahí pues nos va a dar cero entre cero y como cero entre cero es una operación indefinida pues no llegamos a nada. Por lo tanto, lo que sigue es tratar de hacer un arreglo algebraico para ver si podemos deshacernos de esa épsilon que está en el denominador que es la que nos está impidiendo que tomemos el camino fácil de simplemente sustituir a épsilon por un cero. Entonces noten que en el numerador, tenemos épsilon como factor común y por lo tanto como es factor común lo podemos factorizar. Entonces vamos a factorizarlo y nos va a quedar ε (-2t- ε + 2) y todo entre ε épsilon. De esta manera, épsilon el numerador y épsilon el denominador se cancelan. Y volvemos a ver lo que nos queda en esta cajita y nos queda la expresión -2t -ε + 2. Y ahora es momento en el que podemos volver a pensar, en que tal si nos vamos por el camino fácil y simplemente sustituimos un cero para las épsilon que se vean en esa expresión. Y nos damos cuenta de que si se puede hacer porque si a una cantidad como -2t + 2 le sumamos algo muy pequeño, que es un épsilon o se lo restamos como dice aquí pues prácticamente la cantidad -2t + 2 no cambiaría nada. Así que en realidad en el límite cuando este épsilon es una cantidad infinitesimal es decir algo como .000000 muchos kilómetros de ceros y un uno al final, pues no le va a hacer nada si se la sumamos o se la restamos a una cantidad. Así que el resultado de esto va a ser que la velocidad en el tiempo t es simplemente -2t + 2. Que por supuesto si ahora you regresamos al esquema de utilizar la precisión de las mediciones con que fue generada la función de posición, pues deberíamos redondear ésto a tres cifras significativas. Deberíamos poner las constantes, como aparecen justo en la función de posición original. Por lo tanto, deberíamos escribir -2.00t + 2.00 por supuesto metros entre segundos. Vean la definición, en la definición restamos una cantidad de la dimensión longitud. Perdón, obtuvimos una cantidad de la dimensión longitud, porque es una resta de dos cantidades de dimensión longitud y la dividimos, entre una cantidad de la dimensión tiempo. Entonces el resultado debería tener dimensión de longitud entre tiempo. Y como aquí la posición está en metros y el tiempo está en segundos, el resultado va a quedar en metros entre segundos. Noten que el resultado de esto fue una función que nos permite calcular la velocidad de la partícula para cualquier instante de tiempo. Basta con sustituir el instante en esa función. Bueno pues el problema también nos pide que calculemos la velocidad en el instante dos segundo, por lo que lo único que tenemos que hacer sustituir t igual a dos segundos en esta función, ¿que nos queda? Que la velocidad en el instante dos segundos es, v(2.00 (s) = 2.00 (2) + 2 (m/s), metros por segundo y por supuesto, redondeado a tres cifras significativas, sería -2.00 metros por segundo. Bien, este es un ejemplo de cómo utilizar la función formal de la derivada, para determinar la velocidad instantánea, entonces you podemos empezar a utilizar el término derivada de una función de posición para referirnos a la velocidad de la partícula. Más aún vamos a ver también que la derivada de la velocidad es la aceleración, es decir la razón con la que cambia, la razón instantánea de cambio de la velocidad es la aceleración. Bueno pues esto fue un ejemplo de cómo determinar la función de velocidad de una partícula dada su función de posición, utilizando el método analítico. Es decir, la definición matemática de la velocidad instantánea. Que no es otra cosa más que la derivada de la función de posición con respecto al tiempo. Que para la próxima vamos a utilizar no el método analítico sino unas fórmulas para derivar las funciones y obtener la función de velocidad mucho más rápido. Hasta la próxima. [MUSIC].
