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Vamos a hablar sobre vectores en el espacio.
De hecho podemos hablar de vectores en el espacio 2D en el plano cartesiano
como you lo hemos visto, pero si nosotros queremos hablar de una tercera dimensión,
en el espacio 3D, una generalización,
primero que nada tenemos que ponernos de acuerdo en cómo representarlo.
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La forma en la que generalmente se representa es imagínense que acostamos el
plano cartesiano, y nosotros lo que sería el eje vertical
que también es perpendicular a ese plano xy, se va a llamar el eje z.
Y you vimos lo que son los vectores unitarios en el plano
cartesiano como es el i en dirección de x y el j en dirección de y.
Pero ahora para el eje z, el vector unitario que va a referirse
a ese eje es el vector k unitario, y esto es por definición.
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Para saber los sentidos o los positivos de los ejes,
es bien importante que apliquemos la regla de la mano derecha, aunque sean zurdos
como en mi caso, apliquen la regla de la mano derecha para que no se equivoquen
en asignar la dirección de los ejes positivos, you sea del x, y y z.
¿Cómo se aplica la regla de la mano derecha?
Si ustedes ponen la mano derecha así, este
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el índice apunta en dirección del eje x positivo,
el dedo de en medio está haciendo 90 grados respecto del índice,
y en este caso apunta en dirección del eje y positivo,
el vector unitario es el j, y su vector pulgar que
debe de hacer 90 grados respecto del eje yx y respecto del eje y,
de hecho entre estos dos ejes se está formando un plano, ¿verdad?
Mi pulgar, mi vector unitario k está en dirección de z positiva.
Entonces x positiva hacia ustedes y positiva y z positiva.
Y nosotros podemos representar cualquier vector
en el espacio tridimensional volviendo a sus componentes y multiplicando
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sus componentes obviamente por los vectores unitarios i, j y k.
En este caso construimos el vector negro el total
sumando el vector rojo en x, el morado en y, y el verde en k.
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Igual manera, el vector tiene sus componentes como you vimos,
y el vector unitario es igual es dividir el vector entre su magnitud, cada una de
sus componentes entre su magnitud, y la magnitud total del vector es igual,
es la raíz cuadrada de la suma cuadrada de cada uno de sus componentes, ¿okey?
La demostración es sencilla pero realmente lo que tienen que hacer es que estamos
aplicando Pitágoras para diferentes triángulos rectángulos, por eso es, este,
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sigue siendo la raíz cuadrada del cuadrado de cada una de sus componentes.
Una observación muy importante es que podemos representar un vector en el
plano en 3D en el espacio, con coordenadas rectangulares,
en este you lo vimos, son las componentes i, j y k,
con vectores las componentes x, y, y z de los vectores unitarios i, j y k.
O también podemos decir la magnitud de un vector y 3 ángulos.
¿Cuáles ángulos?
Los ángulos que hace ese vector respecto de los ejes x positivo,
en este caso sería el ángulo alfa, el eje y positivo denominado o
por convención es el ángulo beta, y el ángulo que hace ese vector respecto del
eje z positivo que sería o se denomina el ángulo theta.
De hecho, estos ángulos pueden estar entre 0 y 180 grados, como you acabamos de ver.
¿Cuál es la distancia máxima entre el vector unitario i y el menos i?
Pues es que son vectores opuestos.
Entonces barriendo o estos ángulos de entre 0 y 180 para alfa,
beta y theta, podemos recorrer todo el espacio, todas
las infinitas direcciones posibles que existen en el espacio para una magnitud.
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Y más adelante vamos a ver otro sistema de coordenadas.
Pero, es muy útil hablar de estos 3 ángulos, de estas 3 direcciones.
¿Por qué?
Porque es equivalente, estos ángulos son equivalentes a las componentes del vector
unitario de este vector que estamos nosotros trabajando, en este caso de A.
¿Por qué?
Nosotros you vimos, deben de saber que las identidades, que los cosenos
son adimensionales, las identidades trigonométricas y sus argumentos.
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En este caso, el coseno de alfa, que alfa es el ángulo que hace el vector
respecto del eje x, yo espero que se puedan imaginar que se
está formando un triángulo rectángulo, y el coseno es el cateto adyacente,
en este caso la componente x sobre la hipotenusa, que es el valor de la magnitud
del vector A, y lo mismo se replica para el coseno de beta y el coseno de theta.
Entonces lo que estamos haciendo con identidades, propiedades de ángulos,
para a partir de los ángulos alfa, beta y theta, estamos obteniendo las componentes
del vector A unitario o del vector unitario en dirección de A,
que sería Ax sobre A, Ay sobre A y Az sobre A.
Por eso estos vectores son tan importantes, porque representan el vector
unitario o nos ayudan a representar el vector unitario de cualquier vector,
y se llaman cosenos directores porque son los cosenos de alfa, beta y theta
y nos están diciendo la dirección, que ese es el objetivo de un vector unitario.
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Digamos, hacemos adimensional un vector,
quitamos su magnitud en juego y nos quedamos con la dirección únicamente.
¿Y cómo podemos volver a comprobar que están representando a un vector unitario?
Porque la magnitud de estos cosenos, o sea coseno cuadrado de alfa más
coseno cuadrado de beta más coseno cuadrado de theta es igual a 1.
Ahora bien, si nosotros queremos expresar este vector con coordenadas rectangulares,
también tenemos que estar o ver que ese vector A genera una proyección
en el plano xy, que quiere decir, ese vector en el plano cartesiano,
es ese vector morado y se le define como A sub xy,
o sea que es la componente xy del vector A.
Y ese vector Axy es igual a el vector rojo en la componente x por el vector
unitario i, más el vector azul que es la componente y por el vector unitario j.
¿Okey?
Y esto nos sirve, ¿por qué?
Porque podemos representar también a un vector en el espacio
a partir de una magnitud y de 2 ángulos.
O sea al menos necesitamos 3 datos para representar un vector en el espacio,
you sean las 3 componentes espaciales rectangulares,
o una magnitud y 2 ángulos o también podemos expresarlo
con 4 datos que serían los cosenos directores, 3 ángulos y una magnitud.
En este caso aquí estamos viendo cómo definir
el ángulo que estaría haciendo ese vector, la proyección de ese vector en
el plano cartesiano es lo que habíamos visto anteriormente.
El ángulo que se define en el plano cartesiano es respecto del eje x
positivo y en sentido contrario de las manecillas del reloj.
Y para estas coordenadas en el espacio, que llamamos esféricas,
las que estamos construyendo, ese ángulo se denomina fi.
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Vemos que el ángulo theta es el mismo que hace el vector respecto del
eje z, y que la proyección del vector, en este caso el vector B,
lo que sería Bx viene siendo B por el seno de theta,
que es la componente que está en el dibujo que nosotros trasladamos
you sea en donde termina el vector B o en el plano xy.
Recuerden, lo trasladamos un vector sin cambiar su dirección ni su magnitud.
Y entonces podemos ver que fi puede recorrer de 0 a 360 grados,
theta de 0 a 180 y la magnitud del vector puede ir de 0 a infinito y podemos
nosotros pasar de coordenadas cartesianas, you sea Bx, By, y Bz, a coordenadas
rectangulares en donde tenemos la magnitud del vector y dos direcciones,
theta que es el ángulo que hace el vector con z positivo, y fi que es el ángulo que
hace la proyección del vector en el plano xy con respecto del eje x positivo.
[MÚSICA]
Dr. Genaro Zavala EnríquezDirector del Departamento de Física
Ing. Rodolfo Fernández de Lara HadadProfesor del Departamento de Física
Ing. José Rodrigo Salmón FolguerasProfesor del Departamento de Física
