Hola, ¿qué tal? En este video vamos a encontrar una fórmula para obtener la distancia que hay de un punto a una recta. Cuando nos preguntan sobre la distancia que hay de un punto a una recta, en realidad nos están preguntando sobre esta lÃnea. En este caso, el punto "C" me indica un punto dentro del plano cartesiano y en el cual nos están dando sus coordenadas, o sea "(xC, yC)" es un dato y queremos saber cuál es la distancia que tiene a la recta que también tenemos como dato. En este caso, la recta tiene por ecuación "m x" más "b". Entonces, la distancia más corta entre un punto y una recta es un segmento de recta que es perpendicular a la recta que nos están dando y toca el punto de interés. AsÃ, estas dos rectas tienen un ángulo de 90 grados. La pregunta: ¿cómo saber cuánto vale ese segmento? Para poder responder a esto, lo que acabo de hacer es dibujar una lÃnea perpendicular al eje "X" que conecta al punto "C". ¿Por qué hicimos esto? Hacemos eso porque dénse cuenta que lo que estamos generando son dos triángulos rectángulos. Los he puesto, el ángulo de 90 grados con un color verdecito. Y no sólo eso. Si me fijo en los ángulos que están formando la intersección de estas dos rectas, la recta que me dan como dato y el segmento de lÃnea que es perpendicular al eje "X", nos damos cuenta que como son estos ángulos opuestos por un vértice, entonces son iguales. Por lo tanto, el ángulo que tengo aquÃ, este ángulo y el otro también tienen que ser iguales. De esta manera, lo que estoy construyendo son dos triángulos semejantes. Dentro de esos triángulos semejantes, en lo que estoy interesado, por ejemplo, es en el seno del ángulo "alfa". El seno de este ángulo es igual a "d", donde "d" es esto, entre la hipotenusa "h" minúscula, es esto. Dénse cuenta que el seno de ese ángulo debe ser igual al seno de este ángulo, donde la "D" mayúscula va a ser este cateto y donde la "H" mayúscula va a ser esta hipotenusa. Como tienen que ser iguales el seno de "alfa", a lo que llego es que "d" sobre "h" minúscula va a ser igual a "D" sobre "H" mayúscula. O, en otras palabras, "d", que es la distancia del punto a la recta en la cual yo estoy interesada, va a ser "h", esta hipotenusa, "D", la distancia que tiene este cateto, y "H" mayúscula, que me representa esta hipotenusa. Ahora lo que voy a poner es el punto "E" que va a ser la intersección del eje "X" con la lÃnea perpendicular que conecta con el punto "C". Ahora, el punto "F" y finalmente, el punto "G". ¿Por qué pongo estos puntos? Pongo estos puntos porque estos puntos, a partir de los datos que me están dando, yo los conozco. Por ejemplo, las coordenadas del punto "F" van a ser, como el punto "C" tiene coordenada en "xC", todos los puntos que caigan sobre estas lÃneas van a tener coordenadas en "x" igual a "xC". AsÃ, "F" y también el punto "E" va a tener coordenadas "xC" coma cero. En "y", el punto "C" en "y" tiene coordenadas "yC". El punto "E", como intersecta el eje "x", va a ser cero y la coordenada "y" que va a tener el punto "F" es precisamente el valor que me arroje la ecuación de la recta evaluada en el punto "xC". Para el punto "G" lo que tengo como coordenadas es "menos b" entre "m" coma cero. Ahora, lo que tengo que hacer para evaluar la distancia a "H" es obtener la distancia que tengo entre dos puntos. La distancia "D" mayúscula va a ser la distancia que tenga entre el punto "E" y el punto "G" y la distancia de la hipotenusa del triángulo grande, de "H" mayúscula, va a ser la distancia que tengo entre el punto "F" y el punto "G". Hagamos las operaciones correspondientes. Recordemos cómo es la distancia que se obtiene entre dos puntos. La distancia entre dos puntos la podemos sacar como "x2" menos "x1" al cuadrado, en este caso va a ser cero al cuadrado, más "y2", menos "y1", "y2" es "yC", "yC" menos "m" "xC" menos "b", al cuadrado y luego la raÃz cuadrada. Recuerden que una operación de ese tipo, cuando yo tengo un número, lo elevo al cuadrado y saco su raÃz cuadrada, en realidad lo que yo estoy sacando es el valor absoluto. La distancia "h" la voy a obtener como el valor absoluto de la diferencia del punto "yC" y el valor de la "y" que genero con la recta evaluada en "xC". Vayamos con otro dato, con "D". "D" es la distancia que tengo entre el punto "E" y el punto "G". Entonces, es "x2" menos "x1", en este caso, como tengo menos, menos por menos es más, y por eso obtengo "xC" más "b". Eso, al cuadrado, más "y2", menos "y1" es cero. Lo que tengo que hacer es esto menos esto al cuadrado y luego la raÃz. Nuevamente, lo que estoy evaluando es el valor absoluto. Voy a hacer un poco de álgebra en este caso. Lo que voy a hacer es, de aquÃ, factorizar uno entre "m", uno entre "m" que multiplica a "m xC", porque cuando yo tengo uno entre "m" por "m" se cancela y me queda simplemente "xC". Uno entre "M" por "b" me da "b" sobre "m". ¿Por qué lo hice asÃ? Porque me doy cuenta que tengo el valor absoluto de uno sobre "m" por este binomio. El resultado es uno entre el valor absoluto de "m" por el valor absoluto de "m xC" más "b". De esa manera ya obtuvimos "h" minúscula, "D" mayúscula y, ahora lo que tengo que obtener es la distancia entre estos dos puntos, tengo que aplicar otra vez la ecuación de la distancia entre dos puntos. ¿Cómo lo hago? Lo voy a hacer "x2" menos "x1", aquà lo tengo, al cuadrado, más "y2", menos "y1", aquà lo tengo, al cuadrado y de ahà saco su raÃz. Para poder escribir una expresión que sea conveniente en la parte algebraica, lo que voy a hacer es exactamente lo que está aquà arriba. Voy aquà a factorizar un uno entre "m", uno entre "m" que multiplique a "xC" más "b" y como está al cuadrado, lo que tengo es uno entre "m" cuadrada, "m xC" más "b" al cuadrado, más este término. ¿Por qué lo hice asÃ? Dénse cuenta que aquà tengo este binomio al cuadrado que es idéntico a ese binomio al cuadrado. Lo que puedo hacer es factorizarlo. ¿A quién multiplica "m xC" más "b" al cuadrado? Multiplica a uno entre "m" cuadrada más uno. Es la raÃz de un producto entonces va a ser la raÃz del primer binomio por la raÃz de esta cantidad que está al cuadrado. Nuevamente, una cantidad que está al cuadrado y saco su raÃz es el valor absoluto. Continuamos con un poco de manipulación algebraica. Lo que voy a hacer ahora es, de este término, voy a factorizar uno entre "m" cuadrada. ¿A qué multiplica? Multiplica a un uno más "m" cuadrada. Otra vez tengo la raÃz cuadrada de un producto. Y en este primer producto, el primer factor lo que tendrÃa, uno entre "m" cuadrada, su raÃz es su valor absoluto. Tengo un uno entre el valor absoluto de "m" por la raÃz cuadrada de uno más "m" cuadrada por el valor absoluto de "m xC" más "b". Y terminamos. Lo que tengo que hacer ahora es evaluar la distancia en la que estoy interesado. Sustituyo cada una de las expresiones, "h" minúscula, "D" mayúscula, que es lo que tengo aquÃ, entre "H" mayúscula. Dénse cuenta que se va a cancelar uno entre "m", uno entre "m", el valor absoluto de "m xC" más "b" se cancela y el resultado es simplemente este. Con esto hemos encontrado una expresión para evaluar la distancia de un punto a una recta. Espero que este video haya sido de su ayuda. Saludos.