Hola, ¿qué tal? En este video analizaremos a la hipérbola viéndola como el resultado de obtener las raíces de un paraboloide hiperbólico. Nuevamente, para hacer este análisis vamos a usar GeoGebra. Comencemos a escribir la ecuación relacionada con la hipérbola y para eso el punto de partida que vamos a tener es la función de dos variables que ya hemos tratado en otros videos para analizar la circunferencia, la parábola o la elipse. Recuerden que, como en los otros casos, el término que aparece donde aparece el producto "xy", en este momento no lo voy a considerar. Y de esta función de dos variables como grado máximo dos, lo que voy a tomar en cuenta ahora es que el signo de "A" y el signo de "B"son distintos. Así, si hago el producto de uno por el otro, me va a dar negativo. Entonces, esa es la única restricción que voy a poner es "C" igual a cero y "A" y "B" que difieran en el signo. Por ejemplo, puede incluso tener "A" y "B" en magnitud pueden ser iguales, pero sus signos tienen que ser diferentes. Veamos un ejemplo. Este es un primer ejemplo que voy a utilizar. Dense cuenta que en este caso, "x" cuadrada y "y" cuadrada tienen diferentes signos. Esto es lo que voy a graficar con GeoGebra. Veamos qué tenemos como resultados en GeoGebra. ¿Recuerdan que en GeoGebra el eje rojo representa el eje "x"; el eje verde, el eje "y" y el eje de color azul, el eje "z"? El paraboloide hiperbólico que acabo de escribir tiene esta forma. En muchas ocasiones se refiere a esta función como una silla, una silla de montar, no una silla de oficina o de la mesa que tenemos en el comedor. Se parece mucho a la silla de montar. En México, tenemos en una región del norte del país, en Monterrey, una montaña, un cerro, que asemeja a una silla y por eso se le conoce como el Cerro de la Silla. Recuerden que, en lo que nosotros estamos interesados, es en los ceros de esta función, O sea, ¿dónde interseca esta función con el plano "xy"? En nuestro caso, lo que vemos es que este corte sería aquí o acá. ¡Ahí está! Esa sería una perspectiva que nos permite ver claramente dónde están los ceros del paraboloide hiperbólico. Estamos interesados en los ceros de esta función. Nuevamente, recurriendo al completamiento de un cuadrado perfecto, tenemos una expresión de esta forma, la cual a través de lo que hemos hecho con la elipse, podemos ver que podemos escribir esto de esta manera. Esta es la ecuación canónica de la hipérbola. Entonces, lo que nos muestra aquí es que tiene como centro el punto uno,uno. La parte positiva que tenemos en el término que va al cuadrado es en la "x" y el término negativo es en la "y". Entonces, cuando tengamos una expresión de este tipo, la parte positiva nos indica sobre el eje donde van a abrir las ramas del hipérbola. En este caso, van a ser horizontales, porque van sobre el eje "x". Y este término que va al cuadrado y este al cuadrado está relacionada con dos distancias importantes. Regresemos nuevamente a la figura. A estos ceros se les conoce como la hipérbola. Entonces la hipérbola, a diferencia de la elipse, de la parábola o de la circunferencia, consta de dos ramas. En este caso va una rama, abre hacia los valores negativos de "x", y esta otra rama abre hacia los valores positivos de "x". Tratemos de hacer un análisis de esta figura, de esta curva. Para eso, lo primero que voy a reconocer es que tiene dos ejes de simetría. Un eje de simetría estaría aquí. Estarán ustedes de acuerdo en que si yo hago un doblez de esta figura alrededor de ese eje, de esa línea negra, me generaría un eje de simetría. Otro eje de simetría que tendría sería este, donde se da la intersección de sus dos ejes de simetría, se tiene el punto que se le conoce como el centro. Este punto sería el centro de la hipérbola. Otros dos puntos que son importantes en el estudio de la hipérbola son los vértices. El vértice está definido como la intersección de la hipérbola con el eje de simetría hacia donde abren las ramas. En este caso es horizontal, entonces tengo un vértice y otro vértice. Dense cuenta aquí, gráficamente, que la distancia que yo tengo del centro al vértice, a cualquiera de ellos dos tiene una unidad. Es precisamente este valor el que se encuentra dividiendo a la "x" cuadrada. Recuerden que también en la "y" al cuadrado estaba dividido entre uno. Esa distancia que tenemos entre el centro sería en dirección, ya sea hacia arriba o hacia abajo del eje conjugado, que es el otro eje de simetría. Del punto "A" al punto "D" tendríamos esa distancia, que está relacionada con el valor que está dividiendo a la "y" cuadrada. Tengo otro punto aquí. Otro aquí, y otro aquí. Fíjense que la distancia que yo tengo del punto "C" a los puntos que acabo de dibujar, por ejemplo de C a esta esquina, a esta esquina o esta esquina, resulta que son puntos que caen sobre una circunferencia. La intersección que yo tenga de la circunferencia con el eje de simetría que escribimos en un principio, donde abre la hipérbola, esos puntos de intersección, sería este punto del punto "E". Estos puntos, precisamente, me representan los focos. Entonces caen sobre este eje, al que vamos a llamar "eje focal", y el otro es el "eje conjugado". Recuerden que la distancia que yo tengo del centro al foco es precisamente la distancia que tengo del centro a uno de los puntos que dibujé aquí. Recuerden que de aquí acá tengo la distancia que está dividiendo a "x" cuadrada; de aquí acá es la que está en "y" cuadrada y entonces tengo un triángulo rectángulo, y a través del teorema de Pitágoras yo puedo encontrar esa distancia. Con los focos, vértices y centro, nosotros podemos hacer el dibujo de nuestro hipérbola. Esta es la hipérbola en la cual estamos nosotros interesados, y en tres dimensiones se vería así. Lo voy a poner en otra perspectiva. Si nosotros no queremos ver la figura en tres dimensiones, nos quedaría así. Esta sería nuestra hipérbola. Ahora, la pregunta que surge es: ¿qué sucede si cambiamos el signo de los coeficientes de las variables que van al cuadrado? En este caso, "x" cuadrado y "y" cuadrado. La función que tendríamos tendría esta forma, muy similar a la anterior, y los ceros de esa cantidad estarían dados por esta ecuación. Nuevamente, si hacemos uso de completar el trinomio cuadrado perfecto, lo que tendríamos sería algo así o así. A diferencia del caso anterior, ahora el signo positivo de la ecuación está con la "y", que está al cuadrado, y el signo negativo con la "x". La distancia que tenemos de este término, que nos dice la distancia del centro al vértice, va a ser idéntico al caso anterior y también para la "x". Veamos cuál es el efecto de esto con GeoGebra. En este caso tendremos una hipérbola que sus dos ramas abren sobre el eje "y" hacia los valores positivos de "y" y hacia los valores negativos de "y". El centro estará ubicado con coordenadas menos uno, menos uno y la distancia del centro al vértice es igual a uno. Este punto de aquí a acá sería la distancia también de uno que está dividiendo al término donde está el "x" al cuadrado. Con estos cuatro puntos también podemos generar dos rectas que son interesantes. Esta y esta, y esta con esta. A estas dos rectas se les conoce como "asíntotas", porque nos representan el comportamiento para valores grandes de "x" o de "y": el comportamiento asintótico de la hipérbola. Ese comportamiento nos lo indican las dos líneas rectas, y la vista en tres dimensiones de esta figura se ve así. Muy bonito. Realmente precioso. Espero que este video sea de su ayuda. Nos vemos en el siguiente. Hasta luego.