Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Геометрический взгляд на умножение комплексных чисел
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
35 calificaciones
De la lección
Комплексные числа
Conoce a los instructores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Итак,
геометрия умножения комплексных чисел.
А также алгебра и геометрия их деления.
Запишем произвольное комплексное число.
Оно соответствует некоторой точке или вектору из
нулевой точки в соответствующую точку плоскости с координатами ab.
Заодно нанесем здесь сопряженное комплексное число, которое
по определению является отражением этого вектора относительно вещественной оси.
И, соответственно, давайте еще введем такие
обозначения: z (одной буковкой z будем обозначать комплексное число целиком),
и тогда z с чертой будет a − bi.
Черта означает сопряжение.
Кроме того, норма числа z, которая как мы договаривались
равна a квадрат плюс b квадрат, тем самым просто равна произведению z и z с чертой.
То есть если я умножу по формальным правилам эти два числа,
то у меня сократится все что содержит число i.
Еще значит давайте.
Вещественной частью числа z называется a, мнимой частью числа z называется b.
Чтобы все обозначения ввести стандартные.
Модулем числа z называется корень из нормы или
длина соответствующего вектора вот этого.
Она же длина вот этого вектора.
Ну а это, соответственно, корень из a квадрат + b квадрат.
В этих терминах очень
удобно измерять расстояние между разными комплексными числами.
Вот есть какие-нибудь числа, допустим, w и q.
Как измерить расстояние между соответствующими двумя
точками, которые их обозначают?
Расстояние от w до q равно длине вот этого вектора, который есть разность между ними.
То есть это просто модуль разности w − q.
Поэтому на комплексном языке очень просто измерять расстояние на плоскости.
Это некоторые заготовки.
Теперь пусть есть еще одно число.
Назовем его, скажем, z1.
Оно равно c + di.
Что такое z * z1?
z * z1 несомненно равно, как мы уже проверяли,
ac − bd + + bc + ad * i.
Но это, так сказать, нам ничего не дает,
потому что мы не видим геометрически как устроено умножение.
Поэтому если я, скажем, это c + di где-нибудь заведу,
вот это ci −di будет.
Но я пока не очень понимаю, где находится произведение,
где на плоскости искать точку вот с такими вот двумя координатами.
Как это понять?
Давайте попробуем это понять.
Для этого сделаем следующее.
Для этого перемножим
сопряженные величины.
То есть a − bi и
c − di.
Фокус-мокус состоит в том,
что вещественная часть не изменится вообще.
Тут два минуса дадут плюс.
из-за того, что есть i квадрат возникнет еще третий минус.
Тут как бы три минуса встроены, минус на минус на минус,
который при i квадрат стоит.
Поэтому вещественная часть опять будет ac − bd.
А вот все, что содержит i, в точности поменяет знак.
Вместо +bc будет −bc, а вместо +ad — −ad, поэтому можем написать −(bc + ad)i.
Это мы просто наблюдаем из непосредственного рассмотрения,
то есть это сопряжение к произведению.
То есть если я возьму произведение и возьму сопряженное,
у меня останется вещественная часть такая же, а мнимое поменяет знак.
Поэтому мы получаем шикарную формулу, очень важную.
Формула гласит, что если я взял произведение двух комплексных чисел и
сопряг, то это все равно что взять произведение
сопряженных к каждому из них чисел.
То есть где бы ни лежало произведение вот этих двух векторов (я не знаю где,
ну хотя бы в той же точки w),
произведение вот этих будет лежать ровно с противоположной стороны от w.
С той стороны оси xo.
Вот.
Это пока ничего нам не проясняет, это начало довольно долгого пути.
Что же мы делаем теперь?
Теперь мы делаем так: мы записываем что такое
норма числа z умножить на z1.
Это как мы знаем
произведение числа z*z1 на его сопряженное.
Сопряженное произведение равно произведению сопряженных.
Поэтому это равно z * z1 * z с чертой * z1 с чертой.
Дальше я хочу сказать, мы надеемся, что правило выполнения операции
над комплексными числами будет удовлетворять обычным свойствам,
в частности, коммутативность будет иметь место, перестановочность множителей,
а также закон ассоциативности.
Эту надежду надо, безусловно, проверять.
На самом деле по-честному будет взять и проверить,
что формула такого умножения удовлетворяет всем требуемым свойствам, которые
предъявляются к числам: дестрибутивность, ассоциативность, коммутативность.
Предоставляю это вам сделать.
Позвольте мне не делать это в сотый раз в моей жизни.
Если мы это проделаем, то я меняю местами здесь эти два числа комплексных.
Получаю z * z с чертой умножить на z1 * z1 с чертой,
да еще и скобки расставлю иначе из-за ассоциативности.
Но тогда здесь написана норма z,
а здесь — норма z1.
И вот мы получаем потрясающую формулу,
что норма произведений равна произведению норм.
Но теперь мы можем извлечь квадратный корень и получить, что модуль произведения
также равен произведению модулей.
Вот это надо запомнить.
При умножении комплексных чисел их модули, то есть длины, перемножаются.
Вот эта вот длина будет равна произведению этих двух длин.
При этом нам нужно как-то выбрать масштаб, то есть я должен при этом показать,
где находится число 1, число i.
Где вот эта единичная окружность комплексная расположена,
потому что длины я буду измерять по отношению к ней, естественно.
После того,
как мы ввели систему координат, естественно у нас где-то точка 1;0 есть.
Через нее и проходит эта окружность.
Если я беру отношение вот этой длины к вот этой, умножаю на отношение вот этой к вот
этой, то это будет как раз произведений, отделенная на соответствующий радиус.
Запомним это и теперь сделаем
некоторую декомпозицию умножения.
А именно — мы вообще любое число комплексное можем
представить в виде числа с длиной 1 умножить
на какую-то вещественную положительную величину.
На самом деле речь идет о том,
чтобы число z представить в виде модуль z умножить на z деленый на модуль z.
Ну, кроме 0.
0 мы так не будет представлять.
Вот у этого числа если взять модуль, понятно, что это будет просто единица,
потому что модуль в числителе сократится с модулем в знаменателе.
Это вещественное число за знак модуля удаляется, если мы удлиняем или сокращаем
какое-то вещественное количество раз комплексное число, то понятно, что и длина
вектора соответствующего в такое же число раз увеличивается или уменьшается.
Модуль вот этого числа равно модуль z умножить на какой-то там s,
где s — комплексное
число единичной длины или единичного модуля.
Прекрасно, теперь дальше.
Беру произведение обычного
комплексного числа, произвольного, на вещественное.
Что получаю?
По формулам получаю, что будет просто a лямбда + b лямбда на i.
Что, собственно, и доказывает, что при умножении на вещественное
лямбда в соответствующее число раз увеличивается каждая из координат, т.е.
вектор просто удлиняется, не меняя своего направления, в лямбда раз.
Поэтому когда я хочу изучить,
что происходит с комплексным числом при домножении на произвольное
фиксированное комплексное число z, мне достаточно изучать что с ним происходит
при умножении на число по модулю равное единице, потому что при умножении
на вот этот модуль оно просто растянется и это совершенно понятно.
Давайте возьмем второе наше число и
умножим на первое число z, которое я представил в виде модуль z на s.
То есть вот z, вот s.
Вот оно, число на окружности лежит, да.
Модуль iii единицы.
И вот это произведение z на вот это число равно, во-первых,
удлинению вот в это количество раз.
Во-вторых, что-то происходит вот с этим числом при умножении на s.
Вот это и надо понять.
Итак, умножение —
это композиция
гомотетии в модуль z раз,
с центром в 0, и какого-то пока
неизвестного преобразования,
которое z1 переводит в s * на z1.
При этом у s модуль равен 1 уже.
С чем будет
совпадать это неизвестное преобразование — это тема следующего сюжета.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
