Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Преобразование двойного отношения
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
35 calificaciones
De la lección
Двойное отношение
Conoce a los instructores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Свойство двойного отношения, будем вот так обозначать
двойное отношение четырех чисел.
Эти числа — это координаты точек на прямой.
То есть прямая обычная, и есть четыре числа,
я сейчас располагаю их подряд, но, вообще говоря,
я могу поменять вполне значения, все равно возникнет некоторое число.
Это (c − a) разделить
на (c − b) разделить на то же самое с d.
То есть здесь будет (d − b), а здесь (d − a).
(c − a) умножить на (d − b) разделить на (c − b), умноженное на (d − a).
Сейчас мы будем просто изучать свойство вот такой
вот квадратичной функции четырех переменных.
Во-первых, вот эту функцию можно
распространить на проективную прямую.
Можно распространить
на RP¹.
Что значит, распространить на RP¹?
Это значит, что можно измерять, подставляя точки,
среди которых допускается бесконечность.
Ну начнем с некоторой оговорки сразу же: для разных четырех точек, не совпадающих.
Вот совпадающие мы подставлять не будем.
Совпадающие не будем, а бесконечность будем.
Но так как они разные, то бесконечность среди них не более чем одна.
Упражнение: придать точный смысл во всех случаях.
Придать выражению [a, b, c,
d] точный смысл (возможно,
тоже равный бесконечности, не обязательно конечному числу),
даже когда a, b,
c или d равно бесконечности.
Теперь я хочу проанализировать
поведение вот этого выражения при заменах координат.
То есть что будет, если я буду менять каким-то
образом четыре точки с помощью перестановки какой-то.
a, b, c и d я беру, и вместо них подменяю, скажем, b, d, a,
c поставлю, ну или еще как-нибудь изменю.
Вот для любой перестановки из S₄ я беру и меняю здесь.
Есть два способа смотреть на эти вещи.
Иногда подставляют старые значения вместо новых, то есть вот здесь d переходит в c,
значит я теперь вместо c подставляю d; c переходит в a,
значит вместо a здесь будет c, ну и так далее.
И посмотреть, чему будет это равно.
Либо прямо вот так тупо, топорно: a в b,
b в d, c в a, d в c подставляешь и переписываешь.
Некоторая путаница возникает, правильный способ немножко менее
логичный — подставлять наоборот, потому что в этом случае я могу взять две
перестановки такие вот: вот у меня σ такая перестановка и τ еще одна,
и вот если я σ и τ подряд перемножу (σ на τ как перестановки
в группе перестановок) и применю к вот этому выражению или к любому другому,
то будет то же самое, что вначале τ, а потом σ, к вот этому выражению.
А если менять топорно, заменять c на a и так далее,
то тогда здесь придется поменять порядок перестановок, и будет немножко кривовато,
что произведение перестановок действует как исполнение в
начале одной замены, а потом другой, но в противоположном порядке.
Лучше менять наоборот.
Но если неудобно менять наоборот, меняйте топорно,
просто помните про вот эту вот ситуацию.
Вопрос, который не зависит от того, так или так менять.
Вопрос такой: как это выражение меняется?
Вот я, допустим, знаю, допустим, я знаю, что оно равно x.
Пусть...
Или давайте даже λ обозначим, чтобы не путать с координатой.
Пусть λ = (c − a) * (d
− b ) разделить на (c − b) * (d − a).
Можно ли выразить
вот эту
вот перестановку от вот этого
отношения через λ,
или мне потребуется знать точные координаты a,
b, c и d или хотя бы некоторые выражения?
То есть, грубо говоря, достаточно ли мне информации дается в высказывании,
что двойное отношение равно λ, если я хочу узнать,
чему оно будет равно при тех или иных заменах a, b, c,
d друг на друга по любым формулам из группы перестановок?
Итак, берем выражение,
подменяем буквы любым из 24 разных способов.
Вопрос: достаточно ли знать, чему было равно это выражение,
чтобы выписать ответ во всех 24-х способах?
Ну, как бы сказать,
навскидку кажется, что, конечно, не должно быть достаточно.
Ну, это же маленькая-маленькая статистика — только одно чиселко
вместо четырех точек.
Так вот, тем более поразителен ответ, что этого достаточно.
Все 24 выражения, которые получатся при заменах a,
b, c, d по любым формулам из группы S₄, будут выражены через только
одно λ с помощью некоторых функциональных зависимостей.
И это один из самых красивых вообще сюжетов в конечной теории групп.
Один из самых красивых сюжетов.
Как меняется эта λ, что с ним происходит?
Я предлагаю всем для начала просто пощупать
какие-нибудь простые замены, типа: что происходит, если я a на b заменю.
Давайте это узнаем, это нам потом будет полезным.
Ну вот заменил я a на b,
а больше я ничего не менял; c и d оставил на месте,
а здесь заменил a на b.
Что у меня произошло?
Здесь вместо (c − a) произошло (c − b), а здесь вместо (d − b) — (d − a).
То есть у меня знаменатель прыгнул в числитель, ну а числитель, понятно,
прыгнул в знаменатель, потому что здесь, наоборот, (c − a) * (d − b).
То есть, смотрите, замена (ab), вот такая перестановочка
из S₄ меняет λ на λ в минус первой.
Оно переставляет числитель и знаменатель.
Вот такая замена получается.
Очень интересно.
А что будет, если я c на d заменю?
Что будет?
Давайте посмотрим.
Заменил c на d.
Опять, вместо (c − a) возникло (d − a), вместо (d − b) возникло (c − b).
Значит, ту же самую замену реализует и вот такая перестановка,
то есть она тоже приводит к замене λ на λ в минус первой.
Смотрите, это значит,
что вот в этих преобразованиях у нас есть то,
как меняется это выражение при тех или иных заменах.
Так вот, ответ такой: не все выражения будут разными,
некоторые выражения будут одинаковыми.
Почему я это понимаю?
Потому что я вижу, что вот эта и вот эта перестановки — разные перестановки — одним
способом действуют на это выражение.
Значит, например,
композиция (ab) на (cd) в минус первой это выражение не должна менять.
Но так как (cd) — это перестановка, транспозиция двух буковок ((cd) в минус
первой — это она же сама), то из этого с необходимостью следует вывод,
что вот такая вот перестановка ничего не меняет.
Ага!
Очень интересно.
Проверим?
Ну давайте в уме попробуем.
Значит, a и b должны переставиться местами и c и d.
Что здесь произойдет?
(c − a) превратилось в (d − b), то есть вот в это, а (d − b) — в (c − a).
Числитель остался на месте, знаменатель остался на месте тоже.
То есть некоторые преобразования из группы всех
перестановок не меняют выражение двойного отношения.
Понятно, что если что-то что-то не меняет, то множество всех таких,
которые не меняют, образуют подгруппу.
Значит, в S₄ есть некоторая подгруппа,
которая Не меняет вот этого выражения, не меняет двойного отношения.
Я думаю, что если
кто внимательно смотрел предыдущие сюжеты недели,
то помнит одного такого хорошего претендента на такую подгруппу.
Упражнение.
Это опять группа Клейна.
[БЕЗ_ЗВУКА] Восклицательный знак.
В седьмой раз нам попадается группа Клейна на нашем пути.
То есть на самом деле группа V, состоящая из тождественной,
а также парных как бы транспозиций, выполняемых синхронно по две.
Вот эта группа из четырёх элементов — это
нормальная подгруппа в группе всех перестановок.
И именно эта подгруппа ничего не меняет с этим выражением,
то есть λ остаётся равным λ.
Вот это вот выражение не меняется.
А, следовательно, менять это выражение может только фактор.
Вот фактор, факторгруппа S4 по V
(упражнение) эта изоморфна S3,
то есть группе перестановок на трёх символах.
Но на самом деле здесь группа S4 является
группой перестановок вот на этих трёх символах путём сопряжения.
То есть мы берём вот эти три перестановки из группы Клейна, все кроме e.
И подвергаем каждую из этих перестановок
вот такой вот операции: ϛ ϛ в −1-й, а внутрь ставим её.
Тогда каждая из этих вот перестановок превратится
в одну из двух оставшихся, потому что структура циклов не должна меняться.
То есть получается, что каждая ϛ из группы S4 как-то
переставляет вот эти вот три перестановки из группы Клейна между собой.
И тем самым как раз получается,
что S4 действует на этих трёх символах перестановками.
То есть действует, как S3.
Но какое ядро?
Ядро, понятно, из той же самой группы V.
Так как внутри вот эта группа V — она коммутативна.
Здесь как ни умножай, с любой стороны будет одинаково,
поэтому каждый из этих элементов сам переставляет их тривиальным образом,
действует, как тривиальная перестановка.
Вот получается: фактор факторгруппы S4 по группе Клейна — это S3.
Значит, выражений разных должно быть шесть.
Мы уже знаем, что есть λ в −1-й.
Последнее упражнение в этой сборной
солянке упражнений про двойное отношение состоит в том,
чтобы применить остальные какие-нибудь...
перестановку a c, например, применить, a d применить, посмотреть,
что у нас получится.
Оказывается следующее: λ переходит
иногда в 1 / λ — это мы уже видели, иногда в 1 − λ,
а также ещё в шесть разных
выражений, которые я всех призываю выписать.
То есть выписать так: вот у нас есть просто вот такая функциональная форма.
Есть такая функциональная форма.
Можно взять композицию.
Если есть две функциональные формы от одного переменного,
то композиция тоже является функциональной формой от одного переменного.
Давайте возьмём.
Например, если вот эту функциональную форму взять, композицию с ней самой,
что произойдёт?
Я должен буду написать: (1 / 1) / λ.
То есть ничего не изменилось, λ осталась λ.
Поэтому вот это функциональная форма второго порядка относительно композиции.
Дальше относительно композиции: функциональная форма λ
переходит в λ и является тождественной, и как ни подставляй, ничего не меняет.
То есть у нас тут сейчас возникает такая группа функциональных форм — группа замен.
Группа замен, в которой тождественное — это когда ничего не меняется,
а композиция — это просто подстановка замен друг друга.
И возникает вопрос: существуют ли конечные подгруппы вот в таких группах замен?
Оказывается, что одна из конечных подгрупп изоморфна
S3 и является группой замен вот по этим правилам.
То есть мы применяем какую-то перестановку координат и смотрим,
чему оказалось равно это выражение.
Оно всегда будет выражено через λ.
Оно фактически будет, мы можем подставлять там, например, вот (1 − 1) / λ.
Это мы к этой замене применили эту последовательно.
А если я в обратном порядке, то это будет 1 / 1 − λ наоборот.
То есть будет другая функциональная замена, но вот уже четыре у нас налицо.
Вот ещё две можно написать, типа λ / λ − 1 будет выражение.
И вот эти функциональные замены образуют группу конечную из шести элементов.
То есть есть шесть функциональных форм,
которые при подстановке друг друга крутятся по кругу, образуют группу.
Эта группа, она изоморфна просто группе перестановок на трёх символах.
И именно так действует двойное отношение при перемене точек.
То есть в некоторых случаях оно тривиально действует,
а в остальных случаях бегает по вот этому кругу из шести разных значений,
но всегда выражается в виде функциональной формы от исходного значения.
То есть эта информация является достаточной.
Вот на основании полученных сейчас представлений
о двойном отношении, мы построим геометрию Лобачевского.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
