Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Расстояния между кватерионами. Движения.
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Геометрия и группы
23 calificaciones
De la lección
Кватернионы
Conoce a los instructores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
Итак, действие кватернионов умножениями,
а, точнее, сопряжениями, на себя самих.
Так как кватернионы далеко не всегда перестановочные,
а точнее, перестановочные очень редко,
то можно определить такое преобразование: кватерниону q ставится в соответствие,
а перевод кватерниона,
скажем, h в qh q в −1-й,
что вот это вообще здесь написано, что за две стрелки?
Вот это множество всех кватернионов,
обозначим их каким-нибудь образом, не знаю, W.
Множество всех кватернионов иногда обозначают через q, но дело в том,
что я не люблю, q — это рациональные числа, я пошел там на попятный,
q² обозначил, но там была какая-то группа из восьми элементов,
ее явно не спутаешь с рациональными числами.
А если я напишу, что q обозначает кватернионы,
тут уж совсем путаница возникнет.
Итак, пусть W обозначает множество всех кватернионов,
то есть четырехмерное пространство над вещественными числами, или оно же
двумерное над C с теми правилами умножения, которые мы тут изучали.
И еще немножко будем изучать что касательно
комплексной ипостаси кватернионов, это отдельный, интересный очень разговор.
Но пока давайте сделаем следующее: возьмем кватерниончик и поставим ему
в соответствие вот такое преобразование четырехмерного пространства.
Тогда это какая-то матрица 4 x 4,
у нас получается тоже что-то такое, что у нас выделяется четырехмерное семейство
матрицы внутри шестнадцатимерного семейства всех матриц 4 x 4,
у нас какое-то четырехмерное семейство матриц.
Я утверждаю, что все эти преобразования будут движениями.
А что такое движение?
Мне нужно определить, как я вычисляю расстояние
между точками четырехмерного пространства.
Дело это обычное, то есть расстояние между x₁,
x₂, x₃, x₄, а также y₁, y₂,
y₃, y₄ будет просто равно корню
квадратному из √(x₁ − y₁)² + (x₂ −
y₂)² + (x₃ − y₃)² + (x₄ − y₄)².
То есть как бы по Пифагору, просто по аналогии, я ввожу по Пифагору,
я измеряю все проекции на все перпендикулярные оси и складываю квадраты
проекций, извлекаю корень.
Значит, это то же самое, что сказать,
что это модуль разности двух кватернионов.
Вот я могу обозначить x со стрелкой, y со стрелкой соответствующие два кватерниона,
и получается, что это модуль разности этих кватернионов, то есть это разность,
домноженная на сопряженную к этой разности.
Вот.
И теперь утверждается,
что расстояния будут сохраняться.
Я хочу это доказать.
Это, собственно говоря, такое ключевое утверждение,
потому что если мы описываем движение, мы доказываем, что это является движением,
от этого уже до конкретного описания не очень далеко.
Смотрите, норма N(q₁q₂).
Тут, конечно, нужно что-то похожее на то,
что было в комплексных числах, а точнее, в точности то же самое.
Что такое норма произведения двух кватернионов?
Это произведение умножить на произведение сопряженное.
Это мы доказывали в тот раз.
Но сопряженное произведение можно поменять местами,
опустив сопряжение на
уровень каждого из сомножителей.
А вот теперь возникает чудо из чудес,
потому что внутри вот этого вот выражения лежит вещественное число,
которое коммутирует со всеми кватернионами вообще, следственно,
может быть выкинуто, например, направо, и останется еще одно вещественное число,
которое говорит,
что N(q₁) * N(q₂) = N(q₁ * q₂).
Ну и, в частности, длина произведения кватернионов равна произведению длин,
а значит, длина (q) в −1-й = длина (q),
возведенная в −1-ю.
Вот.
Собственно говоря,
из этого все и следует,
потому что, потому что давайте
посчитаем расстояние от qh₁q в
−1-й до qh₂q в −1-й.
Это расстояние будет
равняться модулю,
соответственно, разности между qh₁q в −1-й
и qh₂q в −1-й.
Дальше по правилу, строго по правилу,
работая с кватернионами, у нас есть правило дистрибутивности,
собственно, его можно так или иначе легко проверить, и у нас получается,
что это q (h₁ − h₂)q в −1-й, и модуль.
А модули перемножаются, поэтому это модуль |q| на модуль
|h₁ − h₂| * |q в −1-й|.
И это обычные вещественные числа, из которых вот эти два сокращаются.
Поэтому это |h₁ − h₂|, то есть расстояние от h₁ до h₂.
Прекрасно.
То есть каждое такое преобразование является
движением четырехмерного пространства.
Позвольте, а где же там лежит сфера?
Ответ такой: это движение
не меняет трехмерного подпространства, натянутого на i, j и k.
Итак, теорема ключевая состоит в том...
Давайте вот это преобразование как-нибудь обозначим, например,
обозначим его R со значком q, Rq.
Как бы сказать, мы догадываемся, что это поворот, поэтому уже назовем буквой R.
Значит, берем Rq, и теорема состоит в том,
что Rq имеет инвариантное,
инвариантное подпространство,
натянутое на i, j, k, трехмерное.
То есть любая комбинация xi + yj + zk,
при таком преобразовании остается какой-то x₁i +
y₁j + z₁k, не добавляются вещественные части.
Доказательство.
Давайте вспоминать.
Давайте вспоминать и давайте еще вот что сделаем до того, как это доказывать.
До того как это доказывать, мы заметим одну деталь.
Мы заметим, что при домножении q на
какую-то вещественную
величину у нас ничего не меняется.
Действительно, вещественная величина в q в −1-й войдет с выражением λ в −1-й,
и так как вещественные коммутируют со всеми, то λ с λ в −1-й сократится.
Что это значит?
Это значит, ноль сюда подставить нельзя,
но если мы сюда подставим какой-то кватернион q как
вектор четырехмерного пространства и любую его кратную,
что туда, что сюда, кроме нуля, вот это выколото,
то получится одно и то же преобразование.
Поэтому-то я и говорю, q и −q, соответственно, это одно и то же,
на самом деле, любому кратному q вещественному, и положительному,
и отрицательному, будет соответствовать одно и то же преобразование.
Так тогда знаете, что я волен сделать?
Я волен положить, что модуль |q| = 1 вполне, никаких проблем.
Я просто сокращу в соответствующее количество раз.
А если модуль |q| = 1, тогда что такое Rq?
Тогда Rq действует на кватернион h,
как q h q с чертой, потому что если |q| = 1,
то q с чертой является обратным q, ведь q q с чертой = Nq, но Nq и |q|,
если |q| = 1, значит, Nq = 1, то есть q и q с чертой обратны друг другу.
А теперь смотрите.
Доказательство.
Берем произвольный, чисто мнимый кватернион, то есть xi + yj + dk.
Рассматриваем этот кватернион,
на q здесь умножаем, на q с чертой здесь.
Что я хочу проверить?
Я хочу проверить, что полученный кватернион тоже будет чисто мнимым,
правильно?
Что я для этого должен сделать?
Я для этого должен его сопрячь и убедиться, что будет минус он.
Ну давайте сопряжем.
От сопряжения все переворачивается наоборот, возникает q с чертой, с чертой,
* (xi + yj + dk) с чертой * q с чертой.
То есть, так как q с двумя чертами ушло,
получается q, это обращается на отрицательные,
то есть на (−xi − yj − dk), и это умножается на q с чертой,
то есть в точности получается минус исходный кватернион: −q(xi
+ yj + dk) * q с чертой.
Все, следовательно,
вот эта вот операция не меняет пространство чисто мнимых кватернионов.
Трехмерное пространство чисто мнимых кватернионов переводится в себя,
а значит, так как точка ноль, понятно, переходит в точку ноль при такой операции,
и мы уже доказали, что это преобразование задает движение,
то каждому кватерниону поставлено в соответствие некоторое движение сферы.
На следующей неделе мы закончим
разбирательство с этим красивейшим сюжетом.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
