Итак, теорема Брауэра, завершающий сюжет всего курса.
Что же она утверждает?
Пусть x — лежит
в каком-нибудь пространстве Rd
многомерном — является выпуклым компактом.
[ШУМ] То есть здесь как бы,
здесь недостаточно просто считать, что x — компакт.
На самом деле, выпуклость — это такое условие с излишком, с избытком, но для
простоты давайте так: вот этого точно достаточно, пусть x — выпуклый компакт.
f: x → x — любое,
вообще любое непрерывное отображение.
Тогда существует
точка, которая остается на месте.
На самом деле, это некий фурор — идея,
что вам огромная свобода дается, вы можете взять и строить f так, как вам нравится.
Вы делаете, что хотите с этим компактом: изгибаете его как-то,
пополам кладете, растягиваете.
Главное, нельзя рвать, нельзя рвать — вот единственное условие,
нельзя его рвать и нельзя выносить за его пределы.
Вот если этот компакт после ваших вот этих вот преобразований,
какие вы делали, в результате погрузился внутрь самого себя,
то есть остался как бы внутри себя, то никак невозможно сделать,
чтобы ни одна точка, то есть какая-то точка обязательно осталась на месте.
Вот вы там что-то делали, делали, делали, вот что бы вы не делали,
все равно какая-то точка на месте останется.
Это совершенно поразительное по своей общности утверждение,
доказано 100 лет назад примерно — в 1908 году.
И до этого долгое время доказывали всякие теоремы: пусть x специального вида,
вот такого, а f какого-нибудь еще специального вида.
Или, наоборот, x — специального вида, а f — любое.
Или f — специального вида, а x — любое.
Тогда вот будет неподвижная точка.
Потом пришел Брауэр и сказал: всегда будет.
Собственно, чем как бы такая тоже основа топологии,
можно сказать, что это начальный кирпич топологии был.
Значит, как ее доказывать?
Я сейчас вкратце просто это опишу.
Значит, прежде всего, совершенно не важно, какой выпуклый компакт брать, потому
что они все, все выпуклые компакты данной размерности, они друг другу гомеоморфны.
А именно беру внутреннюю точку — вот, скажем,
вот у нас квадрат, квадрат, треугольник, круг — они все гомеоморфны.
Как это сделать?
Просто по разным направлениям сжать в разное количество раз из
какой-то внутренней точки.
По каждому направлению во столько раз, чтобы как раз граница перешла в границу.
И остальное вот как бы сжалось в то же самое пропорциональное количество раз.
Практически очевидно, что это непрерывное отображение и что оно взаимнооднозначное —
здесь требуется некоторое количество сведений из выпуклого анализа,
но так как наглядно это все совершенно ясно, то я на этом не задерживаюсь.
Перенос в n-мерное пространство здесь совершенно очевиден,
все то же самое: берете внутреннюю точку,
у каждого выпуклого компакта есть внутренняя точка как бы.
Здесь есть тоже своя тонкость.
Скажем, что за внутренняя точка у треугольника,
который подвешен в n-мерном пространстве.
Нет внутренних точек, они все граничные.
Это потому что мы его не там расположили.
Для каждого выпуклого компакта, вообще для каждого выпуклого множества, существует
такое естественное минимальное аффинное подпространство, которое его содержит.
У этого треугольника оно будет двумерным.
И вот внутри вот этого минимального естественного и надо взять внутреннюю
точку — вот такая существует, и это очень легко доказать.
И дальше растягивать, значит, во все стороны.
То есть все выпуклые компакты одной и той же размерности,
они друг другу гомеоморфны.
Поэтому можно доказывать для какого-то одного.
Очень красивое доказательство проходит для так называемого симплекса.
Значит, что такое симплекс?
Симплекс — это, иногда его располагают в n-мерном пространстве,
иногда в (n + 1)-мерном.
Очень удобно его в (n + 1)-мерное пространство положить,
тогда это просто множество, задающееся условием x0 + x1 + ...
+ xn = 1, и все xi-тые — неотрицательные.
Вот как бы по аналогии со сферой.
Сфера — это я квадраты навешиваю, и тогда уже не нужно писать про неотрицательность,
но мы этого просто не требуем для сферы.
А симплекс — это когда просто сумма самих координат положительна,
равна 1, но все координаты должны быть неотрицательны, то есть это происходит в,
как бы в соответствующем положительном ортанте n-мерного пространства.
Вот. И очень удобно доказывать теоремы именно
для такого выпуклого множества, а потом применять уже для любого другого,
например, для шара, к которому мы свели утверждение,
что pn(sn) ≠ одной, так сказать, одному, нулевой группе.
Мы свели это к тому,
что не может быть отображение шара в себя без неподвижных точек.
Это то же самое,
что не может быть отображение симплекса в себя без неподвижных точек.
Это, кстати, такое упражнение легкое — доказать,
что если фигуры другу другу гомеоморфны, то теорема Брауэра — это
свойство как бы одновременно этих обоих фигур или ни одной из них.
То есть если два пространства гомеоморфны друг другу,
то либо в обоих случаях верна теорема Брауэра, либо ни в одном не верна.
Теперь что же делают с симплексом?
С симплексом делают следующее: Рассматривают произвольное
отображение симплекса в себя и красят
симплекс в n + 1 разных цветов.
Каким образом?
Значит, сейчас я напишу.
Вот будет n + 1 множество цветов: 0,
1, 2, ..., n — которое будет покрывать наш весь симплекс, но при этом я не утверждаю,
что они не пересекаются, они будут пересекаться обязательно.
Значит, красят так.
Mi-тое — это множество всех x,
таких что расстояние от f(x) до i-той вершины,
то есть до (0, 0, ..., 1, 0) — это i-тое место.
Вот это вот расстояние больше или равно
расстоянию от исходного x до этой самой i-той вершины,
то есть в симплексе есть как бы такие, естественным образом заданные,
естественным образом заданные n + 1 точка, а именно нулевая вершина,
первая, ..., n-ная, то есть где xi-тые — соответствующие 1, остальные — 0.
Так вот, я измеряю расстояние от f(x) до соответствующих вершин и от самой x.
И там, где как бы отъехала дальше от вершины точка,
я называю те множества i-того цвета, те точки i-того цвета.
Некоторые точки многих цветов, то есть некоторые как бы...
Но вот что надо понимать: что любая точка какого-то цвета, вершина не может
не отъехать ни от какой вершины, точка внутри симплекса не может как бы не
отъехать ни от одной вершины — это как бы можно, конечно, формально доказывать,
но, кажется, что на треугольнике это и так очевидно, чтобы это доказывать формально.
При любом отображении треугольника в себя хотя бы до одной точки стало,
по крайней мере, не ближе.
Мы же здесь не требуем строгого, мы требуем, чтобы не ближе.
И еще одно замечание: если точка всецветна, то есть если у нее есть все
цвета, если она покрашена во все цвета, то это то же самое, что она неподвижна.
Потому что если опять же, если точка строго изменила свое положение,
то она хотя бы к одной вершине приблизилась и
тогда она не попала в соответствующий цвет.
Это опять, это очевидно на всяких двумерных, трехмерных картинках, но может
быть строго доказано с использованием свойств расстояний в n-мерном.
Вот.
И теперь нужно установить некоторое специальное свойство на эти множества,
которое будет гарантировать, согласно некоторому очень красивому комбинарному
утверждению, гарантировать то, что у этих множеств будет непустое пересечение,
то есть пересечение всех вообще множеств хотя бы одну точку содержит.
Но она как раз, конечно, и будет неподвижной.
Что же это за свойство?
Свойство это такое: что для любой грани симплекса,
то есть для любого подмножества J во множестве вершин,
объединения ni-тых по i из J содержат соответствующую грань,
то есть ΔJ содержит множество всех точек нашего (n
+ 1)-мерного пространства, которые представляются в виде выпуклых комбинаций
только точек вот этой вот грани, то есть только вершин из этой грани.
То есть мы взяли грань — здесь грань это как бы просто конечный набор точек,
но на самом деле имеется в виду, что это конечный набор вершин,
и на него действительно натянута какая-то грань, то есть какой-то там вот,
значит, J-мерный симплекс тоже.
И вот этот J-мерный симплекс покрывается множеством красок,
которые помечены вот именно элементами вершин этого симплекса.
Подробности — я не буду здесь, значит,
вдаваться в подробности — написаны в сотнях книг, поэтому я лишь скажу,
что правильные ссылки такие: лемма Шпернера
и лемма
Куратовского- Кнастера- Мазуркевича.
Вот, если кто хочет до конца довести для себя
доказательство теоремы Брауэра, то ему придется изучить вот эти две леммы.
