[MÚSICA] Hola. De la clase pasada, you sabemos cómo se relacionan las tres variables macroscópicas principales: flujo, densidad y velocidad media espacial. En esta clase, discutiremos sobre las posibles relaciones que pueden darse entre dos de estas tres variables. Esto nos llevará a presentar lo que se conoce como el diagrama fundamental de tráfico. Dada la relación fundamental de tráfico, si las tres variables involucradas fueran independientes entre sÃ, la forma de lograr el flujo máximo serÃa buscar que los vehÃculos circulen lo más cerca posible en el espacio, a fin de maximizar la densidad, y a la mayor velocidad que puedan. Sin embargo, este comportamiento no surge de manera espontánea entre los conductores, you que el intervalo espaciamiento y velocidad que un conductor decide mantener son variables que están relacionadas entre sÃ. Por ejemplo, ¿usted estarÃa dispuesto a circular a 100 kilómetros por hora y mantener un espaciamiento de cinco metros con el vehÃculo que lo antecede? Probablemente no. Para esa velocidad de circulación, usted optarÃa por mantener un espaciamiento bastante mayor, lo que se traduce en una menor densidad. Es esperable que tanto usted como los demás conductores se comporten de forma similar ante situaciones similares. De hecho, empÃricamente se ha verificado que, de forma espontánea, los conductores ajustan su velocidad de acuerdo al espaciamiento que mantienen con el vehÃculo que los antecede. Es interesante notar que esto no necesariamente ocurrirÃa en un lugar donde todos los vehÃculos son autónomos y, por lo tanto, pueden hablar entre ellos. En ese caso, el vehÃculo que sigue a otro podrÃa seguirlo muy de cerca, y a alta velocidad, you que estarÃa en condiciones de reaccionar a tiempo ante cambios de velocidad del vehÃculo lÃder. Por simplicidad, usualmente se asume que la densidad vinculada al espaciamiento es la variable independiente, y que los conductores ajustan su velocidad dependiendo de esa variable. Lo anterior, se traduce en que para una determinada densidad, los conductores adoptarán una determinada velocidad. Es decir, existe una relación entre la densidad y la velocidad. Pensemos entonces ahora cómo debiera ser esta relación entre estas variables, la cual denotaremos por v de k. Para esto, imaginemos una vÃa circular en la cual circulan vehÃculos representados por los cÃrculos de color verde que se ven en la figura. Como enunciamos recién, es esperable observar una relación inversa entre densidad y velocidad. Es decir, a mayor densidad, mayor especiamiento, por lo tanto, menor va a ser la velocidad de circulación de los vehÃculos. De hecho, si la densidad es muy baja, prácticamente cero, como lo intenta representar la figura, es esperable que la velocidad de los vehÃculos alcance su mayor valor posible, el cual conocemos como la velocidad de flujo libre o v sub f. Por otro lado, la densidad tiene un máximo, la cual se conoce como densidad de taco, y se denota por k sub j. Esta densidad de taco se logra cuando los vehÃculos están lo más cerca posible uno de otro y completamente detenido. Es decir, velocidad igual a cero, lo que se representa en la figura de más abajo. Esta situación es la que ocurre, por ejemplo, en la cola que se forma durante la luz roja de un semáforo. Estos dos puntos del gráfico los podemos ubicar en un diagrama donde la densidad se ubica en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical. Si bien sabemos que esta relación siempre será no creciente, la forma particular en cómo se conectan estos dos puntos dependerá de la vÃa bajo estudio, you que los puntos en ella definen los estados de tráfico posibles de observar en ella. Dada la relación entre la velocidad y la densidad, v de k, la relación fundamental de tráfico se puede reescribir de esta forma. Veamos ahora cómo se ve esta función q de k en un diagrama que relaciona el flujo con la densidad k. Para esto, identifiquemos primero dónde se puede ver el flujo en este diagrama v de k. Supongamos una relación de esta forma. Para un punto cualquiera sobre esta curva, por ejemplo, este punto, que corresponde a una densidad k de 1 y una velocidad media v sub 1, el flujo, que es el producto entre densidad y velocidad, corresonde al área del rectángulo que se forma con ese punto como vértice, tal como lo mostramos en la figura. Con esto, es posible ver que para valores de k pequeños el flujo también es pequeño, y a medida que el flujo se mueve hacia la derecha de la pantalla, es decir, aumenta la densidad k, el flujo también crece. Por el otro lado, cuando k alcanza su máximo valor k sub j, el flujo también es 0, you que la velocidad es 0. Sin embargo, a medida que el punto se mueve hacia la izquierda en este caso, es decir, disminuye la densidad k, el flujo crece. Por lo tanto, existe un valor intermedio de la densidad, el cual se conoce como densidad crÃtica denotado por k sub c, para el cual este valor del flujo es el máximo. EmpÃricamente, se ha visto que el valor de k c se encuentra usualmente entre un sexto un cuarto del valor de k sub j. AsÃ, la relación q de k se comporta aproximadamente de esta forma, en donde el flujo se muestra en el eje vertical. Ahora, el flujo aumenta a medida que la densidad aumenta, sin embargo, esto ocurre hasta un punto en que se alcanza el máximo valor del flujo. Luego de este punto, un aumento en la densidad genera cada vez un menor flujo. Para cada par densidad y flujo, la velocidad media espacial de los vehÃculos se calcula a partir de la relación fundamental, es decir, es el cociente entre el flujo q y la densidad k. Gráficamente, eso corresonde a la pendiente de la cuerda que une el origen con el respectivo punto, tal como se muestra nuevamente en la figura. Podemos ver entonces que la relación inversa entre la densidad y la velocidad, donde una mayor densidad se asocia a una menor velocidad, es la que hace especial la relación fundamental de tráfico, que derivamos la clase pasada, you que nos indica que el máximo valor del flujo no se logra necesariamente con la máxima velocidad ni con la máxima densidad, sino que se logra cuando esas dos variables se relacionan de tal forma que su producto se maximiza. La función q de k y su representación gráfica es lo que se conoce como el diagrama fundamental de tráfico. En la clase siguiente, discutiremos sobre el uso de este diagrama. [AUDIO_EN_BLANCO]
