[AUDIO_EN_BLANCO] En la literatura se pueden encontrar distintas funciones q de k, que representan el diagrama fundamental en una vÃa. Algunos de ellos, derivados a partir de datos, y otros, a partir de un análisis más teórico. En esta clase, presentaremos algunas de estas funciones o modelos que se han reportado en la literatura. El primer modelo propuesto, obviamente, corresponde al trabajo realizado en 1934 por Greenshields. En el cual ajusta una relación lineal a datos de densidad y velocidad, recolectados en terreno como se ve en la figura. La relación matemática se puede conocer a partir de las condiciones de borde, es decir, los dos puntos extremos de esta relación. Llegando a esta expresión, donde v sub f, es la velocidad de flujo libre que algunos llaman velocidad libre, y k sub j, es la densidad de taco. Por lo tanto, el diagrama fundamental lo obtenemos al multiplicar la función anterior por la densidad k, obteniendo esta expresión. Gráficamente, el diagrama fundamental corresponde a una parábola como la que se muestra en la figura. Derivando la expresión, q función de k, e igualando a cero, podemos conocer la densidad y velocidad crÃtica, es decir, aquella que genera el flujo máximo, y por lo tanto, este último valor también. En este caso, la densidad crÃtica y la velocidad crÃtica, corresponden a la mitad de la densidad de taco y velocidad de flujo libre, respectivamente. AsÃ, el flujo máximo viene dado por esta expresión. En la práctica, esta no es una relación que ajuste bien a los datos recogidos en terreno, tanto por su forma, como por sus valores. El interés en esta relación es principalmente teórico, you que corresponde a una función continúa y diferenciable en todo su dominio de interés. Lo que la hace atractiva para análisis matemático. Otro modelo corresponde al desarrollado por Greenberg en 1959, quien deriva una relación entre velocidad media espacial y densidad a partir de una analogÃa entre el comportamiento de un flujo de vehÃculos en una vÃa, con el comportamiento de un fluido en una tuberÃa. La expresión propuesta es la siguiente, donde v sub c corresponde a la velocidad crÃtica. Esto genera una relación q función de k del siguiente tipo. Podemos ver que es una relación que no se comporta de buena forma para valores bajos de densidad, you v que queda indeterminada cuando k tiende a cero. Por esta, esta relación solo tiene validez para tráfico congestionado. Para conocer el valor de la densidad crÃtica y del flujo máximo, procederemos igual que en el caso anterior, obteniendo las expresiones que ven en sus pantallas. Underwood en 1961 trabaja con una función exponencial de velocidad media espacial y flujo. Postula la siguiente formulación, donde k sub c, corresponde a la densidad crÃtica. La relación fundamental, en este caso, viene dada por la siguiente expresión, cuyo flujo máximo alcanza este valor. Este modelo queda indeterminado para valores altos de densidad, por lo que solo tiene validez para tráfico a bajas densidades. En 1971 Pipes y Munjal proponen una relación que incorpora un parámetro que genera una familia de posibles relaciones, parámetro n. La velocidad es expresada de la siguiente forma. Dependiendo del valor de n, esta relación puede generar relaciones como las que ustedes ven en la figura. A su vez, esos valores de n generan diagramas fundamentales del siguiente tipo. Dada la existencia de este nuevo parámetro n, tanto el flujo máximo como la densidad de velocidad crÃtica, dependen obviamente de él. Podemos notar que para n igual uno, este modelo colapsa, o se convierte en el modelo lineal de Greenshields. El último modelo que revisaremos es uno muy sencillo, que suma una relación lineal entre el flujo y la densidad k. Este modelo atribuido al trabajo de Newell en 1993, se conoce como el modelo o la relación triangular. Podemos ver que en todos los estados de tráfico en condiciones de flujo libre la velocidad media espacial es constante y tiene el valor de la velocidad a flujo libre, que corresponde a la pendiente de esa primera rama. Este es un supuesto razonable, you que es esperable que para densidades bajas, la velocidad observada sea prácticamente la misma, y que corresponda a la máxima velocidad. La pendiente de la rama congestionada la denotamos con la letra w. AsÃ, de los cinco parámetros que definen esta relación, y que aparecen en la figura basta conocer tres de ellos, you que algunos están relacionados entre sÃ. El único requisito, sin embargo, es que al menos w o k sub j, sean parte de este trÃo. Matemáticamente la relación q de k, es de esta forma, you que es una función lineal a trazos. Por lo tanto, dividiendo esto por k, obtenemos la relación v de k. Por construcción, el flujo máximo se obtiene de la intersección de ambas ramas. Es decir, la densidad crÃtica cumple con lo siguiente, por lo que el flujo máximo corresponde a esta expresión. El modelo triangular es simple y ajusta de muy buena forma a los datos recopilados en terreno. Por este motivo, se utiliza con bastante frecuencia en la literatura y en la práctica y nosotros seguiremos usándola en el resto del curso. [AUDIO_EN_BLANCO]
