Calculus is one of the grandest achievements of human thought, explaining everything from planetary orbits to the optimal size of a city to the periodicity of a heartbeat. This brisk course covers the core ideas of single-variable Calculus with emphases on conceptual understanding and applications. The course is ideal for students beginning in the engineering, physical, and social sciences. Distinguishing features of the course include: 1) the introduction and use of Taylor series and approximations from the beginning; 2) a novel synthesis of discrete and continuous forms of Calculus; 3) an emphasis on the conceptual over the computational; and 4) a clear, dynamic, unified approach. In this third part--part three of five--we cover integrating differential equations, techniques of integration, the fundamental theorem of integral calculus, and difficult integrals.
Improper Integrals
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Del curso dictado por University of Pennsylvania
Calculus: Single Variable Part 3 - Integration
calificaciones
De la lección
Dealing with Difficult Integrals
The simple story we have presented is, well, simple. In the real world, integrals are not always so well-behaved. This last module will survey what things can go wrong and how to overcome these complications. Once again, we find the language of big-O to be an ever-present help in time of need.
Conoce a los instructores
Robert GhristProfessor
Mathematics and Electrical & Systems Engineering
Bienvenido a Cálculo.
Soy el profesor Ghrist, y vamos a comenzar la lección 27 sobre integrales impropias.
El teorema fundamental del cálculo integral es magnífico, pero
tiene sus limitaciones.
En esta lección, consideraremos qué sucede cuando encontramos una dificultad
con límites en una integral definida.
El teorema fundamental del cálculo integral es magnífico, pero
tiene sus limitaciones.
Hay algunas cosas con las que deben tener cuidado.
En particular, el teorema fundamental tiene una hipótesis que f,
el integrando, sea continuo en el intervalo desde a hasta b.
Y dentro de esta afirmación hay dos peligros.
El primero es el de la continuidad.
Un integrando discontinuo puede causar problemas.
Pero la ciencia forense no es muy buena determinando Mens Rea, la intención.
Considere la integral cuando x va desde -1 hasta 1 de (1/x cuadrada) dx.
Si simplemente aplicamos el teorema fundamental y
tomamos la anti derivada, menos 1 sobre x, y
evaluamos esto en 1, ¿qué obtenemos?
-1.
Luego restamos lo que obtenemos cuando evaluamos en -1.
-1- 1 = -2
Perfecto.
Excepto por el hecho de que nuestro integrando es 1 sobre x cuadrada.
Todos esos términos son positivos, y si vamos a la definición
de la integral definida como una suma de Riemann, sumando los valores.
no hay forma de que podamos sumar valores positivos para obtener una integral negativa.
El problema es este, el integrando no es continuo.
Ni siquiera está definida en x igual a cero.
La segunda hipótesis es la de tener
un intervalo desde a hasta b, un intervalo finito.
Considere la integral cuando x va desde menos infinito
hasta infinito positivo de ( 2x/ ( 1+ x cuadrada)) dx.
Claramente, la anti derivada es log natural de ( 1 + x cuadrada).
¿Qué sucede cuando evaluamos esto en los límites?
Podrían pensar que obtenemos infinito menos infinito, lo cual no está definido.
O podrían pensar, esto es un integrando impar
sobre un dominio simétrico, por lo tanto debe ser cero, lo cual es correcto.
Estas integrales impropias son peligrosas.
En todos los casos. vamos a usar la técnica de tomar
un límite para que estas integrales tengan sentido.
hay dos casos,
Al primero le podemos llamar un salto.
Esto es lo que sucede cuando se tiene un integrando
que no está bien definido en algún punto.
Digamos que en alguno de los puntos extremos A.
En este caso, la forma de evaluar el límite es integrar
desde alguna constante t, hasta el otro extremo.
Y luego tomar un límite cuando t tiende al punto singular.
En otra instancia, podríamos resolverla teniendo una cola,
donde su dominio de integración va a infinito.
En este caso, lo apropiado es integrar sobre un dominio finito.
Digamos hasta una constante T, y luego tomar el límite
cuando T tiende a infinito de la integral de dominio finito.
El siguiente tipo de ejemplos son cruciales para este tema.
Estas son las integrales p, o
la integral de (f(x) a la p) dx.
Consideremos primero el ejemplo de una singularidad de cola,
donde integramos, desde x igual a uno hasta infinito.
Por supuesto, el valor va a depender de p, hagámoslo de una vez.
Si integramos ( x a la -p) dx, es muy sencillo.
Va a ser igual mientras p no sea igual a 1,
a ( x a la 1-p )/ (1-p).
Necesitamos evaluar esto en el límite cuando x va desde uno hasta T.
Y luego tomar el límite cuando T tiende a infinito.
Esto es, estamos tomando el límite.
cuando T tiende a infinito de ( T a la 1-p)
/(1-p) - ( 1 / (1-p)).
Este límite va a ser infinito algunas veces.
Pero cuando p es mayor que 1, entonces el primer término tiende a 0 y
nos queda 1 / ( p-1).
Si p es menor que 1, entonces el primer término domina y
tiende a infinito, y decimos que la integral diverge.
En el caso particular donde p es igual a uno,
entonces esta integral es la integral de 1 sobre x, esto es, log natural de x.
Y evaluando en los límites y
mandando T a infinito da de nuevo, infinito.
Y entonces tenemos una integral divergente cuando p es menor que o igual a uno.
Hagámoslo de otra forma y veamos un salto en lugar de una singularidad de cola.
Consideremos el mismo integrando x a la -p, pero
integrado ahora cuando x va desde cero hasta uno.
Hacer la integral nos da la misma anti derivada.
solo necesitamos evaluar nuestros límites de manera diferente.
Evaluando entonces, cuando x va desde t hasta uno, luego tomando un límite cuando T tiende a cero.
Esto se descompone en dos casos, cuando p no es igual a uno, o
cuando p es igual a uno.
En estos casos, de nuevo, obtenemos algunas veces convergencia, algunas veces divergencia.
Pero note lo que está sucediendo con las p's.
Cuando p es mayor que uno, obtenemos una integral divergente.
Cuando p es menor que uno, entonces el término ( T
a la 1-p ) / ( 1-p ) desaparece y
nos queda una respuesta de 1/(1-p).
De nuevo, en el caso donde p es igual a uno,
log natural de T no va a converger cuando T tiende a cero.
Resumamos lo que hemos encontrado con estas integrales p.
Si integramos a lo largo de una cola que tiende a infinito,
entonces la integral p converge cuando p es estrictamente mayor que uno.
Diverge cuando p es menor que o igual a uno.
Para una singularidad en cero, esto es a la inversa.
Y obtenemos una integral convergente cuando p es menor que uno, y
una integral divergente cuando p es mayor que o igual a uno.
Noten que en el valor particular de uno, siempre es divergente.
No importa si van desde cero hasta uno, o desde uno hasta infinito.
No necesitan recordar los valores actuales de las integrales convergentes.
Pero necesitan recordar esta gráfica, esta lista,
de cuando la integral converge y cuando diverge.
Y la razón por la cual necesitan recordar esto, es porque les ayudará
a determinar convergencia o divergencia de otras integrales.
Integrales cuyas anti derivadas puedan no ser fáciles de calcular.
Veamos un ejemplo.
Consideren la integral de dx / ( raíz cuadrada de x
cuadrada + x) cuando x va desde cero hasta uno.
Esto es un dominio finito, sin embargo hay una singularidad, o
un salto en x igual a cero.
¿Cómo procederemos entonces?
Yo no conozco la anti derivada de esto.
No se ve que vaya a ser muy fácil.
Consideremos lo que es el comportamiento de primer orden para esta integral.
Vamos a pensar en términos de series de Taylor.
Este integrando, no tiene una serie de Taylor bien definida en x igual
a cero, ya que la función no está siquiera definida, y da un salto.
Pero noten que si factorizamos una raíz cuadrada
de x del denominador, entonces nos queda
1/ ( raíz cuadrada de x+1) como un factor.
Re escribamos esto.
Pensando que vamos a observar lo que sucede cuando x está cercana a cero.
Yo puedo escribir esto como (x a la -1/2) por (1+x) a la -1/2.
Y esto es útil, ¿porqué?
Porque la serie binomial dice que siempre que se tenga (1+x) a la alpha,
cuando x es pequeña, entonces esto es de
la forma uno más algo en O grande de x.
Si aplicamos esto al término (1+x) a la -1/2,
entonces obtenemos la integral cuando x va de cero hasta uno de x a la -1/2
por 1 + algo en O(x).
Y vemos que el término de primer orden
en este integrando es x a la -1/2.
Voy a separar esto en dos integrales.
La primera es una integral p con p igual a 1/2.
La segunda es una integral cuya forma precisa no hemos escrito.
pero es algo que está en O( raíz cuadrada de x), y de hecho está acotada.
Y estoy integrando sobre el dominio desde cero hasta uno.
La integral a la derecha definitivamente converge.
¿Qué pasa con la integral de la izquierda?
Recuerden, les dije que tinen que memorizar algo de esto.
Regresemos y recordemos que cuando p es igual a un medio,
para una integral con salto, converge.
Por lo tanto, sabemos que esta integral converge.
Podemos no saber el valor, pero sabemos que converge.
¿Qué sucede si tomamos ese mismo integrando e
integramos cuando x tiende a infinito?
Para x muy grandes, necesitamos
considerar como principal el término x cuadrada en el denominador .
Por lo tanto, factorizando, obtenemos (1/(raíz cuadrada de x
cuadrada)) por (1/(raíz cuadrada de 1+(1/x))).
Para simplificar esto un poco, vemos
que tenemos de nuevo algo a lo que le podemos aplicar la serie binomial.
De hecho, (1 + (1/x)) a la -1/2.
Expandiendo esto da (1 + algo en O(1/x)).
Y separando esto en dos integrales,
vemos que el término de primer orden es una integral p, con p igual a uno.
Y creo que no necesito recordarles que cuando p es igual a uno,
siempre tienen divergencia.
Por lo tanto, como una parte de esta integral diverge,
toda la integral diverge.
Mismo integrando, diferente comportamiento cuando van a infinito.
Hay una cosa más que necesitamos ver.
Y ésta es el problema de límites dobles.
Si integran algo sobre toda la recta real,
podrían estar tentados a evaluar el límite
cuando T tiende a infinito de la integral cuando x va desde menos T hasta T.
Veamos qué sucede en este caso.
Ya sabemos que la anti derivada es log natural de (1 + x cuadrada).
Y si evaluamos esto en menos T y T,
obtenemos algo que se hace cero.
Y entonces parecería como si nuestro límite es cero.
Esto no es correcto, y fallamos en ser cuidadosos.
¿Qué necesitamos hacer?
Necesitamos tomar dos límites independientes.
Uno, digamos, s, tiende a menos infinito, la integral desde s hasta cero.
El otro, cuando T tiende a infinito positivo de la integral desde 0 hasta T.
Cuando tenemos dos colas, necesitamos dos límites.
Y no creo que sea difícil ver
cuál va ser el comportamiento de cada uno de éstos.
Si consideramos qué sucede cuando x se hace muy grande,
entonces el término de primer orden es 2/x.
Y lo que queda es 1 / ( 1+(1/x)) cuadrada.
Esto significa que, usando la serie geométrica,
vemos que el término de primer orden es una integral p con p igual a uno.
Esto conota divergencia.
Y esto significa que cada una de estas integrales l.imite divergen.
Y de aquí, la integral neta no converge a cero, diverge.
En general, querrán recordar las integrales p y usarlas
para que les digan cuándo una integral impropia converge o diverge.
Estas integrales impropias son peligrosas.
Las integrales indefinidas no son sencillas.
La mayoría de los estudiantes tienen alguna dificultad para entender qué
se supone tienen que hacer con una integral indefinida.
Asegúrense de hacer muchos problemas de práctica en esta lección.
En nuestra próxima lección, vamos a regresar y
hacer una mirada más amplia a todas las técnicas que hemos construído.
Las aplicaremos a una clase específica de integrales trigonométricas.
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