Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Ángulos coterminales y de referencia
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
356 calificaciones
De la lección
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, identidades fundamentales, representaciones gráficas, resolución de triángulos rectángulos, resolución de ecuaciones trigonométricas, resolución de triángulos cualesquiera.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo recordaremos algunas definiciones básicas de tipos de
ángulos y que entendemos por ángulos coterminales y de referencia.
Decimos que dos ángulos son complementarios si suman 90 grados.
Además, veremos más adelante que el coseno de un ángulo es igual al seno
de su ángulo complementario y vice versa. De la misma forma, decimos que
dos ángulos son suplementarios si suman 180 grados.
En este caso, veremos que el seno de un
ángulo coincide con el seno de su ángulo suplementario.
Y el coseno de un ángulo es igual a menos el coseno de su ángulo suplementario.
Si un ángulo va en sentido antihorario, o sea, del lado
inicial al lado terminal, se dice que es un ángulo positivo.
En cambio,
si va en sentido horario, o sea, del lado inicial
a lado terminal, se dice que es un ángulo negativo.
Un ángulo en el plano cartesiano decimos que
está en posición normal si su vértice es
el origen de coordenadas y su lado inicial
coincide con el eje positivo de las abscisas.
Además, decimos que es un ángulo del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante
según se situe su lado terminal en
el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante, respectivamente.
Veamos ahora que entendemos por ángulos coterminales
y cómo saber si los ángulos son coterminales.
Decimos que los ángulos en posición normal
son coterminales si comparten el mismo lado terminal.
Por ejemplo, el ángulo de 460 grados es coterminal con el ángulo de
100 grados.
you que los dos empiezan en el eje positivo
de las abcisas y terminan en el mismo lugar.
De la misma forma, vemos que el ángulo de menos
260 grados es coterminal también con el ángulo de 100 grados.
Así vemos que si tenemos dos ángulos coterminales, la diferencia entre ellos
siempre será un número exacto de vueltas completas, o sea, un múltiplo
de 360 grados.
you que si damos varias vueltas completas tanto en sentido horario como el
sentido antihorario, volveremos al mismo punto y
por lo tanto los ángulos serán coterminales.
Veamos un par de ejemplos más.
En este primero, se trata de calcular el ángulo entre cero y 360 grados que sea
coterminal con el ángulo de 850 grados. Para ello,
necesitamos saber cuántas vueltas completas contiene el ángulo de 850
grados. Por lo tanto, dividimos 850 entre 360.
El cociente de la división es 2 y el resto 130.
¿Así tenemos qué? 850 grados.
Es igual a 360 grados por 2 más 130 grados.
O sea, 850 es igual a dos vueltas completas más 130 grados.
Y el ángulo coterminal que buscamos es el de 130 grados.
En este segundo ejemplo, igual que antes, queremos calcular el ángulo entre
cero y 2 pi radianes que sea coterminal con el ángulo menos 21 pi dividido por 2.
Como el denominadores es 2, primero expresamos
2 pi con este mismo denominador. En este caso, como 4 pi
dividido por 2. Ahora queremos saber cuántas vueltas
completas contiene el ángulo dado. Vemos que 21 pi dividido
por 2 se puede expresar como menos cinco,
por 4 pi dividido por 2 menos pi medios.
Así vemos que si consideramos menos cinco
vueltas, obtenemos un ángulo menos pi medios que
se encuentra entre cero y 2 pi radianes y además es coterminal con el ángulo dado.
Este ángulo es negativo.
Si queremos obtener la solución con un ángulo positivo en lugar de menos cinco
vueltas, podemos considerar menos seis vueltas.
Si obtenemos la siguiente igualdad, que nos dice
que este ángulo 3 pi medios es un ángulo coterminal con el
ángulo dado, es un ángulo positivo y se encuentra entre cero y 2 pi radianes.
Veamos ahora que entendemos por el ángulo de
referencia de un ángulo dado y cómo calcularlo.
El ángulo de referencia
de un ángulo theta es el ángulo agudo alfa, formado
por el lado terminal de theta y el eje horizontal.
Por lo tanto, si el ángulo theta se encuentra en
el primer cuadrante, este coincidira con el ángulo de referencia.
En cambio, si se encuentra en el segundo cuadrante el ángulo de
referencia sería este ángulo de aquí, el ángulo agudo formado por el
lado terminal de theta y el eje horizontal.
O sea, expresado en posición normal, sería representado por esta línea discontinua.
Si el ángulo theta se encuentra en el tercer cuadrante, entonces
el ángulo de referencia alfa, sería este ángulo de aquí, el
ángulo formado por el lado terminal y el eje horizontal que
en posición normal, sería representado de nuevo por esta línea discontinua.
Y finalmente, si el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante,
el ángulo de referencia sería este ángulo de aquí, o sea,
ángulo formado por el lado terminal y el eje horizontal que
en posición normal de nuevo, lo representamos por esta línea discontinua.
Como hemos visto en el primer vídeo,
conocer el ángulo de referencia es importante.
Y aquí por ejemplo, el coseno de un ángulo a cualquiera theta se puede
expresar como el coseno o menos el coseno de su ángulo de referencia.
Y lo mismo podemos decir con respecto al seno de un ángulo theta cualquiera.
Este se puede expresar como más el seno o menos el seno de su ángulo de referencia.
A continuación, veamos algunos ejemplos de cálculo del ángulo de referencia.
En este primer ejemplo, vemos que el ángulo, 8 pi dividido por 9,
se encuentra situado en el segundo cuadrante.
Por lo tanto, el ángulo de referencia será el ángulo
que falta para llegar a 850 grados, o sea, pi radianes.
Si calculamos pi menos 8 pi
dividido por 9.
Y obtenemos pi dividido por 9. O sea,
el ángulo de referencia va a ser pi dividido por 9 que
representado en posición normal, se da este ángulo de aquí del primer cuadrante.
En este segundo ejemplo, el ángulo menos 146 se encuentra
situado en el tercer cuadrante y es negativo, menos 146.
Por lo tanto, de nuevo, el ángulo de referencia
será el ángulo que falta para llegar a 180 grados.
Así calculamos 180 menos 146 y
obtenemos 34, que es el ángulo de referencia, que dibujada
en posición normal, sería este ángulo de aquí del primer cuadrante.
Y finalmente veamos un último ejemplo.
En este caso, el ángulo 13 pi dividido por 8, se encuentra
en el cuarto cuadrante. Por lo tanto, el ángulo de
referencia es el ángulo que falta para llegar a 2 pi radianes.
Si restamos 2 pi menos 13 pi dividido por 8 para obtener el ángulo de
referencia. Esto es 16 pi menos 13 pi dividido
por 8, que es 3 pi es dividido por 8. Así tenemos que el ángulo de
referencia alfa es el ángulo, 3 pi dividido por 8 que representado
en posición normal, sería este ángulo de aquí del primer cuadrante.
Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
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