Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Aplicación de propiedades logarítmicas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
353 calificaciones
De la lección
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial, representación gráfica, las funciones logarítmicas, representación gráfica, ecuaciones exponenciales, conversión entre expresiones exponenciales y logarítmicas, cambio de base en expresiones logarítmicas, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo recordaremos las propiedades algebraicas de los logaritmos
y a continuación veremos algunos ejemplos de aplicación de dichas propiedades en el
cálculo exacto de logaritmos. La primera propiedad nos dice que el
logaritmo de un producto, X por Y, es igual a la suma del logaritmo de cada uno
de los factores del producto XY. Por ejemplo, el logaritmo en base 3 del
producto 9 por 5 es igual al logaritmo con la misma base 3.
9 más el logaritmo base 3 de 5. La segunda propiedad es parecida a la
anterior pero si en lugar de un producto tenemos un cociente X dividido por Y.
El logaritmo de este cociente es igual al logaritmo del numerador X menos el
logaritmo del denominador Y. Por ejemplo, el logaritmo en base 5 de
2/3 es igual al logaritmo en base 5, la misma base del numerador 2, menos el
logaritmo en base 5 del denominador 3. La tercera propiedad nos dice que el
logaritmo de una potencia, X elevado a Y, es igual al exponente Y multiplicado por
el logaritmo de X. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 de 8
elevado a 100 es igual al exponente 100 multiplicado por el logaritmo en base 2,
la misma base del logaritmo inicial, de 8.
Finalmente recordad que el logaritmo en base b de 1 es igual a 0, you que b
elevado a 0 es igual a 1. 0 es el exponente que hay que elevar a la
base b para obtener 1. De la misma forma, el logaritmo en base b
de b es 1, you que b elevado a 1 es igual a b.
Por ejemplo el logaritmo en base 3 de 1 es igual a 0, el logaritmo de cualquier
base de 1 siempre es 0. 3 elevado a 0 es igual a 1, en este caso.
Y el logaritmo en base 3 de 3 es igual a 1, you que claramente 3 elevado a 1 es
igual a 3. A continuación aplicaremos las
propiedades algebraicas que acabamos de recordar para resolver algunos
ejercicios. En este primero se trata de calcular el
algoritmo en base 3 de 1125 sabiendo que el logaritmo en base 3 de 5 es 1,46.
Primero vemos que 1125 es igual a 3 al cuadrado por 5 elevado a 3 por lo tanto
sustituimos este valor y escribimos logaritmo en base 3 de 1125 es igual a
logaritmo en base 3 de 3 al cuadrado por 5 elevado a 3.
Ahora aplicamos esta propiedad: el logaritmo de un producto es igual al
logaritmo de la suma de cada uno de los factores.
Por lo tanto podemos escribir que esto es igual al logaritmo en base 3 de 3 al
cuadrado más el logaritmo en base 3 de 5 al cubo.
En cada uno de estos sumandos tenemos un logaritmo y una potencia.
Por lo tanto aplicaremos esta propiedad y podemos escribir que logaritmo en base 3
de 3 al cuadrado es igual a 2 multiplicado por el logaritmo en base 3
de 3. De la misma forma, el logaritmo en base 3
de 5 al cubo es igual a 3 multiplicado por el logaritmo en base 3 de 5.
Ahora vemos que el logaritmo en base 3 de 3 es igual a 1, por lo tanto, 2 por 1 más
3 por el logaritmo en base 3 de 5. Finalmente, aplicamos esta igualdad dada
en el enunciado, you sabemos que el algoritmo en base 3 de 5 es 1,46, por lo
tanto, esto es igual a 2 más 3 por 1,46. O sea 2 más 4,38, o sea 6,38.
Y éste es el resultado del logaritmo que queríamos calcular.
En este segundo ejercicio se trata de calcular el logaritmo de esta expresión
sabiendo que el logaritmo de X es igual a 3 y el logaritmo de y es igual a menos 2.
De nuevo, aplicamos primero esta propiedad: el logaritmo de un producto es
igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores.
Por lo tanto, el logaritmo de x al cuadrado por y a la 5 es igual al
logaritmo de x al cuadrado más el logaritmo de y elevado a 5.
A continuación vemos que podemos calcular cada uno de estos logaritmos utilizando
esta propiedad. Por lo tanto escribimos el logaritmo de x
al cuadrado como 2 por logaritmo de x y de la misma forma logaritmo de y elevado
a 5 lo escribimos como 5 por el logaritmo de y.
Ahora vemos que you podemos aplicar estas igualdades dadas en el enunciado y
obtener que es esto es igual a 2 por logaritmo de x, cambiamos por 3 más 5 por
logaritmo de y, lo cambiamos por menos 2 y así obtenemos que esto es igual a 6,
menos 10, o sea, -4. -4 es el resultado del logaritmo que
queríamos calcular. Veamos un tercer ejemplo parecido al
anterior, ahora se trata de calcular el logaritmo de este cociente sabiendo que
el logaritmo de x es igual a 3, el logaritmo de y es igual a -2.
Por lo tanto escribimos este logaritmo de un cociente aplicando esta segunda
propiedad se puede expresar como una diferencia.
El logaritmo del numerador raíz cuadrada de X a la 3, menos el logaritmo del
denominador y elevado a la 5. Ahora vemos que el primer logaritmo se
puede expresar como una potencia simplemente escribiendo la raíz cuadrada
de X a la 3, como x elevado a 3/2. Y ahora aplicamos la propiedad que estaba
aquí, la tercera propiedad, a cada uno de estos logaritmos.
Por lo tanto podemos escribir que el logaritmo de X elevado a 3/2 es igual a
3/2 multiplicado por el logaritmo de x. De la misma forma, el logaritmo de y
elevado a 5 se puede escribir como 5 por el logaritmo de y.
Ahora sustituimos los valores dados en el enunciado para el logaritmo de x y el
logaritmo de y y obtenemos que esto es igual a 3/2 multiplicado por 3 menos 5
por -2. O sea, 9/2 más 10 9/2, 10 lo podemos
expresar como 20 dividido entre 2 para mantener el mismo denominador y realizar
la suma. Por lo tanto 29 dividido por 2 es el
resultado del logartimo que queríamos calcular.
Veamos un último ejemplo, en este se trata de calcular el logaritmo en base 5
de 250 menos el logaritmo en base 5 de 2 sin utilizar calculadora.
Para resolverlo utilizaremos esta propiedad, pero en sentido contrario.
A partir de una diferencia de dos logaritmos con una misma base,
expresaremos estos dos logaritmos como un solo logaritmo de un cociente.
Es este caso, el logaritmo en base 5 de 250 menos el logaritmo en base 5 de 2 es
igual a un solo logaritmo con la misma base 5 donde 250 es el numerador y 2 es
el denominador. Así tenemos un solo logaritmo 250 divido
por 2 es 125 por lo tanto si esto es igual al logaritmo en base 5 de 125.
Para calcular este valor sabemos que el valor de x es el exponenete que hay que
elevar a la base 5 para obtener 125. Como 125 es igual a 5 elevado a 3,
tenemos una ecuación exponencial con dos potencias con la misma base.
Por lo tanto podemos decir que los exponentes son iguales.
Si obtenemos que X es igual a 3, y este valor 3 es el valor del logaritmo que
queríamos calcular. Muchas gracias y nos vemos en el
siguiente vídeo.
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