En este vídeo recordaremos las propiedades algebraicas de los logaritmos y a continuación veremos algunos ejemplos de aplicación de dichas propiedades en el cálculo exacto de logaritmos. La primera propiedad nos dice que el logaritmo de un producto, X por Y, es igual a la suma del logaritmo de cada uno de los factores del producto XY. Por ejemplo, el logaritmo en base 3 del producto 9 por 5 es igual al logaritmo con la misma base 3. 9 más el logaritmo base 3 de 5. La segunda propiedad es parecida a la anterior pero si en lugar de un producto tenemos un cociente X dividido por Y. El logaritmo de este cociente es igual al logaritmo del numerador X menos el logaritmo del denominador Y. Por ejemplo, el logaritmo en base 5 de 2/3 es igual al logaritmo en base 5, la misma base del numerador 2, menos el logaritmo en base 5 del denominador 3. La tercera propiedad nos dice que el logaritmo de una potencia, X elevado a Y, es igual al exponente Y multiplicado por el logaritmo de X. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 de 8 elevado a 100 es igual al exponente 100 multiplicado por el logaritmo en base 2, la misma base del logaritmo inicial, de 8. Finalmente recordad que el logaritmo en base b de 1 es igual a 0, you que b elevado a 0 es igual a 1. 0 es el exponente que hay que elevar a la base b para obtener 1. De la misma forma, el logaritmo en base b de b es 1, you que b elevado a 1 es igual a b. Por ejemplo el logaritmo en base 3 de 1 es igual a 0, el logaritmo de cualquier base de 1 siempre es 0. 3 elevado a 0 es igual a 1, en este caso. Y el logaritmo en base 3 de 3 es igual a 1, you que claramente 3 elevado a 1 es igual a 3. A continuación aplicaremos las propiedades algebraicas que acabamos de recordar para resolver algunos ejercicios. En este primero se trata de calcular el algoritmo en base 3 de 1125 sabiendo que el logaritmo en base 3 de 5 es 1,46. Primero vemos que 1125 es igual a 3 al cuadrado por 5 elevado a 3 por lo tanto sustituimos este valor y escribimos logaritmo en base 3 de 1125 es igual a logaritmo en base 3 de 3 al cuadrado por 5 elevado a 3. Ahora aplicamos esta propiedad: el logaritmo de un producto es igual al logaritmo de la suma de cada uno de los factores. Por lo tanto podemos escribir que esto es igual al logaritmo en base 3 de 3 al cuadrado más el logaritmo en base 3 de 5 al cubo. En cada uno de estos sumandos tenemos un logaritmo y una potencia. Por lo tanto aplicaremos esta propiedad y podemos escribir que logaritmo en base 3 de 3 al cuadrado es igual a 2 multiplicado por el logaritmo en base 3 de 3. De la misma forma, el logaritmo en base 3 de 5 al cubo es igual a 3 multiplicado por el logaritmo en base 3 de 5. Ahora vemos que el logaritmo en base 3 de 3 es igual a 1, por lo tanto, 2 por 1 más 3 por el logaritmo en base 3 de 5. Finalmente, aplicamos esta igualdad dada en el enunciado, you sabemos que el algoritmo en base 3 de 5 es 1,46, por lo tanto, esto es igual a 2 más 3 por 1,46. O sea 2 más 4,38, o sea 6,38. Y éste es el resultado del logaritmo que queríamos calcular. En este segundo ejercicio se trata de calcular el logaritmo de esta expresión sabiendo que el logaritmo de X es igual a 3 y el logaritmo de y es igual a menos 2. De nuevo, aplicamos primero esta propiedad: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores. Por lo tanto, el logaritmo de x al cuadrado por y a la 5 es igual al logaritmo de x al cuadrado más el logaritmo de y elevado a 5. A continuación vemos que podemos calcular cada uno de estos logaritmos utilizando esta propiedad. Por lo tanto escribimos el logaritmo de x al cuadrado como 2 por logaritmo de x y de la misma forma logaritmo de y elevado a 5 lo escribimos como 5 por el logaritmo de y. Ahora vemos que you podemos aplicar estas igualdades dadas en el enunciado y obtener que es esto es igual a 2 por logaritmo de x, cambiamos por 3 más 5 por logaritmo de y, lo cambiamos por menos 2 y así obtenemos que esto es igual a 6, menos 10, o sea, -4. -4 es el resultado del logaritmo que queríamos calcular. Veamos un tercer ejemplo parecido al anterior, ahora se trata de calcular el logaritmo de este cociente sabiendo que el logaritmo de x es igual a 3, el logaritmo de y es igual a -2. Por lo tanto escribimos este logaritmo de un cociente aplicando esta segunda propiedad se puede expresar como una diferencia. El logaritmo del numerador raíz cuadrada de X a la 3, menos el logaritmo del denominador y elevado a la 5. Ahora vemos que el primer logaritmo se puede expresar como una potencia simplemente escribiendo la raíz cuadrada de X a la 3, como x elevado a 3/2. Y ahora aplicamos la propiedad que estaba aquí, la tercera propiedad, a cada uno de estos logaritmos. Por lo tanto podemos escribir que el logaritmo de X elevado a 3/2 es igual a 3/2 multiplicado por el logaritmo de x. De la misma forma, el logaritmo de y elevado a 5 se puede escribir como 5 por el logaritmo de y. Ahora sustituimos los valores dados en el enunciado para el logaritmo de x y el logaritmo de y y obtenemos que esto es igual a 3/2 multiplicado por 3 menos 5 por -2. O sea, 9/2 más 10 9/2, 10 lo podemos expresar como 20 dividido entre 2 para mantener el mismo denominador y realizar la suma. Por lo tanto 29 dividido por 2 es el resultado del logartimo que queríamos calcular. Veamos un último ejemplo, en este se trata de calcular el logaritmo en base 5 de 250 menos el logaritmo en base 5 de 2 sin utilizar calculadora. Para resolverlo utilizaremos esta propiedad, pero en sentido contrario. A partir de una diferencia de dos logaritmos con una misma base, expresaremos estos dos logaritmos como un solo logaritmo de un cociente. Es este caso, el logaritmo en base 5 de 250 menos el logaritmo en base 5 de 2 es igual a un solo logaritmo con la misma base 5 donde 250 es el numerador y 2 es el denominador. Así tenemos un solo logaritmo 250 divido por 2 es 125 por lo tanto si esto es igual al logaritmo en base 5 de 125. Para calcular este valor sabemos que el valor de x es el exponenete que hay que elevar a la base 5 para obtener 125. Como 125 es igual a 5 elevado a 3, tenemos una ecuación exponencial con dos potencias con la misma base. Por lo tanto podemos decir que los exponentes son iguales. Si obtenemos que X es igual a 3, y este valor 3 es el valor del logaritmo que queríamos calcular. Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
