En este vídeo vamos a seguir con el cálculo de derivadas. Algunas funciones complejas pueden expresarse como producto, división y composición de funciones elementales. Estudiaremos las reglas de derivación relacionadas con el producto de dos funciones, con el cociente de dos funciones y la composición de dos funciones. Veremos que con estas reglas es posible derivar gran número de funciones complejas. Al final de esta lección deberemos ser capaces de derivar un gran número de funciones que puede expresarse como suma, diferencia, producto, cociente o composición de dos funciones elementales. Vamos pues a empezar. Por una función compleja entenderemos una función que está formada por la combinación de varias funciones elementales. Veamos por ejemplo la función de f de x definida en el ejercicio uno. Si nos fijamos, podemos ver que esta función en realidad está formada por la combinación de varias funciones. Para empezar, hay un producto de dos funciones. La función x menos uno y la función x. Vamos a llamar, a esta función, g de x. Además hay un cociente también de dos funciones; concretamente, la función g de x, que acabamos de definir, y la función x más uno. A esta función la llamaremos h de x. Finalmente, podemos ver que la función f de x se trata de una potencia de una función; concretamente, se trata de la potencia elevada a dos de la función h de x. Por tanto, podemos comprobar que esta función es una combinación de un producto, un cociente y una función potencial. Antes de derivar esta función, vamos a estudiar las reglas de derivación del cociente, de la división y de la composición de dos funciones. La siguiente regla que vamos a estudiar es la que corresponde a la derivada del producto de dos funciones. Esta regla dice: "La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada del primer factor, por el segundo factor, sin derivar más el primer factor sin derivar por la derivada del segundo factor. Vamos a ver dos ejemplos: el primer ejemplo es muy sencillo, tenemos una función que es el producto de la función cinco por la función x al cubo. Por tanto podemos derivar aplicando esta regla, que sería, derivada del primer factor cero por el segundo sin derivar más el primer factor sin derivar por la derivada del segundo factor, que es tres x cuadrada. Sumando ambos sumandos obtenemos quince x cuadrada. Observemos que el mismo resultado se podía haber obtenido aplicando directamente las reglas anteriores de las funciones que son producto de una constante por una función Veamos un ejemplo un poco más complicado: en este caso tenemos una función que también es producto de dos funciones, raíz cúbica de x y un binomio que es uno partido por x menos dos x cuadrada. En primer lugar, vamos a agregar un poco la función y vamos a escribir de la siguiente manera: x elevado a un tercio multiplicado por uno partido por x menos dos par... menos dos por x cuadrada. En este caso el primer factor es x elevado a un tercio, el segundo factor es el binomio. Para hallar la derivada aplicamos la misma regla: derivada de x elevado a un tercio, que será un tercio, por x elevado a menos dos tercios. Multiplicado por el segundo factor sin derivar más el primer factor, sin derivar, por la derivada del segundo factor, que será derivada de uno partido por x que you sabemos que es menos uno partido por x cuadrado, menos la derivada de 2x cuadrado, you sabemos que es cuatro x. Vamos a simplificar esta expresión y nos quedaría uno partido por tres, raíz cúbica de x al cuadrado, multiplicado por uno partido por x, menos dos x cuadrado más raíz cúbica de x multiplicado por menos uno partido por x cuadrado menos cuatro x. Y esta sería la derivada del producto de dos funciones. A continuación, vamos a estudiar la derivada del cociente de dos funciones. La regla del cociente dice lo siguiente: "La derivada del cociente de dos funciones (f partido por g) sería la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado". Veamos un par de ejemplos; primer ejemplo, si es igual de sencillo, lo podíamos haber resuelto anteriormente como el producto de una constante por una función, pero vamos a aplicar esta regla. El numerador es tres, el denominador es dos x. La derivada sería, igual, derivada del numerador, que es cero, por el denominador sin derivar, dos x, menos el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador, dos. Todo ello dividido por el denominador al cuadrado. Operando obtenemos cero menos seis partido por cuatro x cuadrado. Es decir, menos tres partido por dos x cuadrada. Vamos a ver un ejemplo un poco más complicado: en este caso se trata del cociente de dos binomios. El numerador es cuatro x cuadrado menos tres, el denominador es dos x menos uno. Vamos a hallar su derivada (aplicamos la misma regla). Derivada del numerador, ocho x menos cero multiplicado por un denominador sin derivar menos el numerador sin derivar multiplicado por la derivada del denominador que es simplemente dos. Y todo ello dividido por el denominador al cuadrado. Ahora podemos intentar simplificar esta expresión y obtendríamos dieciséis x cuadrado menos ocho x, menos ocho x cuadrado más seis. Dividido todo por dos x menos uno partido por dos y sumando los mismos, sumándose del numerador, obtendríamos ocho x cuadrado menos ocho x más, seis partido por dos x menos uno al cuadrado. La tercera regla que vamos a estudiar es la que se llama regla de la cadena, una regla muy útil y que se va a utilizar muy a menudo. Básicamente, se puede interpretar de la siguiente manera: cuando tenemos una función que es composición de dos funciones, entonces, su derivada es la derivada de la primera función con respecto a la segunda función multiplicado por la derivada de la segunda función. Esta regla es un poco complicada de entender; por lo cual, es mucho más sencillo ver un ejemplo. El primer ejemplo es muy sencillo, observemos que se trata de la función x cuadrado menos uno elevado al cuadrado. Se puede interpretar como la composición de dos funciones de la siguiente manera, primero de todo, una función, llamémosle "y", que será la función de x cuadrada menos uno. Por tanto, la función f de x la podríamos interpretar como la función "y" elevado al cuadrado. Si queremos derivar la función x, la función f, perdón, entonces sería aplicar la regla haciendo la regla de la cadena, que sería: la derivada de "y" cuadrado, que es dos "y", multiplicado por la derivada de "y". Sustituyendo, por los valores de "y" y de su derivada, sería dos veces "y", es decir, dos por x cuadrado menos uno, multiplicado por la derivada de "y", que es dos x. Simplificando, obtenemos cuatro x multiplicado por x cuadrado menos uno. Cuando tengáis un poco más de práctica veréis que es muy sencillo aplicar la regla de la cadena. Veamos un ejemplo un poco más complicado para entender este procedimiento. En este caso, de nuevo, se trata de dos funciones. Por un lado tendríamos la función x cubo menos seis, esta sería nuestra "y", y por otro lado tendríamos la función potencia, es decir, la función f de x la podemos escribir como "y" elevado a cien. Donde "y" es la función x cubo menos seis. Por tanto, para derivar esta función, procederíamos como antes. Dividiríamos la función "y" elevado a cien, que sería cien por "y" elevado a noventa y nueve y multiplicado por la derivada de "y". Sustituyendo, obtendremos: cien por la "y", la "y" la hemos definido como x cubo menos seis elevado a noventa y nueve, y a continuación la derivada de la "y" que simplemente es tres x cuadrado. Reordenando los términos, obtendríamos que la derivada es trescientos por x al cuadrado por x tres, menos seis elevado a noventa y nueve. Finalmente, you estamos en condiciones de derivar una función, la función que teníamos al principio de la lección, que era f de x igual a esta expresión. Para ello, retomamos el hilo anterior y definimos las siguientes funciones: primero de todo es definimos la función g de x que será igual a x menos uno multiplicado por x. Esta función, su derivada sería, uno por x mas x menos uno por uno, igual, simplemente, a dos x menos uno. A continuación, teníamos también la función h de x igual a g de x partido por x más uno. Se trata del cociente de dos funciones, por tanto, vamos a aplicar la regla de la derivación del cociente. Su derivada sería la derivada de g por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador y todo ello dividido por el denominador al cuadrado. Operando obtendríamos, fácilmente podéis comprobar que se obtiene tres equis cuadrado menos uno partido por x más uno al cuadrado. Finalmente, nuestra función f de partida la podemos escribir simplemente como la función h al cuadrado. Se trata, pues, de una composición de dos funciones. Por tanto, para derivar una función f aplicamos la regla de la cadena. La derivada de f prima, de t f, que es f prima, sería: dos por la derivada de h por... perdón: dos por h por la derivada de h. Sustituyendo cada factor por su valor, obtendríamos: dos, por g de x partido por x más uno, multiplicado por la derivada de h, que es tres x cuadrado menos uno partido por x más uno al cuadrado y, resolviendo todos los términos y sustituyendo por su valor, finalmente obtendríamos la expresión dos x menos uno por x por tres x cuadrado menos uno y todo ello dividido por x más uno al cubo. Observemos que en este ejemplo hemos aplicado las tres reglas: la del producto, la del cociente y la regla de la cadena. Para terminar este vídeo, simplemente, vamos a resumir las tres reglas que hemos estudiado. La primera regla es la regla del producto, por la cual, la derivada del producto, simplemente la derivada del primer factor, por el segundo sin derivar más el primer factor, por la derivada del segundo. También hemos visto la regla del cociente, que básicamente se traduce en: derivada del numerador, por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador partido por el denominador al cuadrado. Y finalmente la composición, que es aquella regla, llamada también regla de la cadena, que nos permite hallar la derivada de dos funciones que son composición una de otra. Básicamente la regla es que se halla, mediante el producto de la primera función respecto a la variable representada por la segunda función, multiplicado por la derivada de la segunda función.
