Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Cálculo de derivadas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Derivación
La tasa de variación de una función, derivada de una función en un punto, interpretación geométrica, función derivada, cálculo de derivadas, máximos y mínimos de una función, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo vamos a seguir con el cálculo de derivadas.
Algunas funciones complejas pueden expresarse como
producto, división y composición de funciones elementales.
Estudiaremos las reglas de derivación relacionadas
con el producto de dos funciones,
con el cociente de dos funciones y la composición de dos funciones.
Veremos que con estas reglas es posible
derivar gran número de funciones complejas.
Al final de esta lección deberemos ser capaces de
derivar un gran número de funciones que puede expresarse como suma, diferencia,
producto, cociente o composición de dos funciones elementales.
Vamos pues a empezar.
Por una función compleja entenderemos una
función que está formada por la combinación
de varias funciones elementales.
Veamos por ejemplo la función de f de x definida en el ejercicio uno.
Si nos fijamos, podemos ver que esta función en
realidad está formada por la combinación de varias funciones.
Para empezar, hay un producto de dos
funciones. La función x menos
uno y la función x. Vamos a llamar, a
esta función, g de x. Además hay un
cociente también de dos funciones;
concretamente, la función g de x, que acabamos de definir, y la función x más
uno. A esta función la llamaremos h de x.
Finalmente, podemos ver que la función f de x se trata de una potencia
de una función; concretamente, se trata
de la potencia elevada a dos de la función h de x.
Por tanto, podemos comprobar que esta función es una combinación
de un producto, un cociente y una función potencial.
Antes de derivar esta función, vamos a estudiar las reglas de derivación
del cociente, de la división y de la composición de dos funciones.
La siguiente regla que vamos a estudiar es la
que corresponde a la derivada del producto de dos funciones.
Esta regla dice: "La derivada del producto de dos funciones
es igual a la derivada del primer factor, por el segundo
factor, sin derivar más el primer factor
sin derivar por la derivada del segundo factor.
Vamos a ver dos ejemplos: el primer
ejemplo es muy sencillo, tenemos una función
que es el producto de la función cinco por la función x al cubo.
Por tanto podemos derivar aplicando esta regla, que sería, derivada del
primer factor cero por el segundo sin derivar más el primer factor sin derivar
por la derivada del segundo factor, que es tres x cuadrada.
Sumando ambos sumandos obtenemos quince x cuadrada.
Observemos que el mismo resultado se podía haber obtenido
aplicando directamente las reglas anteriores de las funciones que
son producto de una constante por una función Veamos
un ejemplo un poco más complicado: en este caso tenemos
una función que también es producto de dos funciones, raíz cúbica de x
y un binomio que es uno partido por x menos dos x cuadrada.
En primer lugar, vamos a agregar un poco la función y vamos a escribir de la
siguiente manera: x elevado a un tercio multiplicado
por uno partido por x menos dos par...
menos dos por x cuadrada. En este caso el primer factor es x elevado
a un tercio, el segundo factor es el binomio.
Para hallar la derivada aplicamos la misma regla: derivada
de x elevado a un tercio, que será un tercio, por x elevado a menos dos tercios.
Multiplicado por el segundo factor sin derivar
más el primer factor, sin derivar, por la derivada del
segundo factor, que será derivada de uno partido por x que you sabemos que es menos
uno partido por x cuadrado, menos la derivada de 2x cuadrado,
you sabemos que es cuatro x. Vamos a simplificar
esta expresión y nos quedaría uno partido por tres,
raíz cúbica de x al cuadrado, multiplicado por
uno partido por x, menos dos x cuadrado más raíz cúbica
de x multiplicado por menos uno partido por x cuadrado menos cuatro x.
Y esta sería la derivada del producto de dos funciones.
A continuación, vamos a estudiar la derivada del cociente de dos funciones.
La regla del cociente dice
lo siguiente: "La derivada del cociente de dos funciones
(f partido por g) sería la derivada del numerador por
el denominador sin derivar menos el numerador por la
derivada del denominador, dividido todo por el denominador al cuadrado".
Veamos un par de ejemplos; primer ejemplo, si es igual de sencillo, lo
podíamos haber resuelto anteriormente como el
producto de una constante por una función,
pero vamos a aplicar esta regla.
El numerador es tres, el denominador es dos x.
La derivada sería, igual, derivada del numerador, que es cero, por
el denominador sin derivar, dos x, menos el numerador sin
derivar multiplicado por la derivada del denominador, dos.
Todo ello dividido por
el denominador al cuadrado. Operando
obtenemos cero menos seis partido por cuatro x cuadrado.
Es decir, menos tres partido por dos x cuadrada.
Vamos a ver un ejemplo un poco más complicado: en este caso se trata del
cociente de dos binomios. El numerador es cuatro x cuadrado menos
tres, el denominador es dos x menos uno. Vamos a hallar su derivada (aplicamos
la misma regla). Derivada del numerador, ocho x
menos cero multiplicado por un denominador
sin derivar menos el numerador sin derivar
multiplicado por la derivada del denominador que es simplemente dos.
Y todo ello dividido por el
denominador al cuadrado. Ahora podemos intentar
simplificar esta expresión y obtendríamos dieciséis
x cuadrado menos ocho x, menos ocho x
cuadrado más seis. Dividido todo
por dos x menos uno partido por dos y sumando los mismos,
sumándose del numerador, obtendríamos ocho x cuadrado
menos ocho x más, seis partido
por dos x menos uno al cuadrado.
La tercera regla que vamos a estudiar es la que se llama regla
de la cadena, una regla muy útil y que se va a utilizar muy a menudo.
Básicamente, se puede interpretar de la siguiente manera: cuando tenemos
una función que es composición de dos funciones, entonces, su derivada
es la derivada de la primera función con respecto a
la segunda función multiplicado por la derivada de la segunda función.
Esta regla es un poco complicada de entender; por lo
cual, es mucho más sencillo ver un ejemplo.
El primer ejemplo es muy sencillo, observemos que se trata
de la función x cuadrado menos uno elevado al cuadrado.
Se puede interpretar como la composición de
dos funciones de la siguiente manera, primero
de todo, una función, llamémosle "y", que será la función de x cuadrada menos uno.
Por tanto, la función f de x la
podríamos interpretar como la función "y" elevado al cuadrado.
Si queremos derivar la función x, la función f, perdón, entonces sería aplicar
la regla haciendo la regla de la cadena, que sería: la derivada de "y" cuadrado,
que es dos "y", multiplicado por la derivada de "y".
Sustituyendo, por los valores de "y" y de su derivada, sería
dos veces "y", es decir, dos por x cuadrado menos uno,
multiplicado por la derivada de "y", que es dos x.
Simplificando, obtenemos cuatro x multiplicado por x cuadrado menos uno.
Cuando tengáis un poco más de práctica veréis que
es muy sencillo aplicar la regla de la cadena.
Veamos un ejemplo un poco más complicado para entender este procedimiento.
En este caso, de nuevo, se trata
de dos funciones.
Por un lado tendríamos la función x cubo menos
seis, esta sería nuestra "y", y por otro lado
tendríamos la función potencia, es decir, la función f
de x la podemos escribir como "y" elevado a cien.
Donde "y" es la función x cubo menos seis.
Por tanto, para derivar esta función, procederíamos como antes.
Dividiríamos la función "y" elevado
a cien, que sería cien por "y" elevado a
noventa y nueve y multiplicado por la derivada de "y".
Sustituyendo, obtendremos: cien por
la "y", la "y" la hemos definido como x cubo menos seis elevado a noventa y
nueve, y a continuación la derivada de la "y" que simplemente es tres x cuadrado.
Reordenando los términos,
obtendríamos que la derivada es trescientos por x al cuadrado
por x tres, menos seis elevado a noventa y nueve.
Finalmente, you estamos en condiciones de derivar una función, la función
que teníamos al principio de la lección, que era f de x igual a esta expresión.
Para ello, retomamos el hilo anterior y definimos las siguientes
funciones: primero de todo es definimos la función g de x que será igual
a x menos uno multiplicado por x. Esta función,
su derivada sería, uno por x mas x menos uno
por uno, igual, simplemente, a dos x
menos uno. A continuación, teníamos también la
función h de x igual a g de x partido por x más uno.
Se trata del cociente de dos funciones, por tanto,
vamos a aplicar la regla de la derivación del cociente.
Su derivada sería la derivada de g por el denominador sin derivar menos
el numerador por la derivada del denominador y todo ello dividido por el
denominador al cuadrado.
Operando obtendríamos, fácilmente podéis comprobar que se obtiene tres equis
cuadrado menos uno partido por x más uno al cuadrado.
Finalmente, nuestra función f de partida la podemos
escribir simplemente como la función h al cuadrado.
Se trata, pues, de una composición de dos funciones.
Por tanto,
para derivar una función f aplicamos la regla de la cadena.
La derivada de f prima, de t f, que es f prima, sería: dos por la
derivada de h por... perdón: dos por h por la
derivada de h. Sustituyendo cada factor por su
valor, obtendríamos: dos, por g de x partido
por x más uno, multiplicado por la derivada
de h, que es tres x cuadrado menos uno partido por x más
uno al cuadrado y, resolviendo todos los términos y sustituyendo por su valor,
finalmente obtendríamos la expresión dos x menos
uno por x por tres x cuadrado menos uno y todo
ello dividido por x más uno al cubo. Observemos que en este ejemplo hemos
aplicado las tres reglas: la del producto, la del cociente y la regla de la cadena.
Para terminar este vídeo, simplemente, vamos a
resumir las tres reglas que hemos estudiado.
La primera regla es la regla del producto, por la
cual, la derivada del producto, simplemente la derivada del primer factor,
por el segundo sin derivar más el primer factor, por la derivada del segundo.
También hemos visto la regla del cociente, que básicamente se traduce en: derivada
del numerador, por el denominador sin derivar menos el numerador
por la derivada del denominador partido por el denominador al cuadrado.
Y finalmente la composición, que es aquella
regla, llamada también regla de la cadena,
que nos permite hallar la derivada de dos funciones que son composición una de otra.
Básicamente la regla es que se halla,
mediante el producto de la primera función respecto
a la variable representada por la segunda función,
multiplicado por la derivada de la segunda función.
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