Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Ceros de funciones
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
347 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo, vamos a introducir un concepto básico para comprender el
comportamiento de una función. Los ceros de las funciones.
Veremos que los ceros de una función son las soluciones de una ecuación y que se
corresponden con los puntos de intersección de la representación gráfica
de la función con el eje de abscisas. Aplicaremos estos conceptos a las dos
familias de funciones que hemos estudiado: las funciones lineales y las
funciones cuadráticas. Pero su interpretación es la misma para
otras familias de funciones. Vamos a empezar por definir el concepto
de cero de una función. Los ceros de una función efe son las
soluciones de la ecuación efe de equis igual a cero.
Vamos a ver un ejemplo. Calcular los ceros de la función efe de
equis igual a dos equis menos cuatro. Planteamos la ecuación efe de equis igual
a cero; es decir dos equis menos cuatro igual a cero y resolvemos la ecuación
para equis. Equis será igual a cuatro partido por dos
igual a dos. Diremos que la función efe tiene un cero
en equis igual a dos. Vamos a ver en que se traduce un cero de
una función gráficamente. Vamos a representar gráficamente la
función efe de equis igual a dos equis menos cuatro.
you sabemos que se trata de una función lineal y por tanto su representación
gráfica será una recta, concretamente la recta que está representada en color azul
en el dibujo. Podemos observar que esta recta corta al
eje de abscisas en un punto, concretamente el punto dos coma cero.
Por tanto, equis igual a dos que es el cero de la función coincide con la
abscisa del punto de intersección de la recta con el eje de abscisas.
Veamos otro ejemplo. En este caso, vamos a calcular los ceros
de la función cuadrática efe de equis igual a menos equis cuadrado menos cuatro
equis más doce. Planteamos la ecuación efe de equis igual
a cero; es decir menos equis cuadrado menos cuatro equis más doce igual a cero.
Cambiando de signo la ecuación, nos quedaría equis cuadrado más cuatro equis
menos doce igual a cero. Para resolver esta ecuación, simplemente,
aplicamos la fórmula para calcular las soluciones de una ecuación de segundo
grado: equis igual a menos be más menos raíz cuadrada de be al cuadrado que será
dieciséis menos cuatro por a que es uno y por c que es menos doce, y todo dividido
por dos veces a que es dos. Resolviendo esta expresión será igual a
menos cuatro más menos raíz cuadrada de dieciséis más cuarenta y ocho partido por
dos y esto es igual a menos cuatro más menos raíz de sesenta y cuatro partido
por dos igual a menos cuatro más menos ocho partido por dos.
De aquí, podemos sacar dos soluciones. Una de ellas sería menos cuatro más ocho
partido por dos que es igual a dos y la otra sería menos cuatro menos ocho
partido por dos que es igual a menos seis.
Por tanto, podemos concluir que esta función cuadrática tiene dos ceros: un
cero en equis igual a menos seis y otro cero en equis igual a dos.
Veamos como se traducen estos ceros, utilizando su representación gráfica.
Si representamos la función sobre los ejes de coordenadas, esta función
cuadrática tiene la forma que podéis ver en esta figura.
Si calculamos los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes
de la abscisa obtenemos los puntos menos seis cero y menos dos cero tal como se
puede observar en la gráfica. Observamos que las dos soluciones que
hemos obtenido, los dos ceros eran equis igual a menos seis y equis igual a dos.
Por tanto, también coinciden con las abscisas los puntos de intersección de la
gráfica de la función con los ejes de abscisas.
Resumiendo, los ceros de una función efe coinciden con la abscisa del punto de
intersección de la representación gráfica de la función con el eje de abscisas.
Veamos en el caso concreto de las funciones lineales en que se traducen.
Por ejemplo, la función efe de equis igual a menos equis menos dos es la recta
dibujada en el gráfico de la derecha en color azul.
Esta recta corta al eje de abscisas en el punto menos dos cero, por tanto esta
función tiene un cero en equis igual a menos dos.
La recta efe de equis igual a tres es la recta representada en color verde en la
figura. Podemos observar que corta al eje de
ordenadas pero no corta al eje de abscisas.
Por tanto, esta función lineal no tiene ningún cero.
No tiene ningún cero. Finalmente, veamos otro ejemplo, que es
la función lineal dos equis menos dos, representada en color rojo en la figura.
Esta función corta el eje de abscisas en uno solo punto que es el punto uno cero.
Por tanto, esta función tiene un cero en equis igual a uno.
Veamos lo que ocurre cuando aplicamos el mismo razonamiento a las funciones
cuadráticas. Por ejemplo, la función cuadrática efe de
equis igual a equis cuadrado menos dos equis está representada en la gráfica de
la derecha mediante un trazo azul y podemos observar que corta al eje de
abscisas en dos puntos: el cero cero y el punto dos cero.
Por tanto, podemos concluir que esta función tiene dos ceros.
Uno en equis igual a cero y el otro en equis igual a dos.
Veamos otra función cuadrática. En este caso, se trata de la función
cuadrática efe de equis igual a menos equis cuadrado menos cuatro equis menos
cuatro. Representada en la figura, mediante un
trazo verde. En este caso concreto, esta función corta
en el eje de abscisas en el punto menos dos cero.
Por tanto, podemos concluir que esta función tiene un único cero en el punto
equis igual a menos dos. Finalmente, puede existir un tercer caso.
Se trata de la función efe de equis igual a menos equis cuadrado más cuatro equis
menos seis que está representada en la figura de la derecha en color rojo.
Como podeis observar, esta función no cortará al eje de abscisas en ningún
punto. Por tanto, podemos concluir que la
función efe de equis igual a menos equis cuadrado más cuatro equis menos seis no
tiene ningún cero. Resumiendo, podemos decir que los ceros
de una función efe son las soluciones de la ecuación efe de equis igual a cero.
Los ceros de una función efe coinciden con la abscisa del punto de intersección
de la representación gráfica de la función con el eje de abscisas.
En el caso de tratarse de funciones lineales, cuya representación gráfica es
una línea recta, podemos distinguir entre las funciones constantes que no tienen
ningún cero y las funciones lineales no constantes que tienen exactamente un
cero. Así mismo, en el caso de tratarse de las
funciones cuadráticas como you hemos visto en el ejemplo anterior puede haber
básicamente tres casos: que no tengan ningún cero, es decir, que no corten el
eje de abscisas, que corten el eje de abscisas exactamente en un punto, por
tanto tienen uno cero o que corten el eje de abscisas exactamente en dos puntos con
lo cual tendrá exactamente dos ceros.
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