Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Ceros de funciones polinomiales
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
315 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
[MÚSICA] Hola de nuevo, en una
lección anterior, hemos definido el concepto de cero de una función y
hemos estudiado los ceros de las funciones lineales y de las funciones cuadráticas.
Hemos observado también la importancia que tenía el conocimiento de los ceros de una
función, para estudiar su comportamiento.
Para una función polinomial en general,
calcular los ceros no es un problema simple de resolver.
En algunos casos, es incluso muy difícil.
No obstante, dado el interés de conocer los ceros de una función
para deducir su comportamiento, veremos alguna técnica sencilla que,
en algunos casos, nos ayudará a calcularlos todos.
Recordemos en primer lugar, el concepto de cero de una función.
En este dibujo,
podéis ver la representación gráfica de una función polinomial.
La gráfica corta al eje de abscisas en tres puntos.
Concretamente, en el punto x igual a menos dos,
en el punto x igual a cero y en el punto x igual a cuatro.
Por tanto podemos decir, que esta función polinomial tiene tres ceros,
un cero en el punto x igual a menos dos, otro cero en el punto
x igual a cero, otro cero en el punto de abscisa x igual a cuatro.
Por tanto, los ceros de una función polinomial son las soluciones
de la ecuación f de x igual a cero.
Además, coinciden con las abscisas de los puntos de intersección
de la representación gráfica de la función con el eje de abscisas.
La ecuación que deberemos resolver es la que figura en este recuadro a sub
n por x a la n más puntos suspensivos más a sub uno por x más a sub cero.
Y, se sabe que esta ecuación tiene como máximo n soluciones reales.
En general, hallar las soluciones de esta ecuación es bastante difícil.
Pero cuando los coeficientes son números enteros, entonces existe un
procedimiento bastante simple para hallar los ceros que además sean ceros enteros.
A continuación veremos estos procedimientos.
Vamos a empezar con un sencillo ejemplo.
Vamos a tratar de hallar los ceros de la función polinomial f de x igual
a x al cubo menos x cuadrado menos seis x.
Es decir, debemos resolver la ecuación f de x igual a cero o,
lo equivalentemente x cubo menos x cuadrado menos seis x igual a cero.
En este caso, evidentemente,
no conocemos ninguna fórmula automática que nos permita hallar el valor de x.
Sí que sabemos que esta ecuación como máximo tendrá tres ceros.
En este caso concreto podemos proceder de la siguiente forma,
puesto que cada término de la ecuación
tiene un valor de x, podemos sacar este valor de x factor común,
y obtendríamos x factor común de x cuadrado menos x menos seis igual a cero.
Podemos comprobar que en este caso tenemos el producto de dos factores igual a cero.
Esto significa que o bien, el primer factor vale cero,
o bien, el segundo factor vale cero.
El primer factor ya nos da un cero de la función, es decir,
la función tiene un cero en x igual a cero.
Para hallar los otros dos ceros vamos a resolver la segunda ecuación.
X cuadrado menos x menos seis igual a cero, que puesto que se trata de
una ecuación de segundo grado, podemos simplemente calcular x igual a uno
más menos raíz cuadrada de b al cuadrado que sería uno menos cuatro
por a y por c que sería menos seis partido por dos a que es dos,
esto nos daría uno más menos raíz cuadrada
de 25 partido por dos y hallando la raíz cuadrada
y calculando la expresión tendríamos uno más menos cinco partido por dos,
que da lugar a dos soluciones, la solución tres y la solución menos dos.
De esta manera hemos hallado dos ceros más, los ceros son x igual a menos dos
y x igual a tres.
Resumiendo, utilizando un sencillo procedimiento de resolución de ecuaciones,
hemos podido hallar todos los ceros de esta función polinomial, y no hay más,
puesto que tiene grado tres no puede más de tres ceros.
Aquí podemos ver la representación gráfica de estos tres ceros
de la función polinomial tratada.
Vamos a fijarnos solo en las funciones polinomiales con coeficientes enteros.
Para el caso general,
para hallar los ceros de estas funciones debemos conocer ciertas propiedades.
Vamos a empezar por una propiedad que es simple.
Comprobar que un cierto valor es un cero de una función polinomial.
Concretamente en este caso vamos a comprobar que x igual a menos dos
y x igual a menos uno son ceros de la función polinomial x a la cuarta
más tres x cubo menos seis x menos cuatro.
Para ello simplemente debemos sustituir la x por el valor, en este caso menos dos
y calcular la expresión menos dos a la cuarta, más tres por menos
dos al cubo menos seis por menos dos menos cuatro.
Si desarrollamos esta expresión obtendremos de forma sencilla
el valor final 16 menos 24 más 12 menos cuatro
y sumando todo nos da cero,
por tanto podemos concluir que x igual a menos dos es un cero de la función f de x.
Lo mismo podemos hacer con el valor menos uno.
f de menos uno sería menos uno a la cuarta más
tres por menos uno al cubo menos seis
por menos uno menos cuatro y operando obtendremos uno
menos tres más seis menos cuatro igual a cero.
Por tanto podemos concluir que x igual a menos uno
también es un cero de esta función.
Naturalmente son dos ceros enteros.
En el siguiente dibujo, podemos ver la representación gráfica de estos dos ceros.
Vamos a estudiar otra propiedad relacionada
con los ceros de funciones polinomiales con coeficientes enteros.
Tomamos la misma función que antes de la cual ya sabemos que tiene dos ceros,
uno en x igual a menos uno y otro en x igual a menos dos y
vamos a comprobar que estos ceros dividen a f de cero.
¿Cuánto vale f de cero?
Calculamos f de cero y sería cero más cero
menos cero menos cuatro igual a menos cuatro.
Y observamos que el valor menos uno divide al valor menos cuatro
y el valor menos dos divide también al valor menos cuatro.
Es decir, tenemos el siguiente resultado, si f de x es un polinomio,
una función polinomial, donde todos los coeficientes son números enteros
y además tenemos un cero de la función, entonces,
este cero necesariamente divide al coeficiente a sub cero.
Vamos a utilizar la propiedad que acabamos de ver
para hallar los ceros enteros de una función polinomial.
Concretamente queremos hallar los ceros enteros de la función polinomial f de x
igual a x al cubo menos dos x cuadrado menos cinco x más seis.
En primer lugar vamos a hallar cuál es el valor de la función en x igual a cero.
El valor de la función en x igual a cero simplemente es seis, por tanto,
tal como hemos visto los posibles ceros enteros de esta función están entre los
divisores del valor seis.
Estos divisores son más menos uno, más menos dos,
más menos tres y más menos seis.
En total hay ocho valores, pero como máximo podremos hallar tres ceros
puesto que nuestra función polinomial tiene grado tres.
Vamos a empezar pues a intentar hallar algunos de estos ceros.
En primer lugar calculamos el valor de la función en el punto x igual a uno,
que valdrá uno menos dos menos cinco más seis, en este caso es igual a cero.
Por tanto podremos deducir, que en x igual a uno, hay un cero de esta función.
Puesto que hemos hallado un cero de esta función, como máximo habrá dos más.
Vamos a intentar hallarlos.
Buscamos por ejemplo el valor de f de menos uno, en este caso vale menos uno
menos dos más cinco más seis, que es distinto de cero y por tanto,
en x igual a menos uno, no hay un cero de esta función.
A continuación vamos a hallar el valor de f en x igual a dos,
obtenemos; ocho menos ocho menos 10 más seis, que
también es distinto de cero y por tanto tampoco habrá un cero en x igual a dos.
Para el valor f de menos dos, tenemos menos ocho menos ocho más 10 más seis,
que sí es igual a cero y por tanto obtenemos
otro cero de esta función en x igual a menos dos.
Siguiendo con este procedimiento, por ejemplo podríamos tomar ahora el valor de
la función en f igual a,
que es igual a 27 menos 18 menos 15 más seis, cuyo
resultado es cero y por tanto el tercer cero que buscábamos es x igual a tres.
Ya no hace falta que continuemos puesto que había exactamente
tres ceros y ya los hemos hallado.
Resumiendo, esta función polinomial de grado tres tiene exactamente tres ceros,
que son x igual a menos dos, x igual a uno y x igual a tres.
En este caso concreto, hemos sido capaces de hallar todos los ceros de esta función.
En general no es tan sencillo, y deberemos utilizar otras técnicas
para ayudarnos a calcular todos los ceros enteros de una función.
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