Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Comportamiento de funciones polinomiales
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Hola de nuevo. Igual que hemos hecho con las funciones
lineales y las funciones cuadráticas, vamos a estudiar el comportamiento de una
función polinomial en general. El comportamiento general de una función
polinomial puede deducirse en muchos casos a partir del comportamiento de
algunas funciones básicas. En este vídeo estudiaremos aquellas
propiedades que pueden deducirse fácilmente a partir del conocimiento de
estas funciones básicas. Al final del vídeo, debemos ser capaces
de predecir el comportamiento de una función polinomial para valores grandes y
pequeños de la variable x. Empezaremos por distinguir familias de
funciones polinomiales, clasificadas según el grado, así las funciones
polinomiales de grado cero, tendrían la forma f de x igual a a sub-cero y
corresponden a funciones lineales constantes.
Son aquellas que el grado es igual a cero, y you la hemos visto en el vídeo
sobre funciones lineales. Si el grado es igual a uno, entonces las
funciones polinomiales tendrían la forma f de x igual a sub-uno por x más a
sub-cero. Estas corresponden a las funciones
lineales no constantes con grado n igual a uno.
Si n igual a dos, entonces la función tendría la forma f de x igual a a sub-dos
por x cuadrado más a sub-uno por x más a sub-cero.
Estas corresponden a las funciones cuadráticas, siempre que a sub-dos sea
distinta de cero. Corresponden pues, al caso en que n es
igual a dos, es decir que el grado es igual a dos.
A partir de aquí, con grado mayor que dos, todas las funciones polinomiales son
nuevas. En este caso distinguiremos dos
posibilidades, cuando n es impar, estudiaremos las funciones de la forma f
de x igual a a sub-n por x elevado a n, y cuando n es par, estudiaremos las
funciones también de la forma f de x igual a sub-n por x elevado a n.
Observemos que en ambos casos el grado de estas funciones polinomiales es n.
Vamos pues a empezar el estudio de la función polinomial f de x igual a a por x
elevado a n, cuando n es mayor que dos y n es impar.
Suponemos en primer lugar que la a es mayor que cero.
Si representamos algunas de estas funciones, por ejemplo, podemos ver aquí
a la izquierda la función f de x igual a x cubo, que tiene grado tres.
A continuación representamos gráficamente la función f de x igual a x a la quinta,
que tiene grado n igual a cinco, y más a la derecha, representamos la función f de
x igual a x a la séptima, que tiene grado n igual a 7.
Estas tres funciones son muy parecidas, pero si nos fijamos, cada una de ellas
presenta pequeñas modificaciones. Concretamente, en el entorno del valor
cero, podemos observar que cuanto mayor es el grado de la función, ella presenta
un comportamiento más plano. Así mismo cuando la variable x crece o
decrece, la función también crece o decrece, respectivamente.
Además si calculamos su dominio y su imagen, podemos deducir que el dominio de
esta función es todo el intervalo menos infinito infinito y su imagen también es
todo el intervalo menos infinito infinito.
Además, son funciones continuas y son funciones crecientes.
Veamos el comportamiento de estas funciones, cuando la a es menor que cero.
Cuando la a es menor que cero, entonces ocurre lo siguiente, la función que
tomamos en primer lugar es la función f de x igual a menos x cubo de grado tres.
El comportamiento es muy parecido de la función x cubo, pero ahora en lugar de
ser creciente, es decreciente. A continuación, dibujamos la función f de
x igual a menos x a la quinta. Y finalmente la función f de x igual a
menos x a la séptima. Podemos observar you fácilmente su
parecido con las funciones de la transparencia anterior.
Igual que antes, alrededor del cero, cuanto mayor es el grado de la función,
más plana es la función, y a diferencia de la anterior que era una función
creciente, en este caso se trata de una función decreciente.
Como antes, el dominio es el intervalo menos infinito infinito, la imagen
también es el intervalo menos infinito infinito, y todas ellas son continuas y
todas ellas son decrecientes. A continuación, consideramos la misma
función f de x igual a a por x a la n, con n mayor que dos, pero en este caso
consideramos que la n es un número par y que la a es un valor mayor que cero.
Como antes, representamos varias funciones para ver su comportamiento.
La primera de ellas es la función f de x igual a x a la cuarta, cuyo grado es
cuatro que es par. Tiene un cierto parecido con la función x
cuadrado que hemos visto anteriormente. A continuación tenemos la función f de x
igual a x a la sexta, y finalmente la función f de x igual a x a la ocho.
Como podemos observar, el comportamiento de las tres funciones es muy parecido,
pero alrededor del cero, cuanto mayor es el grado, más plana es la función.
Además, podemos observar que su dominio es el intervalo menos infinito infinito
pero que su imagen solamente es el intervalo cero infinito.
Todas son continuas y además, observad que presentan un valor mínimo en el punto
f de cero igual a cero. A continuación, si en lugar de a mayor
que cero dibujamos aquellas funciones que tienen a menor que cero, podemos observar
cual es su forma. Esta es la función f de x igual a menos x
a la cuatro. Esta es la función f de x igual a menos x
a la seis. Finalmente, está la función f de x igual
a menos x a la ocho. Observamos de nuevo que las tres
funciones son muy parecidas con su homónimas con signo positivo y presentan
también una zona plana alrededor del punto cero, cero.
Su dominio es el intervalo menos infinito infinito, pero en este caso la imagen
solamente es el intervalo de menos infinito a cero.
Todas son continuas y también presentan un máximo en el punto cero cero.
Naturalmente las funciones polinomiales que aparecen no son tan simples como las
que hemos visto anteriormente. Por ejemplo, en este ejercicio tenemos
una función polinomial de grado quinto. X quinta menos dos x cuarta menos cuatro
x cubo más cuatro x cuadrado menos cinco x más seis.
¿Cómo podemos conocer el comportamiento de esta función?.
Para ello deberemos estudiar sus propiedades.
Algunas de ellas dependerán solamente del término de mayor grado, y por tanto,
podremos deducirlas a partir de las funciones que hemos visto anteriormente.
Otras propiedades son propias de la función y habrá que estudiarlas por
separado. ¿Cuáles son estas propiedades que
estudiaremos? Pues básicamente son las siguientes.
Estudiaremos el comportamiento para valores muy grandes de x, es decir,
diremos que cuando la x tiende a infinito.
Estudiaremos también el comportamiento para valores muy pequeños de x, es decir,
cuando la x tiende a menos infinito. Después estudiaremos las intersecciones
con los ejes de abscisas, que you sabemos que se llaman los ceros de la función, y
que corresponden a las soluciones de la ecuación f de x igual a cero.
Además, también estudiaremos el signo de la función entre ceros consecutivos, lo
que os permitirá conocer la forma de la función.
Y, finalmente, también es interesante estudiar los intervalos de crecimiento y
los puntos extremos de la función, aunque estas propiedades las propondremos hasta
la semana quinta. El comportamiento de una función
polinomial, para valores grandes y pequeños de x, depende única y
exclusivamente del término de mayor grado, es decir, depende básicamente de a
sub-n y depende del grado n. Vamos a ver los casos que pueden darse,
si n es par y el coeficiente de mayor grado es mayor que cero, la forma de la
función siempre es la que tenemos en esta figura.
En cambio, si a sub-n es menor que cero, tendrá la forma que vemos en esta figura.
De la misma manera, podemos calcular el comportamiento para valores grandes y
pequeños de x, cuando n es impar. Cuando n es impar y el coeficiente es
mayor que cero, tiene la forma que aparece en esta figura, es decir, es
creciente. En cambio, cuando n es impar y a sub-n es
menor que cero, tiene la forma que aparece en esta figura, es decir es
decreciente. Con estas propiedades podemos deducir
cual será el comportamiento de la función para valores grandes y pequeños de x.
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