Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Conjuntos de números
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
325 calificaciones
De la lección
Números y funciones
Conjuntos de números, el conjunto de los números reales, valor absoluto, subconjuntos de números, el plano real y distancias en el plano, funciones reales y su representación gráfica, la función inversa, comportamiento de una función.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Buenos días a todos. vamos a empezar este curso de precálculo
repasando los distintos conjuntos de números que se utilizan de forma habitual
en matemáticas, y muy especialmente en el cálculo.
Hemos dividido la exposición en tres vídeos.
En el primer vídeo daremos una descripción informal de los conjunto de
números. Veremos sus propiedades y recordaremos
cuales son las operaciones que tienen asociadas.
En el segundo vídeo introduciremos los intervalos, los subconjuntos de los
números reales más importantes, y en el tercer vídeo recordaremos las
inecuaciones y su resolución que utilizaremos a lo largo del curso.
Al final de este primer tema deberemos ser capaces de identificar los distintos
tipos de números que aparecen en matemáticas y como se opera con ellos.
Además deberemos saber expresar subconjuntos de números reales como unión
o intersección de intervalos y utilizarlos para resolver inecuaciones.
Vamos pues a empezar este primer vídeo. Los números se utilizan normalmente para
contar, medir o expresar relaciones. Así por ejemplo, utilizamos los números
1, 2, 3, 4 y así sucesivamente para contar elementos, cantidades, objetos,
etc. Estos números se llaman los números
naturales y se representan por la letra N.
Si además necesitamos por ejemplo mostrar temperaturas, los pisos de un edificio u
otras cantidades también pueden ser negativas entonces necesitaremos números
como -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 etc. Estos constituyen el conjunto de los
números enteros que se representan con la letra Z mayúscula.
Si además necesitamos calcular relaciones o proporciones como -2/3, 1/2 o 5/4
entonces necesitaremos el conjunto de los números racionales que se representan con
la letra Q. En ciertos casos además necesitamos medir
el área de una circunferencia, o la diagonal de un cuadrado.
Para ello necesitamos otros números como raíz de 2, como el número pi, como el
número raíz de 5, o como por ejemplo el número e, que veremos próximamente.
Todos ellos constituyen el conjunto de los números reales que se representan con
la letra R. Vamos a estudiar un poco más en
profundidad cada uno de estos conjuntos. ¿Qué relación hay entre estos conjuntos
de números? Si representamos el conjunto de los
números naturales como un círculo, entonces este conjunto está incluído
dentro del conjunto de los números enteros, representado por un Z, y a su
vez estos dos conjuntos están incluídos dentro del conjunto de los números
racionales que a su vez están incluídos dentro del conjunto de los números
reales. El conjunto de los números que son reales
y no son racionales, se llaman irracionales, y todos ellos constituyen
el conjunto de los números reales. Este gráfico muestra la relación de
inclusión que hay entre estos conjuntos de números.
A continuación vamos a realizar un simple ejercicio de identificación de números
reales. Tenemos una lista de números reales, y
vamos a intentar hallar el subconjunto de los números reales más pequeño que los
contiene. Si empezamos por el primero de ellos:
-1/4 puesto que se trata de una fracción reducida, concluímos que se trata de un
número racional y por tanto lo pondremos en el subconjunto de los números
racionales. El siguiente es menos raíz de 4.
Aunque aparentemente parece un número irracional, puesto que menos raíz de 4 es
igual a menos 2 se tratará de un número entero, y por tanto lo pondremos dentro
del subconjunto de los números enteros. A continuación el número 6/3, que es un
número racional, una vez reducido se transforma en el número dos, y por tanto
se trata de un número natural. Lo pondremos en el conjunto de los
números naturales. Sigamos.
El número 0, se trata de un número entero por tanto lo pondremos dentro del
subconjunto de los números enteros, y el número pi, se trata de un número
irracional, y por tanto lo pondremos dentro del subconjunto de los números
irracionales. El número raíz de 9/4, observemos que
aparentemente parece irracional, pero es equivalente al número 3/2 que se trata de
un número racional. Por tanto lo pondremos dentro del
subconjunto de los números racionales. Veamos raíz de -1.
Si llamamos x al número que representa raíz de -1, entonces x cuadrado debería
ser igual a -1. No obstante no existe ningún número real
tal que al elevar al cuadrado no se convierte en negativo.
Por tanto este número no es un número real, y lo pondríamos dentro del conjunto
que hemos denominado ninguno de los anteriores.
Finalmente el número 2 al cuadrado es equivalente a cuatro, que se trata de un
número natural, y por tanto lo pondríamos dentro del subconjunto de los números
naturales. Todos los números reales se pueden
expresar en notación decimal. Por tanto es importante dado un número
decimal, saber reconocer a qué subconjunto de los números reales
pertenece. Veamos unos cuantos ejemplos.
Empecemos por el número 1.5. El número decimal 1.5 es equivalente a 15
partido por 10, que es una fracción, que una vez reducida es equivalente a tres
medios y por tanto se trata de un número racional.
Lo escribimos pues en el subconjunto de los números racionales.
El número 2.0 simplemente es equivalente al número dos y por tanto se tratará de
un número natural. Lo escribiremos en el subconjunto de los
números naturales. Veamos el número 0.333 y así
sucesivamente. Si llamamos x al número 0.333 y así
sucesivamente vamos a efectuar las siguientes operaciones.
Multiplicamos esta igualdad por 10. 10x es igual a 3,3 y así sucesivamente.
Si restamos ambas ecuaciones obtendremos 9x igual a 3 y por tanto x será igual a
3, partido por 9, que es equivalente a un tercio.
Por tanto se trata de un número racional. Nuestro número original era -0.3333 y así
sucesivamente, por tanto será equivalente a menos un tercio y lo pondremos en el
lugar de los números racionales. El siguiente número es otro número
decimal con infinitas cifras decimales, es 3.14159265.
Esta es la expresión decimal del número pi y por tanto lo pondríamos en el lugar
de los números irracionales. Finalmente, el número -1.0 es claramente
el número entero -1 y por tanto lo pondríamos en el lugar de los números
enteros. El conjunto de los números reales dispone
de dos operaciones. La suma y la multiplicación.
Cada una de las dos operaciones tienen cuatro propiedades.
Conmutativa, asociativa, identidad e inversa.
Además tenemos la propiedad distributiva entre la multiplicación y la suma.
Para ilustrar estas propiedades vamos a ver algunos ejemplos.
El primero de ellos es el cálculo de la expresión (3 + x) +5.
Para poder realizar esta operación con las propiedades de los números reales
deberíamos en primer lugar aplicar la propiedad conmutativa de la suma para
obtener (x+3) +5. A continuación aplicaríamos la propiedad
asociativa de la suma para convertirla en x+ (3+5), y finalmente obtendríamos
resultado que es x+8. Aunque normalmente realizamos estas
operaciones de forma automática es conveniente tener presente que estamos
utlizando las propiedades de la suma. Veamos otro ejemplo.
En este caso para realizar esta operación estamos aplicando la propiedad
distributiva. De manera que sacamos a factor común
(3+7)a y esto es equivalente a 10a. Aunque no lo parezca hemos aplicado la
propiedad distributiva. Veamos otro ejemplo, en este caso
concreto para realizar la operación, de nuevo debemos aplicar la propiedad
distributiva pero al revés de como lo hemos hecho antes.
Si aplicamos la propiedad distributiva será 2 por 3 + x por 3.
Es igual a 6+x por 3. Si queremos dejar la igualdad en la forma
mas usual que sería 6+3x lo hemos podido hacer porque a x por 3 hemos aplicado la
propiedad conmutativa de la multiplicación.
Finalmente veamos otro ejemplo un poco más complicado.
En este caso tenemos varias propiedades que hemos aplicado.
La primera de ellas será la propiedad distributiva para sacar factor común la
u. Sería (5-3) multiplicado por u, y podemos
también poner multiplicado por un medio. A continuación aplicaremos la propiedad
conmutativa para reunir las cantidades numéricas.
Serían 2 multiplicado por un medio multiplicado por u.
Es decir hemos aplicado la propiedad distributiva y hemos aplicado la
propiedad conmutativa. A continuación vamos a aplicar la
propiedad inversa de la multiplicación para calcular 2 multiplicado por un
medio. 2 multiplicado por un medio es igual a 1
por u.Y finalmente 1 por u se obtiene mediante la aplicación de la identidad de
la multiplicación, con lo cual al final tendremos simplemente.
Aunque normalmente haremos estas operaciones de forma sistemática hay que
tener presente que en todos los casos estamos aplicando las propiedades de las
operaciones con números reales. En el conjunto de los números reales
también tenemos definido una propiedad de orden.
Es decir, dados los números reales siempre podemos decidir cual es el
pequeño y cual es el grande. Veamos un sencillo ejercicio de
ordenación de números reales. Tenemos una lista de números reales,
vamos a ver cual es el más pequeño, cual es el siguiente y así sucesivamente.
Para empezar tenemos el número pi que you sabemos que es igual a 3,1415 etc.
A continuación tenemos el número cinco tercios que en su expresión decimal es
1.666 y así sucesivamente. El número -4 está perfectamente
identificado. Veamos el número raíz de 5.
El número raíz de 5 está entre la raíz de 4 y la raíz de 9.
Por tanto podemos decir que raíz de 5 está entre 2 y 3.
Además tenemos el número 0 y finalmente tenemos el número 3 medios que es igual a
1.5 Por tanto si queremos ordenar estos números, el más pequeño de todos será el
número -4. A continuación vendrá el número 0.
A continuación vendrá el número tres medios, después cinco tercios, después
raíz de 5, y finalmente el número pi. La relación de orden de los números
reales tiene algunas propiedades que conviene recordar.
La primera de ellas es muy sencilla. Dado cualquier número real, siempre se
les clasifica entre números menores que 0, es decir números negativos, números
mayores que 0, es decir números positivos, Y el número 0 que no es ni
positivo ni negativo. Vamos contra propiedad.
Si a es menor que b, y b es menor que c, entonces a es menor que c.
Esta propiedad se llama transitiva y básicamente con un ejemplo podríamos
decir que se expresa como si 1 es menor que 3 y 3 es menor que 5, entonces
necesariamente, 1 es menor que 5. Veamos la siguiente propiedad.
La segunda propiedad hace referencia a la suma con una relación de orden.
Si a es menor que b, entonces a+c es menor que b+c por ejemplo, si 1 es menor
que 3 y tomamos además el número 2, entonces 1+2 es menor que 3+2, es decir 3
es menor que 5. Las siguientes dos propiedades están
relacionadas con la relación de orden y la multiplicación.
La primera de ellas dice: si a es menor que b y c es un número positivo entonces
a por c será menor que b por c. Veamos un ejemplo.
Si 1 es menor que 3, y tomamos el número 2, entonces dice que 2 por 1 es menor que
2 por 3, es decir 2 es menor que 6. En cambio Si tomamos dos números a menor
que b y un número c menor que 0 entonces al hacer el producto se invierte el signo
de orden. Es decir, por ejemplo, si 1 es menor que
3, y tomamos por ejemplo el número -1 multiplicado por 1, y el -1 multiplicado
por 3 entonces la relación de orden se invierte.
De manera que -1 es mayor que -3.
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