Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
El problema del área limitada por una función
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
323 calificaciones
De la lección
Integración
La función primitiva o antiderivada. Cálculo de primitivas. Técnicas de integración. El área limitada por una función, la integral definida, Teorema fundamental del cálculo y aplicaciones al cálculo de áreas.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
[MÚSICA] En este vídeo abordamos
el problema del cálculo del área de una región plana.
En la educación primaria seguramente habréis aprendido a calcular el
área de algunas figuras planas como triángulos o rectángulos.
No obstante muchas regiones del plano no estan limitadas por lados rectos.
Como por ejemplo un sector circular o una circunferencia
o las regiones limitadas por funciones.
Para este tipo de regiones se utiliza un método aproximado para hallar su área.
En este vídeo introduciremos el problema del cálculo del área de una región plana
y estudiaremos un método simple y aproximado para calcular su área.
En vídeos posteriores comprobaremos que este método da lugar al
concepto de integral definida y que puede resolverse con el cálculo de primitivas.
Vamos pues a empezar este vídeo.
Empecemos con un sencillo ejemplo.
¿Cuál es el área de la región plana limitada por la representación
gráfica de la función y igual a f de x
entre los puntos de abscisa x igual a a y x igual a b?
Hemos representado esta región con este representación gráfica pintada en azul.
Concretamente lo que pretendemos es calcular la superficie de esta área.
Fijémonos que tres lados están limitados por líneas rectas y el tercer,
el cuarto está limitado por una línea curva.
Por tanto no podemos utilizar los métodos que hemos visto en el cálculo elemental.
Una manera de abordar este problema es calcular el área de forma aproximada.
Podríamos considerar este rectángulo que está,
tiene un área superior a la que estamos buscando y también podríamos
considerar este otro rectángulo que tiene un área inferior.
Por tanto el área que estamos buscando estaría
entre las áreas de los dos rectángulos.
¿Cuál es la, la área inferior?
La área inferior se puede calcular sencillamente sabiendo que la base
es esta cantidad y que la altura es esta cantidad.
Por tanto sería b menos a multiplicado por f de a.
Y, ¿cuál es el área del rectángulo grande?
Pues también sería la base que es b menos a multiplicada por la altura
que sería f de b.
De esta manera podemos calcular de forma aproximada
cuál es el área de esta, de esta zona limitada por una línea curva.
Naturalmente estamos haciendo un error,
nuestra intención es disminuir este error y calcularlo de forma precisa.
Vamos a ver otro ejemplo simple y conocido
que nos permitirá introducir nuevos conceptos.
En este caso se trata de calcular el área de la región plana limitada
por la representación gráfica de la función f de x igual a dos
entre x igual a cero y x igual a tres.
Es el área en azul del dibujo.
Esta figura representa un rectángulo por tanto su superficie la podemos calcular
simplemente como el valor de la base que será tres menos cero por el
valor de la altura que en este caso será simplemente f por ejemplo
de tres y esto será tres multiplicado por dos igual a seis.
Vamos a calcularla de otra manera.
En primer lugar vamos a hallar una primitiva de
la función f de x igual a dos.
Ya sabemos que esta primitiva es dos x.
Puede haber otras primitivas pero con una es bastante.
Y a continuación vamos a calcular
la diferencia del valor de la primitiva en los dos límites de la región.
Es decir vamos a calcular f de tres menos f de cero.
Veamos qué valor obtenemos.
F de tres simplemente será seis menos f de cero es cero igual a seis.
Y que coincide exactamente con el valor del área que pretendíamos encontrar.
¿Cómo la hemos hallado?
Pues buscando una primitiva de la función que limita el área y
calcular la diferencia de esta función en los dos extremos de la región.
Este ejemplo es un poco más difícil
pero también podemos calcular el área de dos formas distintas.
En primer lugar la podemos calcular sencillamente
teniendo en cuenta que se trata de un cuadrado y de un triángulo.
Por tanto la superficie sería el área del cuadrado pintado en
azul fuerte que sería simplemente dos por dos más el área del triángulo en azul más
claro que sería la base dos por la altura dos partido por dos,
total el área de la, de la región pintada en azul limitada por la recta
f de x igual a x más uno sería simplemente cuatro más dos igual a seis.
Vamos a realizar la misma operación que hemos hecho antes.
Es decir vamos a buscar primero de todo una primitiva de la función
f minúscula de x.
Una primitiva de esta función como ya sabemos sería x cuadrado partido por dos
más x.
Y igual que antes vamos a calcular la diferencia f de tres menos f de uno.
Sustituyendo, en la primitiva obtendríamos
nueve medios más tres menos un
medio menos uno igual exactamente
a cuatro mas dos igual a seis.
De nuevo observamos que el área también la hemos obtenido
como la diferencia en los valores límites de la, de la región
aplicados a la primitiva de la función que limita la región del plano.
En el siguiente ejemplo vamos a repetir el mismo ejercicio pero en este caso los
límites que tomamos de la región son límites cualesquiera a y b.
Para calcular el área podemos utilizar la fórmula clásica y obtendríamos que,
primero calcularíamos el área del rectángulo que es b menos a multiplicado
por la altura de este rectángulo que sería a más uno
y después el área del triángulo que sería
b menos a por su altura que es b menos a y partido por dos.
Si operamos obtenemos la expresión b menos a por b más a más dos partido por dos.
Veamos si obtenemos la misma solución
tomando la técnica basada en las primitivas.
Primero buscamos una primitiva de la función f de x igual a x más uno.
Esta primitiva será x cuadrado partido por dos más x.
Y a continuación calculamos la primitiva,
la diferencia de la primitiva en los valores b y a.
Si sustituímos obtenemos b cuadrado menos a cuadrado partido por dos más b menos a.
Si operamos obtenemos la expresión b menos a por
b más a más dos por b menos a partido todo por dos.
Y simplificando la expresión obtenemos b menos a por b
más a más dos partido por dos.
Es decir que coincide exactamente con el área que habíamos hallado anteriormente.
¿Qué ocurre en el caso en que la función que limita la región no es recta?
En este caso no podemos aplicar las
fórmulas clásicas para hallar el área y debemos hallarla de forma aproximada.
Fijémonos en este dibujo en el cual hemos trazado una serie de
rectángulos todos con la misma base todos inscritos dentro del área
limitada por la curva f de x igual a x cuadrado
partido por dos y los puntos de abscisa x igual a cero y x igual a tres.
El área en este caso por tanto será mayor o igual
que la suma de las áreas de los cinco rectángulos.
Si hallamos las áreas de estos cinco rectángulos tendremos una aproximación
a el área total de esta región.
Por ejemplo S1 se puede hallar como un medio
de f de un medio que es igual a un dieciseisavo.
S2 se puede hallar como un medio de f de uno que es igual a un cuarto.
S3 se puede hallar como un medio de f de
por ejemplo tres medios es igual a nueve dieciseisavos.
S4 se puede hallar como un medio de f de dos que será igual en este caso a uno.
Y S5 se puede hallar como un medio
de f de cinco medios que en este caso es igual a 25 dieciseisavos.
Por tanto el área que nosotros queremos encontrar
está aproximada por la suma de estos cinco valores.
Es decir un dieciseisavo más un cuarto más nueve
dieciseisavos más uno más 25 dieciseisavos.
Si hacemos esta suma obtenemos sencillamente 54 partido por
16 igual a 3,375.
Es decir el área encerrada por esta curva vale,
es mayor o igual que 3,375.
Si hubiéramos buscado otros rectángulos
más estrechos seguramente hubiéramos obtenido un valor más aproximado.
En los próximos vídeos veremos cómo este método nos permite hallar de forma
segura y eficiente y exacta el valor de esta área.
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