[MUSIC] La técnica estudiada en el vídeo anterior se basa en una propiedad de las funciones polinomiales y de los polinomios en general llamada factorización. En este vídeo introduciremos el concepto de factorización de funciones polinomiales y lo aplicaremos al cálculo de los ceros de una función polinomial. Al final de este vídeo debemos ser capaces de hallar todos los ceros enteros de una función polinomial y algunos de los ceros que no sean enteros. Vamos a introducir el concepto de factorización de funciones polinomiales mediante un sencillo ejemplo, tomamos la función polinomial x cubo menos dos x cuadrado menos cinco x mas seis. Primero comprobaremos que tres es un cero de esta función y a continuación comprobaremos que la función se puede escribir como el producto de la función polinomial x menos 3 por la función polinomial x cuadrado más x menos dos. Bien, empecemos. Calculamos primero f de tres que será igual a tres al cubo menos dos por tres al cuadrado menos cinco por tres más seis, y ahora esto será igual a veintisiete menos dieciocho menos quince más seis igual a cero. Por tanto podemos concluir que en x igual a tres, esta función polinomial tiene un cero. A continuación comprobemos que la función polinomial x menos 3 multiplicada por la función polinomial x cuadrado más x menos dos es igual exactamente a la función de partida. Multiplicamos ambas expresiones y obtenemos x cubo más x cuadrado menos dos x menos tres x cuadrado menos tres x más seis igual a x cubo menos dos x cuadrado menos cinco x más seis que es exactamente la función de partida. ¿Qué nos dice este sencillo ejercicio? Pues básicamente nos dice lo siguiente, si tenemos un cero de una función polinomial entonces esta función polinomial siempre se puede escribir como el producto de dos funciones polinomiales. La primera es simplemente x menos el cero y la segunda es otra función polinomial. Se dice en este caso que la función f de x se ha factorizado. El problema importante aquí es como hallar la función g de x. Por tanto, vamos a buscar un procedimiento sencillo para calcular la función g de x. Vamos pues a ver un procedimiento sencillo para factorizar la función f de x, es decir, vamos a ver un procedimiento para hallar la función g de x cuando conocemos un cero de nuestra función. El procedimiento es muy sencillo y quizás lo habréis visto alguna vez como regla de Ruffini. Para ello trazamos dos líneas perpendiculares en las cuales colocaremos por un lado el cero de nuestra función y por el otro lado colocaremos en orden descendente los coeficientes de nuestro polinomio, menos dos, menos cinco y seis. Uno es el coeficiente de x cubo, menos dos el coeficiente de x cuadrado, menos cinco el coeficiente de x y seis sería el término independiente. A continuación procedemos de la siguiente manera. El uno inicial lo copiamos en la parte de abajo y a continuación multiplicamos el tres por el uno que da tres y lo ponemos debajo del menos dos. Sumamos ambos números y obtenemos un uno. A continuación multiplicamos el tres por el uno, obtenemos de nuevo el tres y lo ponemos debajo del menos cinco, sumamos y obtenemos menos dos. Y finalmente, multiplicamos el menos tres por menos dos obtenemos el valor menos seis, que puesto que se trata de un cero de la función, esta suma debe dar necesariamente cero. De esta manera, hemos obtenido una nueva función. La función que hemos obtenido tiene estos coeficientes que podemos ver enmarcados en un círculo y corresponden a los coeficientes de x cuadrado más x menos dos. Esta función polinomial es la función g de x que estábamos buscando. Así podemos escribir f de x igual a x menos tres multiplicado por x cuadrado más x menos dos. Este procedimiento para obtener la función g de x se llama división sintética o regla de Ruffini, por tanto, g de x se puede calcular mediante la división sintética también llamada regla de Ruffini. Vamos a aplicar las técnicas estudiadas para hallar los ceros de la función x cuarta más x cubo menos cuatro x cuadrado menos dos x más cuatro. ¿Cómo lo vamos a hacer? En primer lugar vamos a buscar los ceros enteros entre los divisores de a subcero igual a cuatro. Estos divisores serán, más menos uno, más menos dos y más menos cuatro. Observemos que hay seis posibilidades aunque puesta que esta función tiene grado cuatro, como máximo podrá tener cuatro de estos ceros. Calculamos por ejemplo f de uno, y f de uno será igual a uno más uno menos cuatro menos dos más cuatro igual a cero, por tanto you sabemos que en x igual a uno hay un cero. Por tanto, a partir de este momento podemos seguir buscando otros ceros, o podemos aplicar la factorización, es decir, puesto que x igual a uno es un cero de f de x podemos hallar la función polinomial g de x tal que se cumpla esta igualdad ¿Cómo? Aplicando de nuevo la regla de Ruffini, colocamos aquí el valor de nuestro cero, y en la parte de arriba los coeficientes de la función polinomial y procedemos como anteriormente colocamos aquí el uno, multiplicamos uno por uno igual a uno, sumamos, multiplicamos uno por dos igual a dos, sumamos, multiplicamos uno por menos dos igual a menos dos, sumamos y finalmente multiplicamos uno por menos cuatro igual a menos cuatro, sumamos y obtenemos cero. La función polinomial g de x será igual a x cubo más dos x cuadrado menos dos x menos cuatro. Y podemos escribir f de x igual a x menos uno por x al cubo más dos x cuadrado menos dos x menos cuatro. Hasta aquí hemos hallado un cero y hemos descompuesto en factores el polinomio f de x. Vamos a seguir hallando los ceros de nuestro polinomio f de x igual a x cuarta más x cubo menos cuatro x cuadrado menos dos x más cuatro. En la transparencia anterior hemos observado que f de x lo podíamos escribir como x menos uno multiplicado por g de x donde g de x era la función polinomial de x cubo más dos x cuadrado menos dos x menos cuatro. Vamos a repetir el mismo procedimiento que hemos visto hasta ahora con esta función polinomial. Empezaremos por hallar los divisores del término independiente que son más menos uno, más menos dos y más menos cuatro, en total son seis aunque solo tres como máximo podrían ser ceros de esta función polinomial. Empezamos por ejemplo calculando g de uno, g de uno sería uno más dos menos dos menos cuatro que es distinto de cero. Deberíamos continuar con el resto de posibles divisores que serían g de menos uno que se puede comprobar que también es distinto de cero g de dos también es distinto de cero, y g de menos dos en este caso da menos ocho más ocho más cuatro menos cuatro que sí es igual a cero, es decir x igual a menos dos es un cero de la función polinomial g de x. Entonces, aplicando de nuevo la regla de Ruffini obtenemos, en este caso sería uno, dos, menos dos, menos cuatro, bajamos el uno, multiplicamos por menos dos, menos dos cero, cero menos dos y cuatro, cero. Obtenemos como resultado la función polinomial x cuadrado menos dos. De esta manera, hemos obtenido que f de x es igual a x menos uno por g de x es igual a x menos uno por x más dos por x cuadrado menos dos. Observamos que hemos descompuesto f de x como el producto de tres funciones polinomiales. Hemos obtenido dos ceros enteros y nos queda por tratar de hallar los ceros de la función polinomial x cuadrado menos dos. Siguiendo con el mismo ejercicio hemos llegado a factorizar la función polinomial f de x como x menos uno por x más dos por g de x, donde g de x es una función polinomial que tiene cuatro grado menos dos. Cuatro es el grado de la función original, dos es el número de ceros que hemos hallado. Así por tanto, f de x es igual a x menos uno por x más dos por x cuadrado menos dos, donde g de x es igual a x cuadrado menos dos. Puesto que la función f tiene grado cuatro, tiene un máximo de cuatro ceros, en este caso los dos ceros que faltan son también ceros de la función g de x. Hallamos estos dos ceros, x cuadrado menos dos igual a cero, y obtenemos x cuadrado igual a dos, x igual a más menos raíz de dos. De esta manera hemos hallado todos los ceros de f de x, Por tanto, el conjunto de ceros de la función f de x serán x igual a uno, x igual a menos dos, x igual a raíz de dos y x igual a menos raíz de dos. Observemos que hay dos ceros enteros y dos ceros no enteros. Vamos a resumir lo más importante del procedimiento para calcular ceros de funciones polinomiales. Supondremos que nuestra función polinomial tiene coeficientes enteros. Primero de todo, buscaremos los ceros enteros entre los divisores de a subcero. A continuación, cuando hemos hallado un cero de la función f de x, factorizaremos f de x utilizando la regla de Ruffini. Después repetiremos estos pasos, con la función g de x hasta que no tenga más ceros enteros. Finalmente, tendremos una expresión del tipo f de x igual a x menos c uno, x menos c dos, en general x menos cr por una función g de x donde esta función g de x tiene grado n menos r donde n es el grado de la función original, y r es el número de ceros que hemos hallado. Si esta función g de x se puede aún descomponer, podremos hallar más ceros, si esta función g de x no tiene más ceros reales, se habrá terminado el proceso de hallar todos los ceros de la función polinomial.
