Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Factorización de funciones polinomiales
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
[MUSIC]
La técnica estudiada en el vídeo anterior se basa en una propiedad de las funciones
polinomiales y de los polinomios en general llamada factorización.
En este vídeo introduciremos el concepto de factorización de funciones
polinomiales y lo aplicaremos al cálculo de los ceros de una función polinomial.
Al final de este vídeo debemos ser capaces de hallar todos los ceros enteros
de una función polinomial y algunos de los ceros que no sean enteros.
Vamos a introducir el concepto de factorización de funciones polinomiales
mediante un sencillo ejemplo, tomamos la función polinomial x cubo menos dos x
cuadrado menos cinco x mas seis. Primero comprobaremos que tres es un cero
de esta función y a continuación comprobaremos que la función se puede
escribir como el producto de la función polinomial x menos 3 por la función
polinomial x cuadrado más x menos dos. Bien, empecemos.
Calculamos primero f de tres que será igual a tres al cubo menos dos por tres
al cuadrado menos cinco por tres más seis, y ahora esto será igual a
veintisiete menos dieciocho menos quince más seis igual a cero.
Por tanto podemos concluir que en x igual a tres, esta función polinomial tiene un
cero. A continuación comprobemos que la función
polinomial x menos 3 multiplicada por la función polinomial x cuadrado más x menos
dos es igual exactamente a la función de partida.
Multiplicamos ambas expresiones y obtenemos x cubo más x cuadrado menos dos
x menos tres x cuadrado menos tres x más seis igual a x cubo menos dos x cuadrado
menos cinco x más seis que es exactamente la función de partida.
¿Qué nos dice este sencillo ejercicio? Pues básicamente nos dice lo siguiente,
si tenemos un cero de una función polinomial entonces esta función
polinomial siempre se puede escribir como el producto de dos funciones
polinomiales. La primera es simplemente x menos el cero
y la segunda es otra función polinomial. Se dice en este caso que la función f de
x se ha factorizado. El problema importante aquí es como
hallar la función g de x. Por tanto, vamos a buscar un
procedimiento sencillo para calcular la función g de x.
Vamos pues a ver un procedimiento sencillo para factorizar la función f de
x, es decir, vamos a ver un procedimiento para hallar la función g de x cuando
conocemos un cero de nuestra función. El procedimiento es muy sencillo y quizás
lo habréis visto alguna vez como regla de Ruffini.
Para ello trazamos dos líneas perpendiculares en las cuales colocaremos
por un lado el cero de nuestra función y por el otro lado colocaremos en orden
descendente los coeficientes de nuestro polinomio, menos dos, menos cinco y seis.
Uno es el coeficiente de x cubo, menos dos el coeficiente de x cuadrado, menos
cinco el coeficiente de x y seis sería el término independiente.
A continuación procedemos de la siguiente manera.
El uno inicial lo copiamos en la parte de abajo y a continuación multiplicamos el
tres por el uno que da tres y lo ponemos debajo del menos dos.
Sumamos ambos números y obtenemos un uno. A continuación multiplicamos el tres por
el uno, obtenemos de nuevo el tres y lo ponemos debajo del menos cinco, sumamos y
obtenemos menos dos. Y finalmente, multiplicamos el menos tres
por menos dos obtenemos el valor menos seis, que puesto que se trata de un cero
de la función, esta suma debe dar necesariamente cero.
De esta manera, hemos obtenido una nueva función.
La función que hemos obtenido tiene estos coeficientes que podemos ver enmarcados
en un círculo y corresponden a los coeficientes de x cuadrado más x menos
dos. Esta función polinomial es la función g
de x que estábamos buscando. Así podemos escribir f de x igual a x
menos tres multiplicado por x cuadrado más x menos dos.
Este procedimiento para obtener la función g de x se llama división
sintética o regla de Ruffini, por tanto, g de x se puede calcular mediante la
división sintética también llamada regla de Ruffini.
Vamos a aplicar las técnicas estudiadas para hallar los ceros de la función x
cuarta más x cubo menos cuatro x cuadrado menos dos x más cuatro.
¿Cómo lo vamos a hacer? En primer lugar vamos a buscar los ceros
enteros entre los divisores de a subcero igual a cuatro.
Estos divisores serán, más menos uno, más menos dos y más menos cuatro.
Observemos que hay seis posibilidades aunque puesta que esta función tiene
grado cuatro, como máximo podrá tener cuatro de estos ceros.
Calculamos por ejemplo f de uno, y f de uno será igual a uno más uno menos cuatro
menos dos más cuatro igual a cero, por tanto you sabemos que en x igual a uno
hay un cero. Por tanto, a partir de este momento
podemos seguir buscando otros ceros, o podemos aplicar la factorización, es
decir, puesto que x igual a uno es un cero de f de x podemos hallar la función
polinomial g de x tal que se cumpla esta igualdad ¿Cómo?
Aplicando de nuevo la regla de Ruffini, colocamos aquí el valor de nuestro cero,
y en la parte de arriba los coeficientes de la función polinomial y procedemos
como anteriormente colocamos aquí el uno, multiplicamos uno por uno igual a uno,
sumamos, multiplicamos uno por dos igual a dos, sumamos, multiplicamos uno por
menos dos igual a menos dos, sumamos y finalmente multiplicamos uno por menos
cuatro igual a menos cuatro, sumamos y obtenemos cero.
La función polinomial g de x será igual a x cubo más dos x cuadrado menos dos x
menos cuatro. Y podemos escribir f de x igual a x menos
uno por x al cubo más dos x cuadrado menos dos x menos cuatro.
Hasta aquí hemos hallado un cero y hemos descompuesto en factores el polinomio f
de x. Vamos a seguir hallando los ceros de
nuestro polinomio f de x igual a x cuarta más x cubo menos cuatro x cuadrado menos
dos x más cuatro. En la transparencia anterior hemos
observado que f de x lo podíamos escribir como x menos uno multiplicado por g de x
donde g de x era la función polinomial de x cubo más dos x cuadrado menos dos x
menos cuatro. Vamos a repetir el mismo procedimiento
que hemos visto hasta ahora con esta función polinomial.
Empezaremos por hallar los divisores del término independiente que son más menos
uno, más menos dos y más menos cuatro, en total son seis aunque solo tres como
máximo podrían ser ceros de esta función polinomial.
Empezamos por ejemplo calculando g de uno, g de uno sería uno más dos menos dos
menos cuatro que es distinto de cero. Deberíamos continuar con el resto de
posibles divisores que serían g de menos uno que se puede comprobar que también es
distinto de cero g de dos también es distinto de cero, y g de menos dos en
este caso da menos ocho más ocho más cuatro menos cuatro que sí es igual a
cero, es decir x igual a menos dos es un cero de la función polinomial g de x.
Entonces, aplicando de nuevo la regla de Ruffini obtenemos, en este caso sería
uno, dos, menos dos, menos cuatro, bajamos el uno, multiplicamos por menos
dos, menos dos cero, cero menos dos y cuatro, cero.
Obtenemos como resultado la función polinomial x cuadrado menos dos.
De esta manera, hemos obtenido que f de x es igual a x menos uno por g de x es
igual a x menos uno por x más dos por x cuadrado menos dos.
Observamos que hemos descompuesto f de x como el producto de tres funciones
polinomiales. Hemos obtenido dos ceros enteros y nos
queda por tratar de hallar los ceros de la función polinomial x cuadrado menos
dos. Siguiendo con el mismo ejercicio hemos
llegado a factorizar la función polinomial f de x como x menos uno por x
más dos por g de x, donde g de x es una función polinomial que tiene cuatro grado
menos dos. Cuatro es el grado de la función
original, dos es el número de ceros que hemos hallado.
Así por tanto, f de x es igual a x menos uno por x más dos por x cuadrado menos
dos, donde g de x es igual a x cuadrado menos dos.
Puesto que la función f tiene grado cuatro, tiene un máximo de cuatro ceros,
en este caso los dos ceros que faltan son también ceros de la función g de x.
Hallamos estos dos ceros, x cuadrado menos dos igual a cero, y obtenemos x
cuadrado igual a dos, x igual a más menos raíz de dos.
De esta manera hemos hallado todos los ceros de f de x, Por tanto, el conjunto
de ceros de la función f de x serán x igual a uno, x igual a menos dos, x igual
a raíz de dos y x igual a menos raíz de dos.
Observemos que hay dos ceros enteros y dos ceros no enteros.
Vamos a resumir lo más importante del procedimiento para calcular ceros de
funciones polinomiales. Supondremos que nuestra función
polinomial tiene coeficientes enteros. Primero de todo, buscaremos los ceros
enteros entre los divisores de a subcero. A continuación, cuando hemos hallado un
cero de la función f de x, factorizaremos f de x utilizando la regla de Ruffini.
Después repetiremos estos pasos, con la función g de x hasta que no tenga más
ceros enteros. Finalmente, tendremos una expresión del
tipo f de x igual a x menos c uno, x menos c dos, en general x menos cr por
una función g de x donde esta función g de x tiene grado n menos r donde n es el
grado de la función original, y r es el número de ceros que hemos hallado.
Si esta función g de x se puede aún descomponer, podremos hallar más ceros,
si esta función g de x no tiene más ceros reales, se habrá terminado el proceso de
hallar todos los ceros de la función polinomial.
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