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Formas trigonométrica y polar de los números complejos
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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De la lección
Números complejos
Los ceros de la función f(x)=x^2+1, los números complejos, operaciones con números complejos, formas trigonométrica y polar de un número complejo, potenciación y radicación de números complejos.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En el primer video hemos visto que los números complejos
se representan como dos números reales, o bien utilizando la expresión a
más b i o simplemente como un par ordenado (a, b).
En el segundo video hemos visto como operar con
números complejos si éstos están expresados en esta forma.
A continuación en este video veremos otras dos representaciones
de los números complejos llamadas "forma trigonométrica" y "forma polar".
Estas nuevas representaciones resultarán muy
útiles y eficientes para realizar algunas
operaciones como productos, cocientes, potencias
o raíces enésimas de números complejos.
Sabemos que el conjunto de los números complejos equivale
al conjunto de todos los pares ordenados de números
reales, o dicho de otra forma, cada punto del plano cartesiano representa
un número complejo y cada número complejo es un punto del plano.
En videos anteriores sobre trigonometría, hemos visto
que cualquier punto del plano (a, b) se
puede representar a través del coseno y
seno del ángulo que determina ese punto con
el eje x. O sea, este ángulo alfa.
Más concretamente, la coordenada x, o sea
a corresponde al coseno de alfa si al
radio de la circunferencia es uno, o, en general,
corresponde a r por el coseno de alfa si al radio de la circunferencia
es este valor, r. De la misma forma, la
coordenada i, o sea, b corresponde al
seno de alfa si el radio de la circunferencia es uno, o, en general,
corresponde a r por seno de alfa si el radio de la circunferencia es un valor r.
Este valor, r, se puede calcular
fácilmente como la distancia del punto (0, 0) al
punto (a, b) que es la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado.
Es la raíz cuadrada positiva, porque el radio
siempre es un valor positivo que es una distancia.
Este valor r, radio de esta circunferencia, también se denota
de esta forma respecto al número complejo z, que es a más b i.
Así tenemos que cualquier número complejo a más b i se puede
representar también con la siguiente expresión: r coseno de alfa
más r seno de alfa multiplicado por i, o, de la
misma forma, r multiplicado por i multiplicado por el coseno de
alfa, you que hemos visto que a es r por coseno de alfa y b es r por seno de alfa.
Simplemente, sustituyendo a y b, estas dos expresiones,
obtenemos esta otra expresión donde en lugar de aparecer a y b,
aparecen ahora los valores r y alfa, r es el
radio de la circunferencia y alfa es el ángulo que determina
el punto (a, b) con el eje x.
Esta expresión también se puede reescribir sacando factor común
a la r como r, multiplicado por coseno de alfa más i por seno de alfa.
Estas dos expresiones se llaman formas trigonométricas del número copmlejo z.
Finalmente, también mencionar que el valor r,
el valor de la circunferencia que determina el
punto (a, b) también, expresado de esta forma, se llama
módulo del número complejo y el ángulo alfa, que determina
el punto (a, b) con el eje x, se llama argumento del número complejo.
Veamos a continuación algunos ejemplos de como convertir
un número complejo expresado como un par ordenado
(a, b) o de la forma a más b i en forma trigonométrica.
En este primer ejercicio, se trata de convertir el número complejo 4 i
en forma trigonométrica. El número complejo 4 i también se puede
expresar como el punto (0, 4) del plano cartesiano.
Calculamos el valor r el radio de la circunferencia, o sea, la distancia
del punto (0, 4) al punto (0, 0) simplemente como la raíz
cuadrada positiva de cero al cuadrado más 4 al cuadrado, o
sea, tenemos que el módulo del número complejo dado es cuatro.
Para calcular el ángulo alfa, en este caso, vemos que es
simplemente el ángulo de 90 grados.
Así, you tenemos que el número complejo z, que es igual a 4 i, también se puede
expresar como 4 por el coseno de 90 grados
más i por el seno de 90 grados.
Y ésta es la expresión trigonométrica de este número complejo.
En este segundo ejercicio se trata de convertir el número
menos 3 en su forma trigonométrica.
Vemos que menos 3 corresponde al punto (-3, 0).
Si tenemos que, el radio de la circunferencia, o sea, la distancia del
punto (-3, 0) al punto (0, 0) es la raíz cuadrada del menos 3 al
cuadrado más cero al cuadrado, o sea, 3. Y el ángulo alfa es,
claramente, de 180 grados. Tenemos el
módulo y tenemos el argumento. A partir
de estos dos valores, igual que antes, podemos expresar
el número complejo, z, que es menos 3 también como 3
multiplicado por el coseno de 180 grados más
i por el seno de 180 grados.
Y you tenemos la expresión trigonométrica del número complejo dado.
En este tercer ejercicio, vamos a convertir el número complejo
menos 1 más raíz cuadrada de 3 i en su forma trigonométrica.
Para ello, primero calcularemos el módulo r, que en este caso, es igual
a la raíz cuadrada de menos 1 al cuadrado más raíz cuadrada de 3 al cuadrado.
O sea, raíz cuadrada de 1 más 3, o sea,
raíz cuadrada de 4 que es 2. Para calcular el
argumento, o sea, el ángulo alfa, utilizaremos
el hecho de que a es igual a r, o sea, 2 por el
coseno de alfa y b es igual a 2 por el seno de alfa.
Como a es igual a menos 1 y b es igual a raíz cuadrada de 3,
tenemos que el coseno de alfa es igual a menos 1 dividido por
2, y el seno de alfa es igual a raíz cuadrada de 3 dividido por 2.
A partir
de estos dos valores, podemos encontrar que el
ángulo alfa que tiene como seno este valor
y como coseno este otro valor, además, sabemos
que alfa es un ángulo del segundo cuadrante; el
ángulo de referencia del primer cuadrante que tiene
como coseno y seno estos dos valores positivos, o
sea, un medio para el coseno y raíz cuadrada de 3 dividido por 2 para el seno,
es el ángulo de 60 grados. O sea, ese ángulo de 60 grados.
Como sabemos que alfa es un ángulo del segundo cuadrante, que tiene
como ángulo de referencia el ángulo de 60 grados, alfa
será 180 menos 60 grados, o sea, 120 grados.
Así, tenemos que el número complejo dado,
z, menos 1 más raíz cuadrada de 3 i, se puede expresar en forma
trigonométrica como 2 multiplicado por el coseno de
120 más i por el seno de 120 grados.
Y you tenemos la expresión trigonométrica del número complejo dado.
En este cuarto y último ejemplo, vamos a convertir el número complejo
3 más 4 i en su expresión trigonométrica. De nuevo, primero calculcamos el
módulo r como la raíz cuadrada de 3 al cuadrado más 4 al cuadrado.
O sea, en este caso, raíz cuadrada de 9 más 16, o sea, raíz
cuadrada de 25, que es cinco. Para calculcar el ángulo alfa, igual que
antes, utilizamos la igualdad que a es igual a r por el coseno de alfa,
y b es igual r por el seno de alfa.
Por lo tanto, el coseno de alfa es igual a a, en este caso,
es 3 dividido por el módulo r, que es 5, por tanto 3 dividido por 5.
Y seno de alfa es igual
a b dividido por r, b es 4 y r es 5. Por tanto, cuatro dividido por cinco.
En este caso, el ángulo alfa, cuyo coseno y seno son 3 dividido
por 5 y 4 dividido por 5, respectivamente, no es fácil de calcular de forma exacta.
Podemos utilizar la calculadora y calcular el
ángulo alfa, a través del arco seno, o el arco coseno de
estos valores. Así obtenemos, utlizando la calculadora,
que alfa es, aproximadamente, de 53 grados.
Repito, utlizando el arco coseno, o arco seno de estos
valores. Así tenemos que,
el número complejo 3 más 4i se
puede expresar de forma aproximada como 5
por coseno de 53 más i por
el seno de 53 grados. you tenemos la forma
trigonométrica, aunque, en este caso es una forma aproximada de
este número complejo 3 más 4 i. Hemos visto que un
número complejo a más b i, se puede expresar también en
forma trigonométrica utilizando dos valores: el módulo r y el argumento alfa.
Esta expresión trigonométrica o esta otra de aquí, que
es equivalente, se pueden escribir de forma más compacta simplemente
escribiendo el módulo, y el argumento como un subíndice del módulo.
O sea, de esta forma: r sub alfa. Esta forma de
expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar.
Finalmente, veamos como expresar en forma polar los
números complejos que hemos convertido antes en forma trigonométrica.
El primer
número complejo era 4 i, que expresado en forma trigonométrica
era 4 por el coseno de 90 grados más i por el seno de 90 grados.
Si en lugar de expresar el ángulo en grados, lo
expresamos en radianes, sería pi medios en lugar de 90 grados.
Así, la forma polar de este número complejo será el
módulo, que en este caso es 4, y,
como subíndice, escribimos el argumento, que en este caso
es pi medios si lo expresamos en radianes,
o bien, 90 grados si lo expresamos en grados.
También, habíamos convertido el número complejo menos
3 en su forma trigonométrica y ésta era
3 por el coseno de 180 grados más i por el seno de 180 grados.
Si en lugar de utilizar grados, utilizamos radianes escribiríamos pi en lugar de 180.
La forma polar correspondiente a este número sería el módulo 3 y como subíndice
el ángulo, en este caso, pi radianes, o bien, en forma de grados, 180 grados.
Para el número complejo menos 1 más raíz cuadrada de 3 i,
su expresión trigonométrica era
dos por el coseno de 120 grados más i por el seno de 120 grados.
Así, su forma polar será el módulo, 2, y como subíndice 120 grados.
Si convertimos 120 grados en radianes,
también podemos escribir exactamente la misma expresión,
sustituyendo los grados por su equivalente en radianes.
Y, finalmente, el número complejo 3
más 4 i, convertido en forma trigonométrica, habíamos visto que era
aproximadamente 5 por el coseno de 53 grados más i por el seno de 53 grados.
Por lo tanto, en forma polar,
será 5 y como subíndice 53 grados.
Muchas gracias, y nos vemos en el siguiente video.
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