Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Funciones cuadráticas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Siguiendo con el estudio de las funciones polinomiales, vamos a introducir la
segunda familia más simple de funciones polinomiales: las funciones cuadráticas.
Igual que con las funciones lineales, estudiaremos su definición, su
representación gráfica, y los elementos que determinan sus propiedades: el signo,
el vértice y el eje de simetría. Aunque los conceptos son muy sencillos,
es importante saber distinguir y reconocer las funciones cuadráticas.
Vamos a empezar por dar la definición de una "función cuadrática".
Una función cuadrática es una función de la forma ƒ(x) = ax² + bx + c, donde a, b
y c son números reales, y necesariamente el valor de a debe ser distinto de cero.
La función cuadrática más sencilla es la función ƒ(x)=x² Vamos a ver su
representación gráfica. Igual como hemos hecho con las funciones
lineales, la forma más sencilla de proceder es crear una tabla de valores.
Por tanto, vamos a crear una tabla de valores que nos permitirá representar la
función ƒ(x) = x². Tomamos.
por ejemplo, el punto de abscisa x = -2, calculamos ƒ(-2), que será igual a (-2)²,
igual a 4. Es decir, el punto (-2, 4).
A continuación, por ejemplo, tomamos x = -1, y ƒ(-1) es igual a 1.
Por tanto, representa el punto (-1, 1). Así mismo, con x = 0 obtenemos ƒ(0) = 0,
que representa el origen de coordenadas. Con x = 1 obtenemos ƒ(1) = 1, es decir el
punto (1, 1). y por ejemplo con x = 2 obtendremos ƒ(2)
= 4 que representa el punto (2, 4). Si representamos todos estos puntos sobre
los ejes de coordenadas, obtenemos estos cinco puntos representados en el gráfico
en color azul. Si unimos estos puntos mediante una línea
continua, obtenemos la gráfica de la función ƒ(x) = x².
Podemos observar la diferencia de las funciones lineales que su forma es curva,
y en este caso concreto pasa por el origen de coordenadas y es una curva
abierta en la parte superior. Vamos a ver otro ejemplo: En este caso,
se trata de la función cuadrática ƒ(x) = -x².
Como antes, podemos calcular una tabla de valores, y x y ƒ(x) para unos cuantos
valores. Como antes, tomamos x = -2, y ƒ(-2) es
igual a -4 que representa el punto (-2, -4).
Tomamos x = -1, ƒ(-1) vale en ese caso -1.
que representa el punto (-1, -1). Seguimos con x = 0, y ƒ(0) = 0.
que representa, de nuevo, el origen de coordenadas.
Para el valor x = 1, obtenemos ƒ(1) = -1; es decir, el punto (1, -1).
Y finalmente, con x = 2, obtenemos ƒ(2) = 4, que representa el punto (2, 4).
Si representamos todos estos puntos en los ejes de coordenadas, en este caso
obtenemos cinco puntos, igualmente espaciados, y uniendo estos puntos
mediando una linea continua, obtenemos la gráfica de la función ƒ(x) = -x².
A diferencia del anterior, podemos observar en esta gráfica que es una línea
curva que está abierta por la parte de abajo.
Tal como hemos hecho con las funciones lineales, debemos aprender a identificar
funciones cuadráticas. Veamos algunos ejemplos: La función ƒ(x)
= x por (x-1) es una función cuadrática puesto que se puede escribir como ƒ(x) =
x² - x, y comparando con la fómula general, observamos que a = 1, que b = -1
, y que c = 0. Por tanto, se trataría de una función
cuadrática. Veamos otro ejemplo: En este caso la
función a tratar es ƒ(x) = -3√(x-1). Podemos observar a simple vista que no se
trata de una función cuadrática, puesto que no contiene ni el término x², ni el
término x, ni el término independiente. Sigamos con otro ejemplo: En este caso se
trata de la función ƒ(x) = (x - 1)². Si desarrolamos el cuadrado obtenemos:
ƒ(x) = x² - 2x + 1. Y por tanto, se trataría también de una
función cuadrática, en la cual a = 1, b = -2 y c = 1.
Finalmente, la función ƒ(x) = x multiplicado por (x² - 1).
. Si desarrollamos esta función, obtenemos
ƒ(x) = x³ - x. Puesto que aparece el término x³, y no
aparece el término que es cuadrado, podemos concluir que no se trata de una
función cuadrática. A partir de la representación gráfica de
una función cuadrática, podemos deducir algunas propiedades.
A la izquierda podemos ver una función cuadrática, en la cual a es mayor que 0.
Todas las funciones cuadráticas con a mayor que 0 tienen la fórmula de la
función de la izquierda. Así mismo, a la derecha podemos ver una
función cuadrática con a menor que 0. Todas las funciones cuadráticas con a
menor que 0 tienen la fórmula de la derecha.
Podemos observar que cuando a es mayor que 0, la función es abierta por arriba.
Y cuando a es menor que 0, la función es abierta por abajo.
Además, podemoss observar que, tanto en un caso como en otro, guarda cierta
simetría. .
Concretamente, hay unos puntos concretos en el caso de a mayor que 0.
El punto que se encuentra más abajo de la gráfica se llama el "vértice".
Y en el caso de a menor que 0, el punto que se haya más arriba de la gráfica
también se denomina "vértice". Y finalmente, si trazamos una línea
vertical por el vértice obtenemos lo que se llama el "eje de simetría".
En el caso de la gráfica de la izquierda, el eje de simetría pasa por el vértice.
Y en el caso del gráfico de la derecha, el eje de simetría también pasa por el
vértice. Se llama "eje de simetría" porque
doblando la representación gráfica por esta línea de puntos, se superpone el
lado derecho con el lado izquierdo. Todas las funciones cuadráticas pueden
considerarse la transformación de la función cuadrática básica ƒ(x) = x².
Por ejemplo; vamos a calcular la fórmula de la función cuadrática cuyo vértice
está en el punto (2, -1). Para ello dibujamos primero la
representación gráfica de la funció ƒ(x) = x², que you sabemos que tiene el
vértice en el punto (0, 0). Desplazamos el vértice al nuevo punto (2,
-1), y trazamos la nueva representación gráfica, que será la línea de puntos en
rojo representada en el dibujo. Para hallar la fórmula de esta función,
recordemos que hemos realizado un desplazamiento horizontal de valor h = 2,
y un desplazamiento vertical de valor k = -1.
Por tanto, la nueva función será g(x) = ( x -2)² - 1.
Operando obtendríamos: g(x) = x² - 4x + 4 - 1, o lo que es equivalente: g(x) = x² -
4x + 3. Por tanto, ésta sería la fórmula de la
nueva función cuadrática. Recíprocamente, dada una función
cuadrática, como por ejemplo ƒ(x) = x² - 6x + 7, podríamos preguntarnos por su
vértice, y por su eje de simetría. Podemos suponer que esta función
cuadrática se ha obtenido mediante una transformación horizontal y vertical de
la función g(x) = x². Su desplazamiento sería h y k.
Si nuestra función ƒ(x) se ha obtenido por desplazamiento, entonces tendrá la
fórmula (x - h)² + k. Por tanto, podemos establecer la
igualdadd (x - h)² + k = x² - 6x + 7. Operando obtenemos: x² - 2hx + h² + k =
x² - 6x + 7. Puesto que debe darse la igualdad en
ambos términos, podemos deducir que -2h = -6, y h² + k = 7.
A partir de allí podemos deducir simplemente que h = -6 partido por -2 =
3, y que k será igual a 7 - h². Por tanto será 7 -3² = 7 - 9 = -2.
Por tanto, podemos deducir simplemente que el vértice de esta función está en el
punto (3, -2). Y por tanto, el eje de simetría será la
recta vertical que pasa por los puntos de abscisa x = 3.
La representación gráfica de esta nueva función puede verse en este dibujo.
Observemos que el vértice está en el punto (3, -2) que corresponde al
desplazamiento h y k propuesto anteriormente.
Así mismo, el eje de simetría está en la recta x = 3.
Veamos como procederíamos en el caso de la función cuadrática ƒ(x) = -2x² + 2x +
3. En este caso podemos suponer que se ha
hallado por transformación de la función cuadrática -2x².
Por tanto, podemos suponer que la función ƒ(x) se ha obtenido mediante un
desplazamiento h, k de esta forma: -2 por (x - h)² + k.
Es decir, igual a -2 por (x² - 2hx +h²) + k.
Y reduciendo términos obtendremos: -2x² + 4hx - 2h² + k.
Igual que antes podemos igualar esta expresión a nuestra función -2x² +2x + 3,
e igualando los términos obtendremos simplemente 4h = 2, - 2h² + k = 3.
De donde deducimos que h=2 cuartos, o bien ponemos 1 medio y que k = 3 + 2h².
Es decir, 3 + 2 por 1 cuarto = 3 + 1 medio = 7 medios.
Por tanto, el vértice de esta función estará en el punto (1/2, 7/2).
Y el eje de simetría estará en la recta vertical que tiene como abscisa x = 1/2.
Vamos a ver su representación gráfica. En ese caso podremos ver que se trata de
una curva abierta por abajo, cuyo vértice está en el punto (1/2, 7/2).
Y la hemos obtenido como transformación, como desplazamiento, de la función g(x) =
-2x². El procedimiento general, por tanto,
puede hallarse como transformación de otras funciones.
En general, podemos hallar el vértice y eje de simetría de la función cuadrática
ƒ(x) = x² + bx + c por el mismo procedimmiento que hemos utilizado antes.
Partimos de la función g(x) = ax² y suponemos un desplazamiento de valor (h,
k). Nuestra función ƒ(x) la podemos calcular
como: a por (x - h) al cuadrado más k. Es decir ax² - 2ah por x + ah² + k.
Igualando con nuestra función original tendríamos .-2ah = b, de donde deducimos
que h = -b partido por 2a. De la misma manera podemos iguar ah² + k
= c. De aquí deducimos que k = c - a por h²;
es decir, igual a c menos a por (-b partido por 2a)², y resolviendo esta
expresión obtenemos: 4ac - b² igual a 4a. Por tanto, el vértice (V) de una función
ƒ(x) = ax² + bx + c sería (-bpartido por 2a, (4ac - b²) partido por 4a).
Y el eje de simetría estaría en la recta que pasa por los puntos de eje de
abscisas -b partido por 2a. Resumiendo: El vértice de la función
cuadrática está en el punto (-b partido por 2a, (4ac - b²) partido por 4a) Y el
eje de simetría está en la recta x = -b partido por (2a).
Igual que hemos hecho con las funciones lineales, podemos ver cómo se hallaría la
función inversa de una función cuadrática.
Para ello tomamos por ejemplo la función cuadrática ƒ(x) = x² + 1 que está
representada en este dibujo. Si procedemos como hemos hecho con las
funciones lineales deberíamos trazar la diagonal del primer y tercer cuadrantes,
y a continuación trazar la gráfica de la función como la simétrica respecto a esta
diagonal. Si trazamos la simétrica respecto a esta
diagonal, obtenemos el dibujo que aparece en verde en la gráfica.
Si nos fijamos, no obstante, para cada punto de su dominio existen dos valores
posibles para las imágenes. Esto significa que en realidad no se
trata de una función. Por tanto, las funciones cuadráticas
estrictamente no tienen función inversa. ¿Por qué pasa esto?
Pues sencillamente porque no se tratan de funciones biyectivas.
Si recordamos la semana anterior, podemos ver que las funciones cuadráticas no
superan el test de la línea horizontal que determina si una función es o no es
biyectiva. Finalmente, vamos a repasar las
propiedades más importantes de las funciones cuadráticas.
Primero de todo, el dominnio. you hemos visto que para todas las
funciones cudráticas, el dominio es todo el conjunto de los números reales.
Es decir, desde menos infinito, hasta más infinito, en el dibujo representado en
verde. Así mismo, hemos calculado el vértice que
se halla en el punto -b partido por 2a, y (4ac - b²) partido por 4a.
El eje de simetría estará, por tanto, en la recta vertical x = -b partido por 2a.
La imagen.- La imagen puede cambiar en función de si la curva se abre por
arriba, o se abre por abajo. Es decir, que dependiendo si a es mayor
que cero, o a es menor que cero. Si a es mayor que cero, la imagen será el
intervalo (4ac - b²) partido por 4a hasta infinito.
Si a es menor que cero, será el intervalo de menos infinito hasta (4ac - b²)
partido por 4a. Además podemos observar que cuando la a
es mayor que cero, la función es creciente en el intervalo [-b partido por
2a, ∞) y decreciente en el intervalo (- ∞, -b partido por 2a] En cambio, si la a
es menor que cero, entonces es creciente en el intervalo desde menos infinito
hasta -b partido por 2a, y decreciente desde el intervalo -b partido por 2a
hasta infinito. Digamos finalmente se trata también de
funciones continuas. Para terminar esta lección sobre
funciones cuadráticas, vamos a dar un pequeño resumen de las propiedadess más
importantes. Recordemos que una función cuadrática es
aquella función que tiene la forma ƒ(x) = ax² + bx + c.
donde a, b y c son números reales; y además, debe cumplirse que la a debe ser
distinta de cero. El vértice de la función cuadrática está
en el punto ( -b aprtido por 2a, (4ac - b²) partido por 4a ) Si a es mayor que
cero, en el vértice está el mínimo de la función cuadrática.
Es decir, es una función abierta; su gráfica es una función abierta por
arriba. En cambio, si a es menor que cero, en el
vértice está el máximo de la función cuadrática.
Es decir, su representación gráfica es una curva abierta por abajo.
El eje de simetría siempre está en la recta .x = -b partido por 2a.
Las funciones cuadráticas no son biyectivas.
Por tanto, estrictamente no existe la función inversa.
Y con esto hemos terminado este video referente a las funciones cuadráticas.
A partir del próximo video introducieremos las funciones
polinomiales en general.
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