Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Funciones exponenciales y logarítmicas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial, representación gráfica, las funciones logarítmicas, representación gráfica, ecuaciones exponenciales, conversión entre expresiones exponenciales y logarítmicas, cambio de base en expresiones logarítmicas, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
[MUSIC].
Esta semana nos vamos a concentrar en las funciones exponenciales, así como sus
inversas llamadas las funciones logarítmicas.
Para ello utilizaremos conceptos que hemos visto en semanas anteriores.
Recordar que en la semana uno hemos empezado a hablando de las funciones
reales de variables real. Hemos definido algunos conceptos
generales de las funciones como son el dominio y la imagen.
Hemos visto qué entendemos por función inversa, como realizar distintos tipos de
transformaciones y como analizar el comportamiento de una función.
En la semana dos nos hemos centrado en unos tipos concretos de funciones como
son las funciones lineales, cuadraticas o en general las funciones polinomiales.
Es decir aquellas que tienen términos de la forma equis elevada a una constante
te. En esta semana tres, nos centraremos en
otro tipo de funciones aquellas que son de la forma una constante be elevada a
equis, llamadas funciones exponenciales. Veremos que la inversa de estas funciones
exponenciales son las llamadas funciones logarítmicas.
Estas funciones se utilizan para modelar multitud de situaciones de la vida real,
como por ejemplo para modelar las ganancias económicas cuando se considera
un interés compuesto, o para representar el incremento de la población en función
del tiempo,o también para representar como se va desintegrando una sustancia
radioactiva, o como se enfría un objeto a lo largo del tiempo.
Vamos a analizar a continuación un primer ejemplo de función exponencial donde la
constante be es igual a dos, o sea la función efe de equis igual a dos elevado
a equis. Para ello empezaremos representándola
gráficamente. Calculemos la imagen para algunos valores
de equis. Para equis igual a menos tres, efe de
equis es igual a dos elevado a menos tres, o sea uno dividido por dos a la
tres, que es uno divido por ocho, por lo tanto la función pasa por el punto menos
tres uno dividido por ocho, que es este punto representado de color azul.
Para equis igual a menos dos efe de equis es dos elevado a menos dos, que es uno
dividido por dos a la dos, o sea uno dividido por cuatro.
Así tenemos que la función pasa por el punto menos dos un cuarto que tenemos
también dibujado en la gráfica de la derecha.
Cuando la equis es igual a menos uno, la imagen de la función es dos a la menos
uno, o sea uno dividido por dos, la gráfica de la función pasaría por el
punto menos uno medio. Cuando la equis es igual a cero, dos a la
cero es igual a uno y así tenemos que pasaría por el punto cero uno.
Cuando la equis es igual a uno dos a la uno es igual a dos, y tenemos que otro
punto de la fórmula sería uno dos. Para equis igual a dos, efe de equis es
dos a la dos o sea cuatro por lo tanto pasaría por el punto dos cuatro, y
finalmente para equis igual a tres, dos a la tres es igual a ocho, la gráfica de la
función pasaría por el punto tres ocho. O sea la gráfica de la función debe pasar
por estos puntos calculados, y si fuéramos calculando más puntos veríamos
que la representación gráfica de esta función sería la siguiente.
Veamos algunas propiedades de esta función exponencial que acabamos de
representar gráficamente. El dominio, o sea los valores de equis
para los cuáles existe una imagen es el conjunto formado por todos los números
reales que hemos marcado en la gráfica de la derecha con una línea de color rojo.
Los valores que aparecen como imagen para algún valor de equis o sea la imagen de
la función, es el conjunto de valores reales positivos.
Sin incluir al cero you que para ningún valor de equis dos elevado a equis puede
ser cero. Podemos observar además que es una
función biyectiva, you que cumple el test de la línea horizontal que hemos visto la
semana uno. O sea que si vamos trazando líneas
horizontales estas interceptan con la gráfica de la función en un solo punto,
por ejemplo, si vamos trazando algunas líneas horizontales vamos viendo que
interceptan con la gráfica de la función en un solo punto.
Como la función es biyectiva esta función también será invertible, se trata ademas
de una función continua you que vemos que no aparecen saltos ni agujeros en la
gráfica de la función. Claramente es una función creciente, o
sea a medida que el valor de la equis aumenta, la imagen también aumenta.
Mas concretamente observamos que cuando la equis tiende a menos infinito, el
valor de la imagen tiende a cero sin llegar nunca al valor cero, y cuando la
equis tiende a infinito, la imagen tiende al infinito.
Estas propiedades que acabamos de ver se cumplen para cualquier función
exponencial donde la base be es un valor mayor que uno.
Por ejemplo si modificamos el valor de be y en lugar de dos consideramos otros
valores mayores que uno, obtendremos por ejemplo las siguientes gráficas mostradas
con estas líneas discontinuas. Analicemos ahora un segundo ejemplo de
función exponencial donde la constante be es igual a un medio en lugar de dos.
De nuevo empezaremos representando gráficamente esta función.
Para ello calculamos la imagen para algunos valores de equis, para equis
igual a menos tres, efe de equis es igual a un medio elevado a menos tres, o sea
uno dividido dos elevado a menos tres, o sea dos elevado a tres que es ocho.
Por lo tanto la gráfica de esta función pasaría por el punto menos tres, ocho que
hemos representado aquí en un punto azul. Para equis igual a menos dos, efe de
equis es igual a un medio elevado a menos dos, o sea uno dividido, dos elevado a
menos dos, que es igual a cuatro. Así tenemos que la gráfica de esta
función pasaría también por el punto menos dos cuatro.
Cuando la equis es igual a menos uno efe de equis es igual a un medio elevado a
menos uno, por lo tanto uno dividido por dos, elevado a menos uno que es igual a
dos. Así la gráfica pasa por el punto menos
uno dos. Para equis igual a cero, un medio elevado
a cero es igual a uno y la gráfica pasaría también por el punto cero, uno.
Para equis igual a uno, un medio elevado a uno es igual a un medio y tenemos el
punto uno un medio. Cuando la equis es igual a dos, un medio
elevado a dos es igual a uno dividido por dos a la dos que es un cuarto y obtenemos
el punto dos, un cuarto, y finalmente para equis igual a tres, un medio elevado
a tres es igual a uno dividido por ocho, y la función realmente podemos también
decir que pasa por el punto tres uno dividido por ocho.
O sea la gráfica de la función debe pasar por estos puntos calculados y si fuéramos
calculando mas puntos al final veríamos que la gráfica tiene esta forma.
Veamos algunas propiedades de esta función exponencial medio elevado a
equis. El dominio es igual al dominio de la
función vista en anteriormente. Lo mismo pasa con la imagen, que también
es el conjunto de valores reales positivos sin incluir al cero.
Además vemos que es una función biyectiva, se puede comprobar fácilmente
de nuevo con el test de la línea horizontal.
Como es biyectiva también podemos decir que es una función invertible.
Además al igual que la función anterior es una función continua, por el contrario
podemos observar que esta función es decreciente a medida que el valor de
equis aumenta a lo largo del dominio, el valor de la imagen disminuye.
Concretamente cuando la equis tiende a menos infinito la imagen tiende a
infinito, y cuando la equis tiende a infinito, la imagen tiende a cero sin
llegar nunca al valor cero. Estas propiedades que acabamos de ver se
cumplen para cualquier función exponencial donde la base es un valor
positivo menor que uno. Por ejemplo si modificamos el valor de
be, y en lugar de un medio consideramos otros valores menores que uno positivos,
obtendríamos por ejemplo las siguientes gráficas mostradas con estas líneas
discontinuas. En general una función exponencial con
base be es una función de la forma be elevado a equis, donde be es un número
real positivo diferente de uno. Además si la base es diez se dice que
tiene base decimal, y si la base es el número e, donde e es aproximadamente dos
coma setecientos dieciocho y otras cifras decimales, se dice que tiene base
natural. A continuación veamos por qué como bases
solo vamos a considerar valores positivos diferentes de uno.
Si la base fuera un valor negativo podríamos tener por ejemplo una función
exponencial de la forma menos cuatro elevado a equis, pero en este caso por
ejemplo para equis igual a un medio no tiene sentido calcular menos cuatro
elevado a un medio you que esto sería la raíz cuadrada de menos cuatro que no
existe. No existe ningún valor tal que elevado al
cuadrado sea menos cuatro. Si la base fuera cero tendríamos la
función exponencial cero elevado a equis. En este caso si la equis es un valor
negativo, la función no tiene sentido you que no podemos calcular nunca cero
elevado a un valor negativo. Por ejemplo, cero elevado a menos uno
sería igual a uno dividido por cero, que tampoco existe.
Si la base fuera cero y el exponente un valor positivo, tendríamos la función
idénticamente cero, que no se considera una función exponencial por definición.
Observamos que de hecho no cumple todas las características que hemos mostrado
anteriormente para las funciones exponenciales.
Finalmente si la base fuera el valor uno tendríamos la función exponencial uno
elevado a equis, que es la función idénticamente uno.
Esta también es you una función conocida que tampoco cumple todas las propiedades
descritas antes para las funciones exponenciales.
Así vemos que como base únicamente consideraremos valores positivos
diferentes de uno. La función logarítmica con base be se
define como la inversa de la función exponencial be elevado a equis.
Por ello de nuevo la base be debe ser un valor real positivo y diferente de uno.
Además se escribe como logaritmo base be de equis, de esta forma un logaritmo en
base diez se llama logaritmo decimal y se escribe sin especificar la base, así
sabemos que si en un logaritmo no aparece ninguna base se entiende que será en base
diez. Si el logaritmo es en base el número e se
llama logaritmo natural. Y se escribe como ele ene sin especificar
tampoco ninguna base. Por ejemplo si tenemos la función
exponencial cinco elevado a equis la función inversa de esta función
exponencial será la función logaritmo en base cinco de equis.
Sabiendo que por definición el logaritmo es la inversa de la función exponencial,
podemos calcular el logaritmo en base be para diferentes valores y la función
queda totalmente definida. Mas concretamente si tenemos por ejemplo
cinco al cuadrado igual a veinticinco, podemos decir que el logaritmo en base
cinco de veinticinco es igual a dos. Fijaros que estos dos valores se han
intercambiado. La equis y la imagen de la función ahora
en el logaritmo pasa a ser, la imagen es la equis, y el resultado de la función es
la equis de la función exponencial. Mas formalmente en general tenemos que la
igualdad be elevado a equis es igual a i es equivalente a logaritmo en base be de
i es igual a equis. Fijaros que la equis y la i se
intercambian en la exponencial y en la función logarítmica.
Dicho en otra forma el logaritmo en base be de i es el exponente que hay que
elevar a la be. O sea es el exponente que hay que elevar
a la be para obtener la i, o sea esta ecuación de aquí.
Retomemos de nuevo el primer ejemplo de función exponencial que hemos visto en
detalle o sea la función dos elevado a equis.
La inversa sería logaritmo en base dos de equis.
Veamos el valor de este logaritmo en base dos para algunos valores de equis para
los cuales es fácil hacer el cálculo. Por ejemplo sabiendo que dos elevado a
cero es igual a uno, tenemos que logaritmo en base dos de uno es igual a
cero, you que cero es el exponente que hay que elevar en base dos para obtener
uno. Otro ejemplo sería como dos elevado a uno
es igual a dos podemos decir que el logaritmo en base dos de dos es igual a
uno you que uno es el exponente que hay que elevar a la base dos para obtener el
dos. Dos elevado a dos es cuatro por lo tanto
el logaritmo en base dos de cuatro sería dos.
Dos es el exponente que hay que elevar a la base dos para obtener cuatro.
Otro ejemplo como dos elevado a tres es igual a ocho, podemos decir que el
logaritmo en base dos de ocho es igual a tres.
Tres es el exponente que hay que elevar a la base dos para obtener ocho.
Finalmente sabiendo que dos a la cuatro es dieciséis, logaritmo en base dos de
dieciséis podemos decir que es cuatro you que cuatro es el exponente que hay que
elevar a la base dos para obtener dieciséis.
La representación gráfica de esta función logarítmica se puede dibujar a partir de
la función exponencial correspondiente. O sea dos elevado a equis, que hemos
obtenido antes. Es decir, si tenemos la representación
gráfica de dos elevado a equis la representación gráfica de la función
logaritmo en base dos sería su simétrica respecto al eje que pasa por la diagonal
del primer y tercer cuadrante, o sea la que hemos dibujado como una línea
discontinua de color rojo, o sea sería la función dibujada aquí de color azul.
Así vemos que la función exponencial pasaba por el punto cero uno, y ahora la
función logarítmica pasa por el punto uno cero.
Otro punto de la función exponencial era por ejemplo el uno dos que en la
logarítmica se ha transformado en el punto dos uno.
Un tercer ejemplo punto en la función exponencial era dos cuatro, y en la
función logaritmica ha pasado a ser el punto cuatro dos.
En general todas las funciones logarítmicas donde la base es un valor
mayor que uno cumple las siguientes propiedades.
El dominio son todos los valores reales positivos sin incluir al cero.
La imagen esta formada por el conjunto de todos los valores reales.
De nuevo la función como es invertible también podemos decir que es biyectiva o
viceversa, recordemos que la función logarítmica es la inversa de la función
exponencial. Es una función continua como vemos no
aparece ningún salto ni agujero puesto que la base es un valor mayor que uno
podemos decir que es una función creciente.
Mas concretamente si la equis tiende a cero la imagen tiende a menos infinito y
si la equis tiende a infinito. la imagen tiende a infinito.
Veamos un segundo ejemplo; en este caso en lugar de considerar la función
exponencial dos elevado a equis, consideraremos la función un medio
elevado a equis y su función inversa logaritmo en base un medio de equis.
Calculemos de nuevo el valor de este logaritmo par algunos valores de equis
para los cuales es fácil calcularlo. Por ejemplo si sabemos que un medio
elevado a cero es igual a uno podemos decir que el logaritmo en base un medio
de uno es cero, el exponente que hay que elevar a un medio para obtener uno, es
cero. Otro ejemplo vendría dado por la igualdad
un medio elevado a menos uno es igual a dos.
En este caso podemos decir que el logaritmo base un medio de dos es igual a
menos uno. El exponente que hay que elevar a la base
un medio para obtener dos es menos uno. Otra igualdad un medio elevado a menos
dos es igual a cuatro. Observamos que un medio elevado a menos
dos es igual a uno dividido por por un medio elevado al cuadrado, o sea esto
sería uno dividido por uno dividido por cuatro, eso nos da un valor cuatro.
Así a partir de esta igualdad tenemos que el logaritmo en base un medio de cuatro,
es igual a menos dos, you que el exponente que hay que elevar a la base un
medio para obtener cuatro, es menos dos. De nuevo tenemos otra igualdad, un medio
elevado a menos tres es igual a ocho. Por lo tanto el logaritmo en base un
medio de ocho, es menos tres. Menos tres sería el exponente que hay que
elevar a la base para obtener ocho; y un último ejemplo: como tenemos la igualdad
un medio elevado menos cuatro es igual a dieciséis, el logaritmo en base un medio
de dieciséis sería menos cuatro. De nuevo la representación gráfica de
esta función logarítmica, logaritmo en base un medio de equis se puede dibujar a
partir de la representación gráfica de la función exponencial correspondiente, o
sea un medio elevado a equis y que you habíamos dibujado antes.
Es decir, a partir de esta representación gráfica, la representación gráfica de la
función logaritmo en base un medio de equis, será la simétrica respecto a la
diagonal que pasa por el primer y tercer cuadrante.
Por lo tanto será la función que hemos dibujado en colo azul.
Veamos que de hecho los puntos se corresponden con los puntos de la gráfica
exponencial simplemente intercambiando las coordenadas.
Por ejemplo, en la exponencial teníamos que pasaba por el punto cero uno, por el
punto menos uno dos, y por el punto menos dos cuatro.
Estos puntos se han transformado en la función logarítmica como los puntos uno
cero, dos menos uno y cuatro menos dos, o sea con las coordenadas intercambiadas.
En general todas las funciones logarítmicas cuando la base es un valor
positivo menor que uno, cumplen las siguientes propiedades.
De nuevo el dominio son los valores reales positivos sin incluir al cero.
La imagen es el conjunto de todos los valores reales.
Es biyectiva por lo tanto invertible, también es continua.
En este caso como la base es un valor positivo menor que uno, será decreciente
en lugar de creciente, o sea cuando la equis tiende a cero, la imagen tiende a
infinito, y cuando la equis tiende a infinito, la imagen tiende a menos
infinito. Como resumen podemos decir que las
funciones exponenciales son las funciones de la forma be elevado a equis donde be
es un valor real positivo, diferente a uno.
Si la base es diez se dice que tiene base decimal y si la base es el número e se
dice que tiene base natural. Además hemos visto que las propiedades de
las funciones exponenciales dependen basicamente si la base es un valor mayor
que uno, o bien si la base es un valor positivo menor que uno.
La inversa de una función exponencial se llama función logarítmica y se escribe
como logaritmo en base be de equis. En general si tenemos una expresión de la
forma be elevado a equis es igual a i, esto es equivalente a decir que el
logaritmo en base be de i es igual a equis, o sea el logaritmo en base be de
i, es el exponente que hay que elevar la base be para obtener el valor i.
Y finalmente hemos visto que las propiedades de las funciones logarítmicas
también dependen básicamente de si la base be es un valor mayor que uno, o si
la base es un valor positivo menor que uno.
A continuación en los siguientes videos veremos cómo resolver ecuaciones
exponenciales. Cómo convertir una expresión exponencial
en logarítmica y viceversa. Cómo calcular algunas expresiones
logarítmicas de forma exacta. Cómo aplicar el cambio de base en
expresiones logarítmicas Cómo aplicar algunas propiedades de los logarítmicas.
Cómo aplicar algunas propiedades de los logaritmos para calcular ciertos tipos de
logaritmos. Cómo resolver ecuaciones logarítmicas.
Cómo representar gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, y
finalmente cómo aplicar funciones exponenciales y logarítmicas para modelar
ciertas situaciones reales. Muchas gracias y nos vemos en el
siguiente video. [BLANK AUDIO].8
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