Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Funciones polinomiales
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones lineales, cuadráticas y polinomiales
Rectas en el plano, pendiente de una recta, funciones constantes y funciones lineales, funciones cuadráticas, ceros de funciones, funciones polinomiales, ceros de funciones polinomiales, representación gráfica de funciones polinomiales.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
[MÚSICA] Con este vídeo,
empezamos el estudio de las funciones polinomiales en general.
Ya hemos estudiado las dos sub familias más sencillas, las funciones lineales,
y las funciones cuadráticas.
El objetivo final de este tema es aprender a conocer el
comportamiento de una función polinomial, a partir de su expresión funcional.
Algunas propiedades son comunes a otras familias de funciones.
Pero debe, deberemos posponer hasta la quinta semana
un estudio en profundidad de algunas de estas propiedades.
dada la complejidad del estudio general del comportamiento de una función
polinomial, hemos dividido la explicación en cinco videos, de tal manera que sea
más sencilla la comprensión de las propiedades de las funciones.
Empezaremos simplemente con una definición sobre lo que es una función polinomial.
Una función polinomial, es una función de la forma f de x igual a sub n,
por x a la n, más a sub n menos uno por x a la n menos uno,
puntos suspensivos, a sub dos x cuadrado, a sub uno x más a sub cero.
Donde los números a sub cero, a sub uno, puntos suspensivos, a sub n,
son números reales, y el número n es un número entero mayor o igual que cero.
Los números reales a sub cero, a sub uno, puntos suspensivos,
a sub n, se llaman los coeficientes de la función polinomial.
Y el número entero n se denomina el grado de la función polinomial.
Vamos a ver un sencillo ejemplo.
La función descrita es f de x igual a x a la quinta, menos dos x a la cuarta,
menos cuatro x al cubo, más cuatro x cuadrado, menos cinco x más seis.
Podemos observar que se trata de una función polinomial de grado n igual cinco.
Y los coeficientes de esta función serían, de menor a mayor grado,
seis menos cinco, más cuatro,
menos cuatro, menos dos, y uno.
Por lo tanto, en esta función polinomial de grado cinco, tiene seis coeficientes.
Empezaremos con un sencillo ejercicio para saber distinguir funciones polinomiales.
La primera función propuesta es f de x igual a x menos uno partido por x.
Si nos fijamos, no tiene la forma que hemos visto en la definición,
por tanto esta función no es polinomial.
La segunda función propuesta, es la función
f de x igual a x, más raíz de dos, menos x cuadrado.
Aunque los términos de esta función no están ordenados,
esta función sí se trata de una función polinomial.
Concretamente, se trata de una función polinomial de grado dos,
y coeficientes ordenados, raíz de dos, uno, y menos uno.
Sigamos con otro ejemplo.
En este caso se trata de la función f de x igual a raíz cúbica de x, menos dos.
De nuevo, aunque la escribamos en forma de potencia, podemos observar
que no corresponde a la definición que hemos dado de función polinomial.
Por tanto, tampoco es una función polinomial.
Veamos otro ejemplo.
Aunque aparentemente esta función no sea polinomial,
podemos desarrollarla y obtendríamos x cubo,
menos x, y por lo tanto sí se trata de una función polinomial.
En este caso se trata de una función polinomial de grado tres,
y coeficientes cero menos uno, cero, uno.
Observemos que los coeficientes
de aquellas potencias que no aparecen en la expresión, se escriben como cero.
Finalmente, observamos la función f de x igual a dos.
Ya sabemos que esto es una función constante,
pero también es una función polinomial, concretamente es una función polinomial de
grado igual a cero, y coeficiente solamente dos.
Igual que las funciones lineales y cuadráticas,
una función polinomial en general, también admite una representación gráfica.
Vamos a ver cuál es la representación gráfica de la función polinomial,
f de x igual a x cubo, menos dos x cuadrado, menos ocho x.
Deberíamos proceder igual que con las funciones lineales y cuadráticas,
pero en este caso necesitaríamos muchos más puntos del plano
para poder representar esta función.
Necesitaríamos crear una tabla suficientemente grande con valores de x,
y valores de f de x.
Por ejemplo, podríamos empezar por hallar la imagen de menos tres.
Con una calculadora obtendríamos el valor menos 21.
Que quiere decir que esta función pasa por el punto menos tres, menos 21.
A continuación, podemos tomar el punto menos dos, y calcularíamos
el valor de la función que es cero, a continuación menos uno,
que el valor de la función es cinco, y a continuación por ejemplo es cero,
que el valor de la función es cero.
Con cuatro puntos seguramente no es suficiente para representar esta función.
Necesitaríamos unos cuantos puntos más.
Por ejemplo, podríamos tomar los siguientes valores.
El punto uno, cuya imagen es menos nueve,
el punto dos, cuya imagen es menos 16, el punto tres,
cuya imagen es menos 15; y el punto cuatro, cuya imagen es cero.
Si representamos todos estos puntos sobre unos ejes de coordenadas,
obtendríamos el conjunto de puntos que podéis ver en el gráfico de la izquierda,
representados en color azul.
Finalmente, deberíamos unir todos estos puntos mediante una línea continua,
y obtendríamos la representación gráfica que podéis ver en el dibujo de color azul.
Fijaos que es distinta esta representación,
de la que podíamos obtener mediante una función lineal o una función cuadrática.
Más adelante aprenderemos a distinguir cuál es la forma de una función,
según cuál sea el grado y los coeficientes de la función polinomial.
Para terminar esta introducción, vamos a resolver un simple ejercicio,
que demuestra que las funciones polinomiales de grado mayor que dos
aparecen de forma natural en muchas situaciones.
El ejercicio es el siguiente.
Una empresa construye depósitos cilíndricos de sección cuadrada
para almacenar agua.
Calcular el volumen de agua que puede almacenar
el cilindro en función de su altura.
Si dibujamos un cilindro, según el enunciado,
tendrá la forma aproximada del dibujo.
Observemos que según el enunciado, la sección de ese cilindro es cuadrada,
es decir, la sección tendrá la forma de un cuadrado, y llamemos
x a su base, y por tanto, puesto que es un cuadrado, x también será la altura.
Además, la base de este cilindro, se trata de una circunferencia,
cuyo diámetro coincide con la sección del cuadrado,
es decir, el diámetro también tendrá un valor x.
Por tanto, el volumen que debemos calcular es igual al área de la base,
multiplicado por la altura.
En este caso concreto,
la altura del cilindro es exactamente igual a la variable.
Para calcular el área de la base, recordemos que simplemente se trata de un,
de una circunferencia, cuya área es igual a Pi por el radio al cuadrado.
En este caso, el radio es igual a la mitad de la sección,
por tanto tendremos Pi por x, partido por dos, al cuadrado.
Por tanto, el volumen que es igual al área de la base por la altura, sería igual
a Pi por x medios al cuadrado, multiplicado por x.
Es decir, igual a Pi cuartos de x al cubo.
De esta manera hemos obtenido una función polinomial de grado tres,
cuyos coeficientes en este caso son, cero,
cero, cero.
y Pi cuartos.
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