A continuación, vamos a estudiar el conjunto imagen de una función.
De la misma manera que una función puede no estar definida para todo número real,
sus imágenes tampoco tienen que coincidir con todo el conjunto de número reales.
Saber reconocer y calcular este conjunto de imágenes es el objetivo de esta
lección. El conjunto de imagen, junto con el
dominio, constituyen dos características básicas para definir correctamente una
función. Calcular el conjunto de imágenes de una
función es parecido al cálculo del dominio, pero es un poco más dificil.
Vamos a empezar con un ejemplo, el mismo que antes, f de x igual a raíz de x.
Si tomamos un número real b, la pregunta que debemos responder es: ¿existe un
número real a, tal que f de a es igual a b?
es decir ¿tal que raíz de a es igual a b? En este caso, recordemos que la raíz
cuadrada de a siempre es un valor mayor o igual que cero.
Por tanto, existirá este valor b, siempre que b sea mayor o igual que cero.
Además, si raíz de a es igual a b, entonces, el valor de a que le
corresponde será exactamente b al cuadrado.
Así pués, para cada b, el valor de a que debemos calcular su imagen es el valor
correspondiente a b cuadrado, siempre que b sea mayor o igual que cero.
Diremos que la imagen de la función f, en este caso es el conjunto [o, más
infinito). Si nos fijamos ahora en su representación
gráfica, podemos observar que el conjunto imágenes coincide con el conjunto de
puntos del eje de ordenadas para los cuales existe la función.
En este caso sólo existe par los valores mayores o iguales que cero.
Así pués, definiremos la imagen de f como el subconjunto de números reales para los
que existe un valor x de R tal que f de x sea igual a y.
En el caso concreto de nuestra función f de x igual a raíz de x, la imagen será el
intervalo desde cero hasta infinito. Veamos otro ejemplo de como calcular la
imagen de una función. Seguiremos el mismo procedimiento que
hemos utilizado en el ejemplo anterior. Es decir, dado b perteneciente a R,
debemos hallar x de R tal que f de x sea igual a b.
Utilizando la definición de la función, debemos hallar x, tal que x al cubo sea
igual a b. Con lo cual la x será la raíz cúbica de
b, que existe para cualquier b perteneciente a R.
Así pués, calcularemos que la imagen de f es en este caso todo el conjunto de los
números reales. Si realizamos la representación gráfica
de esta función, podemos observar, que, en este caso, todo el eje de ordenadas
corresponde con la imagen de la función f.
Por tanto, podemos concluir que la imagen de la función f representada con un trazo
rojo en el dibujo es el intervalo (menos infinito, infinito), o simplemente
pondremos todo el conjunto de los números reales.
Igual que hemos hecho anteriormente, también podemos calcular la imagen de una
función definida por un conjunto de puntos.
Para ellos, vamos a representarlos en una tabla, que corresponderan al conjunto
(-3, 2), (-2, 0), (0, 1), (1, 1) y (4, 2).
Tal como hemos visto anteriormente, esta definición se trata de una función, y el
conjunto imagen vendrá determinado por el conjunto de todas las imágenes de todos
los valores de la función. En este caso, si puede haber valores
repetidos, y por tanto la imagen de la función f estará formada por el conjunto
de valores (0, 1 y 2). Observemos que mientras que el dominio
estaba formado por todos los valores de x, y no podían estar repetidos, el
conjunto imagen esta formado en este caso solamente por tres valores y pueden estar
repetidos. Igual que antes, representamos esta
función con un conjunto de puntos, observamos en este caso que la imagen
estará formada solamente por tres puntos del eje de ordenadas.
¿Cómo hallaremos la imagen de una función cuando no conocemos su expresión
algebraica, y solamente tenemos su representación gráfica?
Pués de la misma manera que hemos hecho antes con el dominio de una función.
Recordemos que con el dominio, lo que hacíamos era poyectar la representación
gráfica de una función, sobre el eje de abcisas.
En este caso, lo que deberemos hacer es proyectar la representación gráfica de la
función sobre el eje de ordenadas. Si hacemos este procedimiento, observamos
que en este caso, la representación gráfica se proyecta del punto 4 positivo
hasta menos infinito. Por tanto, podemos concluir que la imagen
de esta función es el intervalo menos infinito hasta 4.
A continuación, vamos a calcular la imagen de la función f de x igual a x
partido por x menos 1. Como antes, debemos, para cada b
perteneciente a R, debemos hallar un x tal que x partido por x menos 1 sea igual
a b. Es decir, x igual a b multiplicado por x
menos 1. Resolviendo para x, obtenemos x igual a
bx menos b, o, de forma equivalente, bx menos x igual a b.
Es decir, x multiplicado por b menos 1 ihaul a b, o, x igual a b partido por b
menos 1. Por tanto, para cada b existirá un x
siempre que se cumpla esta igualdad. Observemos pero que esta igualdad no
puede calcularse para b igual a 1. Por tanto, el valor b igual a 1 no puede
formar parte de la imagen de la función. Así pués, la imagen de la función f
estará formada por todo el conjunto de los números reales menos el valor 1.
Si representamos graficamente esta función, podemos observar que, podemos
hallar la imagen de la función simplemente proyectando la gráfica de la
función sobre el eje de ordenadas. Si realizamos esta proyección, podemos
observar que la gráfica se proyecta en todos los puntos del eje de ordenadas
menos exactamente el valor de b, exactamente igual a 1.
Por tanto, la imagen de la función será el intervalo (menos infinito, 1) unión el
intervalo (1, infinito). Nos queda un último ejemplo.
Hallar la imagen de la función f de x igual raíz de x cuadrado menos 1.
Tomemos b perteneciente a R, y vamos a ver si existe un valor de x tal que x
cuadrado menos 1 sea igual a b. Naturalmente, igual que nos pasaba con el
dominio, b no puede ser cualquier valor sino que tiene que ser un valor mayor o
igual que cero. Por tanto tenemos una restricción sobre
b, puesto que b debe ser mayor o igual que cero.
Operando, obtenemos que x cuadrado menos 1 debe ser igual a b cuadrado, y por
tanto que x cuadrado debe ser igual a b cuadrado más uno.
Finalmente, x debe ser igual a la raíz cuadrada de b cuadrado más 1.
Observemos que b debe ser mayor o igual que cero, y, para cualquier valor mayor o
igual que cero, existe un x que tiene como imagen b.
Por tanto, podemos concluir que que la imagen de la función f es el conjunto
desde cero hasta infinito. Observemos por tanto que el valor x igual
a menos raíz cuadrada de b cuadrado más 1, también sería válido con valor de x
que nos permitirá obtener la imagen b. Si, para representarnos graficamente esta
función, observamos precisamente que la imagen de esta función coincide con la
proyección de ambas ramas de la función sobre el eje de ordenadas.
En este caso, es el conjunto que esta representado en color rojo y viene dado
por el intervalo desde cero hasta infinito.
Vamos a resumir lo más importante que hemos visto en esta lección.
Primero de todo, hemos definido el conjunto imagen.
El conjunto imagen es el subconjunto de números reales para los que existe un
otro número real que es la imagen por la función f.
Además, también hemos visto que la imagen coincide con la proyección de la gráfica
de la función sobre el eje de ordenadas. Y con esto terminamos la lección
correspondiente a dominio y imagen de una función.
