0:05
Finalmente con este tercer video completamos el estudio de los números
reales. En esta lección, recordaremos el concepto
de inecuación y cómo se resuelve. Más adelante se dan de utilidad en el
estudio de las funciones Terminaremos la exposición con un breve resumen de los
conceptos más importantes expuestos en este primer tema.
Utilizando las propiedades de los números reales y la definición de intervalo vamos
a resolver las siguientes inecuaciones. La primera de ellas es una inecuación
sencilla que se resuelve de forma parecida a una ecuación.
Dos equis menos uno menor que cuatro es equivalente a dos equis menor que cuatro
más uno, y por tanto dos equis es menor que cinco y además equis será menor que
cinco medios. Por tanto, la solución de esta inecuación
se da el intervalo formado por todos aquellos números reales que son menores
que cinco medios. Es decir el intervalo: menos infinito,
cinco medios. Veamos otro ejemplo.
Procedemos de la misma manera. Cinco menos tres equis mayor que cuatro
es equivalente a menos tres equis mayor que cuatro menos cinco es decir menos
tres equis mayor que menos uno. A continuación, para poder aislar la
equis, debemos cambiar de signo ambos miembros de la inecuación.
Para ello multiplicamos por menos uno y utilizamos las propiedades de ordenación
de la multiplicación. Es decir, menos uno multiplicado por
menos tres equis menor que menos uno multiplicado por menos uno.
Observar que hemos cambiado el orden de la inecuación.
Así pues tendremos tres equis menor que uno y finalmente equis menor que un
tercio. Esto da como solución el intervalo: menos
infinito, un tercio. A continuación vamos a resolver la
inecuación equis quadrado menor que cero. Para resolver esta inecuación, observemos
lo siguiente: si tomamos un número real cualquiera y lo multiplicamos por sí
mismo, su valor siempre va a ser un valor mayor o igual que cero.
Esto significa que no hay ningún número real tal que equis al cuadrado sea menor
que cero. Por tanto la solución de esta inecuación
necesariamente debe ser el conjunto vacío.
Es decir el conjunto vacío. Esta inecuación también es una ecuación
de segundo grado. Vamos a ver cómo se procede en este caso.
Equis quadrado menos uno mayor que cero es equivalente a equis quadrado mayor que
uno. Veamos cómo se interpreta este resultado.
Deben ser la solución números reales tales que elevados al quadrado sean mayor
que uno. Existen dos posibilidades.
Primero: si equis es mayor que uno entonces equis quadrado también es mayor
que uno. Segunda posibilidad: si equis es menor
que menos uno entonces equis quadrado también es mayor que uno.
Por tanto la solución en este caso es doble.
Por un lado el intervalo desde uno hasta infinito, por otro lado el intervalo
desde menos infinito hasta menos uno. Así pues la solución de esta inecuación
sería el intervalo menos infinto, menos uno abierto, unión con el intervalo uno
más infinito. Finalmente vamos a resolver la
inecuación: uno partido por equis mayor que uno.
En primer lugar observamos lo siguiente: si equis es igual a cero, no podremos
calcular la expresión uno partido por equis.
Por tanto suponemos que equis es distinto de cero.
En este caso podemos multiplicar ambos miebros de la inecuación por equis y
obtenemos la inecuación uno mayor que equis que tiene como solución el
intervalo menos infinito, uno. Pero observemos que este intervalo
incluye el valor cero que no puede formar parte de la solución.
Por tanto nuestra solución se puede interpretar de la forma siguiente: el
intervalo menos infinito, cero unión con el intervalo cero, uno.
Finalmente para terminar el tema de los números reales vamos a hacer un breve
resumen de lo más destacado de este tema. En primer lugar hemos definido el
conjunto de los números reales que incluye el conjunto de los números
naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números
racionales, y el conjunto de los números irracionales.
A continuación hemos recordado que en el conjunto de los números reales tenemos
definidas dos operaciones: la suma y la multiplicación.
Las propiedades de estas dos operaciones son las que nos permite a hacer el
cálculo de expresiones con números reales.
Hemos visto también que los números reales están ordenados.
Además hemos definido los intervalos que son subconjuntos de números reales.
Por ejemplo el intervalo cerrado de extremos a y b, el intervalo abierto de
extremos a y b, el intervalo cerrado por la izquierda abierto por la derecha de
extremos a y b, y finalmente el intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la
derecha de extremos a y b. Finalmente también hemos visto dos
operaciones que podemos realizar con intervalos.
La unión de dos intervalos y la intersección de dos intervalos.
Con esto hemos terminado nuestra introducción a los números reales.
Jaume PujolProfesor titular
Mercè VillanuevaProfesora Titular
