En este cuarto vídeo, vamos a estudiar otro método de integración para funciones complejas. Se denomina método de integración por partes. De la misma forma que el método de sustitución es consecuencia de la regla de la cadena, la integración por partes es consecuencia de la regla de derivación del producto de dos funciones. Así pues, esta regla se aplica normalmente cuando hay que calcular la integral indefinida del producto de dos funciones. Este método es especialmente indicado cuando una de las dos funciones es fácil de integrar y la otra es fácil de derivar. Los ejemplos nos permitirán reconocer cuando debe aplicarse este método. Vamos en primera a recordar la regla de la derivada del producto de dos funciones. Recordemos que la derivada del producto era, la derivada del primer factor por el segundo sin derivar, más el primer factor por la derivada del segundo. Vamos a ver como podemos utilizar esta igualdad en el cálculo de integrales indefinidas. Si aplicamos aquí la noción de integral indefinida, obtendremos la integral indefinida de f de x por g de x prima diferencial de x, es igual a la integral de f prima de x por g de x diferencial de x más la integral de f de x por g prima de x diferencial de x. Si observamos esta igualdad, nos está diciendo que la integral del producto de dos función, de la derivada del producto de dos funciones se puede calcular como la suma de dos integrales. Pero, ¿quién es una primitiva de la derivada del producto de dos funciones? Pues es el propio producto de las dos funciones, y por tanto obtendremos la siguiente igualdad. El producto de las dos funciones es igual a la integral de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la integral de la primera función por la segunda sin derivar. Vamos a ver cómo podemos utilizar esta igualdad en el cálculo de integrales. Para ello, vamos a intentar utilizar esta propiedad para hallar la primitiva de la función h de x es igual a x por e elevado a x. Vamos a tomar como f de x la función x y como g prima de x la derivada de g, la función e elevado a x. A continuación vamos a calcular la derivada de f, que es simplemente uno. Y vamos a calcular una primitiva de la función e elevado a x, que será la g, que es precisamente la misma función e elevado a x. Aplicando pues la igualdad que hemos visto anteriormente, tendremos lo siguiente: x por e elevado a x, es decir el producto de las dos funciones f y g, será igual a la integral de uno por e elevado a x, es decir, la derivada de f por g, diferencial de x, más la integral de f de x por g prima de x, es decir, x por e elevado a x, diferencial de x. Si seguimos con este cálculo, podemos calcular fácilmente la primera integral puesto que se trata simplemente de la integral indefinida de e elevado a x que you sabemos que es e elevado a x. Y la segunda integral precisamente es la que queremos obtener. Por tanto, la primitiva de la función x por e elevado a x diferencial de x será sencillamente x por e elevado a x menos e elevado a x más c, si queremos el conjunto de primitivas que también se puede escribir como e elevado a x multiplicado por x menos uno. Para calcular esta integral hemos utilizado la fórmula f de x por g de x es igual a la integral indefinida de f prima de x por g de x más la integral indefinida de f de x por g prima de x. Las fórmulas anterior descrita de la siguiente manera, es decir, la integral indefinida de f de x por g prima de x igual a f por g de x menos la integral indefinida de f prima de x por g de x se llama regla de la integración por partes. Vamos a ver como se aplica en un sencillo ejemplo. Queremos calcular la integral indefinida siguiente, la integral de x por el seno de x diferencial de x. Para ello vamos a tener que elegir quien es la función f de x, y quien es la derivada de la función g de x. La regla general es escoger como función f de x, la función que sea más fácil de derivar y como función derivada de g, la que sea más fácil de integrar. En este caso parece obvio que debemos escoger f de x igual a x. Y g prima de x igual a seno de x. Con estas dos definiciones, primero calculamos la derivada de f que es uno, y calculamos una primitiva de g que es, de g prima, que es simplemente menos coseno de x. Con estos datos podemos aplicar la fórmula y la integral de x seno de x diferencial de x, donde f de x es x, y g prima de x es seno de x será f por g, es decir, x por menos coseno de x, menos la integral de la derivada de f que es uno, por g de x que es menos coseno de x. Siguiendo los cálculos, obtenemos menos x coseno de x más la integral de coseno de x diferencial de x. Observamos que esta última you es una integral inmediata, y por tanto el resultado será menos x por coseno de x más seno de x más c. Veamos un ejemplo un poco más complicado de como aplicar la regla de la integración por partes. En este caso se trata de hallar la integral indefinida de la función x cuadrado por e elevado a x. Parece obvio también en este caso que, la función f de x a escoger será la función x cuadrado puesto que es fácil de derivar y podemos hallar, coger como función g prima de x la función e elevado a x, que esta es igual de fácil de derivar que de integrar. Calculamos f prima de x que será dos x, y calculamos también g de x, es decir, una primitiva que será e elevado a x. A continuación vamos a calcular la integral, la integral de x cuadrado por e elevado a x diferencial de x, aplicando la regla de la integración por partes será f por g, es decir x cuadrado por e elevado a x menos la integral de f prima por g de x, es decir la integral de dos x por e elevado a x diferencial de x. Simplificando un poco la expresión, obtendríamos x cuadrado por e elevado a x menos dos por la integral de x e elevado a x diferencial de x. Observemos que esta integral vuelve a ser del mismo tipo, es decir, se puede integrar por partes, pero observemos también que es exactamente la integral que hemos resuelto en el ejercicio número uno, y por tanto you sabemos esta integral, que una primitiva de esta integral es e elevado a x por x menos uno. Por tanto, sustituyendo obtendríamos x cuadrado por e elevado a x menos dos veces e elevado a x por x menos uno, más c. Si además simplificamos la expresión y sacamos factor común e elevado a x, obtendremos e elevado a x multiplicado por x cuadrado menos dos x más dos, más c. Para terminar, vamos a calcular una integral trigonométrica en la que aparentemente no es posible aplicar el método de integración por partes. Si nos fijamos en esta integral, es decir, la integral de coseno cuadrado de x, en principio no parece el producto de dos funciones. No obstante, si la escribimos de la siguiente forma, la integral de coseno de x por coseno de x diferencial de x, entonces esta integral si aparece como el producto de dos funciones. Para resolverla vamos a elegir como la función f coseno de x y como la función g prima también coseno de x, es decir, f de x será coseno de x, y la función g prima también será coseno de x. Calculamos la derivada de f que es menos seno de x, y calculamos también una primitiva de g prima de x que será simplemente seno de x. Con este resultado podemos aplicar la regla de la integración por partes, y la integral será la siguiente. Será f por g, es decir, seno de x por coseno de x, menos la integral de f prima de x que es menos seno de x, por seno de x, diferencial de x. Simplificando obtenemos seno de x, por coseno de x, más la integral de seno cuadrado de x diferencial de x. Aparentemente nos encontramos en la misma situación del principio, es decir, al principio teníamos la integral del coseno cuadrado, ahora tenemos la integral del seno al cuadrado. Parece pues que no hemos avanzado nada. No obstante podemos aplicar las fórmulas de la trigonometría que habíamos aprendido en la semana cuatro y por tanto esto lo podemos escribir como seno de x por coseno de x, más la integral de uno menos coseno cuadrado de x diferencial de x. Y podemos tratar de hallar esta integral, que será igual a digamos igual a seno de x por coseno de x más la integral de uno, que you sabemos que es x menos la integral de coseno cuadrado de x diferencial de x. De nuevo parece que estamos exactamente igual que al principio, pero si nos fijamos, aquí podemos sacar una igualdad. Llamamos por ejemplo la integral de coseno cuadrado de x un valor A, que es el mismo valor que teníamos al principio, es decir, tendremos la igualdad A igual a seno de x por coseno de x más x menos A. Resolviendo esta ecuación obtenemos dos A igual a seno de x por coseno de x más x, o A igual a seno de x por coseno de x más x partido por dos. Puesto que A es el valor de nuestra integral, obtendremos finalmente que la integral coseno cuadrado de x diferencial de x es igual a seno de x por coseno de x más x partido por dos más c. Resumiendo, en este vídeo hemos aprendido a utilizar la regla de la integración por partes, que es muy necesaria cuando se trata de hallar la integral del producto de dos funciones. Para ello debemos hallar, buscar una función que sea fácil de derivar, nuestra f, y una función que sea fácil de integrar, que será nuestra g prima. Hemos visto también que hay muchas situaciones, sobre todo en funciones trigonométricas que pueden resolverse utilizando la integración por parte. En los vídeos siguientes aprenderemos más sobre este sistema.
