Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Integración por partes
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
348 calificaciones
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De la lección
Integración
La función primitiva o antiderivada. Cálculo de primitivas. Técnicas de integración. El área limitada por una función, la integral definida, Teorema fundamental del cálculo y aplicaciones al cálculo de áreas.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este cuarto vídeo, vamos a estudiar
otro método de integración para funciones complejas.
Se denomina método de integración por partes.
De la misma forma que el método de
sustitución es consecuencia de la regla de la
cadena, la integración por partes es consecuencia de
la regla de derivación del producto de dos funciones.
Así pues, esta regla se aplica normalmente cuando hay
que calcular la integral indefinida del producto de dos funciones.
Este método es especialmente indicado cuando una de
las dos funciones es fácil de integrar y la otra es fácil de derivar.
Los ejemplos nos permitirán reconocer cuando debe aplicarse este método.
Vamos en primera
a recordar la regla de la derivada del producto de dos funciones.
Recordemos que la derivada del producto era, la derivada del primer factor por
el segundo sin derivar, más el primer factor por la derivada del segundo.
Vamos a ver como podemos utilizar esta
igualdad en el cálculo de integrales indefinidas.
Si aplicamos aquí la noción de integral indefinida, obtendremos la integral
indefinida de f de x por g de x prima diferencial de
x, es igual a la integral de f prima de x
por g de x diferencial de x más la integral de f de x
por g prima de x diferencial de x. Si
observamos esta igualdad, nos está diciendo que la integral
del producto de dos función, de la derivada del producto de
dos funciones se puede calcular como la suma de dos integrales.
Pero, ¿quién es una primitiva de la derivada del producto de dos funciones?
Pues es el propio producto de las dos
funciones, y por tanto obtendremos la siguiente igualdad.
El producto de las dos funciones es igual a la integral
de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar
más la integral de la primera función por la segunda sin derivar.
Vamos a ver cómo podemos utilizar esta igualdad en el cálculo de integrales.
Para ello, vamos a intentar utilizar esta propiedad para hallar la primitiva de
la función h de x es igual a x por e elevado a x.
Vamos a tomar como f
de x la función x y como g prima de x la derivada de g, la función e elevado a x.
A continuación vamos a calcular la derivada de f, que es simplemente uno.
Y vamos a calcular una primitiva de la función e elevado a x,
que será la g, que es precisamente la misma función e elevado a x.
Aplicando pues la igualdad que hemos
visto anteriormente, tendremos lo siguiente: x por e
elevado a x, es decir el producto de las dos funciones f y g, será
igual a la integral de uno por e elevado
a x, es decir, la derivada de f por g,
diferencial de x, más la integral de f de x por g prima de x, es decir,
x por e elevado a x, diferencial de x.
Si seguimos con este cálculo, podemos calcular fácilmente
la primera integral puesto que se trata simplemente de
la integral indefinida de e elevado a x que you sabemos que es e elevado a x.
Y la segunda integral precisamente es la que queremos obtener.
Por tanto, la primitiva de la función x por e elevado a x diferencial de x será
sencillamente x por e elevado a x menos e elevado
a x más c, si queremos el conjunto de primitivas que también se puede escribir
como e elevado a x multiplicado por x menos uno.
Para calcular esta integral hemos utilizado la
fórmula f de x por g de x es igual a la integral indefinida
de f prima de x por g de x más la integral indefinida de f de x por g prima de x.
Las fórmulas anterior descrita de la siguiente manera, es
decir, la integral indefinida de f de x por g prima de x igual a f
por g de x menos la integral indefinida de f prima de
x por g de x se llama regla de la integración por partes.
Vamos a
ver como se aplica en un sencillo ejemplo. Queremos calcular la integral
indefinida siguiente, la integral de x por el seno de x diferencial de x.
Para ello vamos a tener que elegir quien es la función f
de x, y quien es la derivada de la función g de x.
La regla general es escoger como función f de x, la función que sea más fácil
de derivar y como función derivada de g, la que sea más fácil de integrar.
En este caso parece obvio que debemos escoger f de x igual a x.
Y g prima de x igual a seno de x. Con estas dos definiciones, primero
calculamos la derivada de f que es uno, y calculamos una primitiva
de g que es, de g prima, que es simplemente menos
coseno de x. Con estos datos podemos aplicar la fórmula
y la integral de x seno de x diferencial de x, donde
f de x es x, y g prima de x es seno de x será f por g,
es decir, x por menos coseno de x, menos la integral
de la derivada de f que es uno, por g de x que
es menos coseno de x. Siguiendo
los cálculos, obtenemos menos x coseno de x más
la integral de coseno de x diferencial de x.
Observamos que esta última you es una
integral inmediata, y por tanto el resultado
será menos x por coseno de x más seno de x más c.
Veamos un ejemplo un poco más complicado de
como aplicar la regla de la integración por partes.
En este caso se trata de hallar la integral indefinida
de la función x cuadrado por e elevado a x.
Parece obvio también en este caso que, la función
f de x a escoger será la función x cuadrado puesto que es fácil de
derivar y podemos hallar, coger como función g prima de x la función e elevado
a x, que esta es igual de fácil de derivar que de integrar.
Calculamos f prima de x que será dos x, y calculamos también
g de x, es decir, una primitiva que será e elevado a x.
A continuación
vamos a calcular la integral, la integral de x cuadrado por e elevado
a x diferencial de x, aplicando la regla de la integración por
partes será f por g, es decir x cuadrado por e elevado a x menos
la integral de f prima por g de x, es decir la integral
de dos x por e elevado a x diferencial
de x.
Simplificando un poco la expresión, obtendríamos x cuadrado por e elevado a x
menos dos por la integral de x e elevado a x diferencial de x.
Observemos que esta integral vuelve a ser del mismo tipo,
es decir, se puede integrar por partes, pero observemos también
que es exactamente la integral que hemos resuelto en el
ejercicio número uno, y por tanto you sabemos esta integral,
que una primitiva de esta integral es e elevado a x por x menos uno.
Por tanto, sustituyendo obtendríamos x cuadrado por e elevado
a x menos dos veces e elevado a x por x menos uno, más c.
Si además simplificamos la expresión y sacamos factor común e elevado a x,
obtendremos e elevado a x multiplicado por x cuadrado menos dos x más dos, más c.
Para terminar, vamos a calcular una integral trigonométrica en la que
aparentemente no es posible aplicar el método de integración por partes.
Si nos fijamos en esta integral, es decir, la integral de coseno
cuadrado de x, en principio no parece el producto de dos funciones.
No obstante, si la escribimos de la siguiente forma, la integral
de coseno de x por coseno de x diferencial
de x, entonces esta integral si aparece como el producto de dos funciones.
Para resolverla vamos a elegir como la función f coseno de x y como
la función g prima también coseno de x, es decir, f de x será coseno de x,
y la función g prima también será coseno de x.
Calculamos la derivada de f que es menos seno de x, y calculamos
también una primitiva de g prima de x que será simplemente seno de x.
Con este resultado podemos aplicar la regla de la integración por
partes, y la integral será la siguiente.
Será f por g, es decir, seno de x por coseno de x,
menos la integral de f prima de x que
es menos seno de x, por seno de x, diferencial de x.
Simplificando obtenemos seno de x, por coseno
de x, más la integral de seno cuadrado
de x diferencial de x.
Aparentemente nos encontramos en la misma
situación del principio, es decir, al principio
teníamos la integral del coseno cuadrado, ahora
tenemos la integral del seno al cuadrado.
Parece pues que no hemos avanzado nada.
No obstante podemos aplicar las fórmulas de la trigonometría que habíamos aprendido
en la semana cuatro y por tanto esto lo podemos escribir como seno de x
por coseno de x, más la integral de
uno menos coseno cuadrado de x diferencial de x.
Y podemos tratar de hallar esta integral, que será igual
a digamos igual a seno de x por coseno de x más la integral de uno, que you sabemos
que es x menos la integral de coseno cuadrado de x diferencial de x.
De nuevo parece que
estamos exactamente igual que al principio, pero
si nos fijamos, aquí podemos sacar una igualdad.
Llamamos por ejemplo la integral de coseno cuadrado de x un valor A, que es el mismo
valor que teníamos al principio, es decir, tendremos la igualdad A
igual a seno de x por coseno de x más x menos A.
Resolviendo esta ecuación obtenemos dos A igual a seno de x
por coseno de x más x, o A igual a seno
de x por coseno de x más x partido por dos.
Puesto que A es el valor de nuestra integral, obtendremos
finalmente que la integral coseno cuadrado de x diferencial de x es igual
a seno de x por coseno de x más x partido por dos más c.
Resumiendo, en este vídeo hemos aprendido a
utilizar la regla de la integración por partes,
que es muy necesaria cuando se trata de
hallar la integral del producto de dos funciones.
Para ello debemos hallar, buscar una función que
sea fácil de derivar, nuestra f, y una función
que sea fácil de integrar, que será nuestra g prima.
Hemos visto también que hay muchas situaciones, sobre todo en
funciones trigonométricas que pueden resolverse
utilizando la integración por parte.
En los vídeos siguientes aprenderemos más sobre este sistema.
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