Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Máximos y mínimos de una función
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
348 calificaciones
De la lección
Derivación
La tasa de variación de una función, derivada de una función en un punto, interpretación geométrica, función derivada, cálculo de derivadas, máximos y mínimos de una función, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En la segunda semana, hemos introducido el
concepto de máximo y mínimo de una función.
you hemos visto su importancia para estudiar el comportamiento de la función.
En ese momento no disponíamos de
las herramientas necesarias para determinar estos puntos.
En este video, repasaremos el concepto de máximo y mínimo
local de una función y su relación con la derivada.
Introduciremos el concepto de punto crítico
de una función y describiremos un sencillo
procedimiento para la determinación de los máximos y mínimos locales de una función.
Vamos a empezar por recordar el concepto de máximo
y mínimo de una función a partir de un ejemplo.
En este dibujo esta la representación gráfica de la
función f de x igual a x más 1 por
x al cubo por x menos 1.
A partir del dibujo podemos observar que hay dos puntos, el punto
a1 f de a sub 1 y a2 f de a sub 2 que son dos puntos especiales.
Concretamente el primero de ellos se trata de un máximo local.
y el segundo de ellos se trata de un mínimo local.
Máximos y mínimos locales son dos
puntos importantes para determinar el comportamiento
de una función. Recordemos de la segunda semana cuál eran
las definiciones de mínimo local y máximo local.
Recordemos que, dada una función f que pasa por el punto
a f de a decimos que f tiene un mínimo local en ese punto sí, y solo
sí existe un intervalo abierto i que contiene a, tal que el valor
de la función en a es menor o igual
que cualquier otro valor de la función en el intervalo.
Y decimos que una función f tiene un máximo local en el punto a
f de a sí, solo sí existe un intervalo abierto i que
contiene a tal que el valor de la función en a es mayor
o igual que cualquier otro valor de la función en el intervalo i.
A continuación vamos a ver la relación que hay entre
los máximos y mínimos de una función y su derivada.
En este dibujo podemos ver la representación gráfica de tres funciones.
En la función de la izquierda podemos observar que
en el punto (1, -2), esta función tiene un mínimo.
En la función del centro también podemos observar que
en el punto (1, 2) la función tiene un máximo.
Y finalmente en la función de la derecha podemos observar que
en el punto (0, 0) la función también tiene un mínimo.
Vamos a ver qué relación guardan estos puntos con las derivadas
de las funciones correspondientes En el primer caso, la función de
la izquierda, podemos trazar la recta tangente en este punto y
veremos que el valor de la derivada es 0 puesto que
la pendiente de esta recta es 0.
De la misma manera, en la función del centro la recta tangente también es
horizontal, su pendiente es 0 y por tanto la derivada en el punto 1 también es 0.
¿En cambio qué ocurre con la función de la derecha?
you sabemos que tiene un mínimo.
Pero también hemos visto en videos anteriores que esta
función no tiene derivada en el punto (0, 0).
Recordemos que la raíz de tangente
podían ser 2 y por tanto la función derivada no existe.
Por tanto aún teniendo un mínimo en
este punto no podemos relacionarlo con la derivada.
Así pues tenemos el siguiente resultado.
Si f es una función que tiene derivada en el punto x igual a a.
Entonces, o bien, si tiene un mínimo local o un
máximo local en el punto a f de a entonces,
o bien la derivada es 0, o bien, la derivada no existe.
Así pues el concepto de derivada por si solo no
es suficiente para determinar los máximos y mínimos de una función.
Necesitamos introducir un nuevo concepto que se llama punto crítico.
Observemos las dos representaciones gráficas que hay en esta transparencia.
En la función de la izquierda tenemos un punto
en el cuál si trazamos la recta tangente
en este punto podemos observar que también es una
recta horizontal y por lo tanto su pendiente
sea 0 y por tanto su derivada es 0.
Observemos que en este punto no, la función
no tiene ni un máximo ni un mínimo.
En la función de la derecha, de nuevo
podemos trazar la recta tangente en el punto (0,
0), y podemos observar que se trata de una recta vertical cuya pendiente
es infinito y por tanto podamos concluir que la derivada tampoco no existe.
Por tanto en estos puntos no puede haber ni máximo ni mínimo.
Los puntos para los cuales no existe la derivada o se anula la derivada
pero no sabemos si es un máximo o un mínimo se llaman puntos críticos
de la función.
Concretamente si tomamos cualquier valor del dominio de f.
Se dice que a es un valor crítico de f, o
bien, la derivada se anula o bien, la derivada no existe.
El correspondiente punto del plano, es decir, el punto de coordenadas a,f de a se
denomina un punto crítico de la función. A raíz de todos estos resultados podemos
establecer un procedimiento sencillo para determinar
los máximos y mínimos de una función.
El procedimiento es el siguiente.
Supongamos que f es una función definida en un intervalo i.
En primer lugar determinaremos los puntos críticos de f en ese intervalo.
Es decir, los valores para los cuales o bien, la derivada sea nula
o bien la derivada no existe.
A continuación estudiaremos el signo de la función derivada.
De tal manera que si la función cambia de positivo
a negativo antes y después del valor x igual a a.
Entonces podemos concluir que f tiene un máximo local en a.
Si por el contrario la función derivada cambia de negativo a positivo
antes y después del valor x igual a a.
Entonces podemos concluir que f tiene un mínimo local en a.
Vamos a utilizar este procedimiento que acabamos de describir para determinar los
máximos y mínimos locales de la función f de x igual a x cuatra menos cuatro x cubo.
Si representamos esta función podemos observar
que hay unos puntos de manera que, o bien,
son mínimos o bien no son máximos y mínimos.
Vamos a ver como aplicando este procedimiento podremos hallar
cuáles son los máximos y mínimos de esta función.
Para ello y aplicando el procedimiento primero
debemos hallar los puntos críticos de esta función.
Es decir, tenemos que hallar la derivada e igualarla
a 0.
La derivada es muy sencilla puesto que se trata de una función polinómica cuya
derivada es 4 x cubo menos 12 x cuadrado.
Si sacamos factor común x cuadrado obtendremos x cuadrado factor común de 4
x menos 12. Igualando a cero esta función, es decir
x cuadrado por 4 x menos 12 igual a 0, obtenemos dos posibles soluciones.
La solución x igual a 0 que corresponde a 1 de los dos puntos en azul del dibujo
y el valor x igual a 3 que corresponde a otro de los puntos en azul del dibujo.
Por tanto estos dos valores que son los valores
críticos de la función son los posibles máximos y mínimos.
Para saber en cada uno de ellos si se trata de un máximo o un mínimo debemos
estudiar el signo de la derivada alrededor de cada uno de estos dos valores.
Para empezar, tomemos x igual a 0 y un valor cercano pero más pequeño que 0.
Por ejemplo, tomamos el valor de la derivada en menos 1.
Si tomamos el valor de la derivada
en menos 1 podemos comprobar que da menos 8 que es un valor menor que cero.
Eso quiere decir que la pendiente a la recta tangente en
todos los puntos anteriores de x igual a 0 es negativa.
Si tomamos un valor mayor que x igual a 0 por ejemplo el
valor 1, observaremos que nos da menos 8 que también es un valor negativo.
De acuerdo con el procedimiento anterior en
este punto no hay ni un máximo ni un mínimo, por tanto en x igual
a 0 no es ni máximo, ni mínimo.
Si repetimos el mismo procedimiento en el valor x igual a 3 y por ejemplo
tomamos un valor anterior, como por ejemplo el valor 2, su derivada
a la 4 por menos 4 que es un valor menor que 0 y si tomamos
por ejemplo el valor 4, la derivada vale 16 por
4 que es un mayor igual que 0 Siguiendo con el procedimiento anterior
podemos concluir que en este caso sí que la derivada cambia de signo.
Pasa de negativo a positivo y por tanto podemos concluir
que en x igual a 3 hay un mínimo local de esta función.
Resumiendo.
Una función f tiene un mínimo local en un punto
a, f de a sí, solo sí existe un intervalo abierto i que contiene
a y tal que el valor de la función en este punto es menor o igual que el
valor de la función para cualquier otro valor del intervalo.
De la misma manera, recordemos que una función tiene un máximo
local en el punto a, f de a sí solo sí existe un intervalo abierto i que
contiene a y tal que el valor de la función en a es mayor
o igual que el valor de la función en cualquier otro valor del intervalo.
Además hemos visto que
si f tiene un mínimo local o un máximo local en un punto a,
f de a entonces, o bien la derivada vale 0 o bien la derivada no existe.
Además hemos definido el concepto de valor crítico de una función.
Era aquí el valor para el cuál o bien
la derivada vale 0 o bien la derivada no existe.
you finalmente hemos visto que
si a es un valor crítico de la función y la derivada cambia de positivo a negativo
antes y después de a entonces podemos afirmar que f tiene un máximo local en a.
Y también que si a es un valor crítico de la función y la derivada
cambia de negativo a positivo antes y después de a, entonces podemos afirmar
que f tiene un máximo local en x igual
a a.
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