En la segunda semana, hemos introducido el concepto de máximo y mínimo de una función. you hemos visto su importancia para estudiar el comportamiento de la función. En ese momento no disponíamos de las herramientas necesarias para determinar estos puntos. En este video, repasaremos el concepto de máximo y mínimo local de una función y su relación con la derivada. Introduciremos el concepto de punto crítico de una función y describiremos un sencillo procedimiento para la determinación de los máximos y mínimos locales de una función. Vamos a empezar por recordar el concepto de máximo y mínimo de una función a partir de un ejemplo. En este dibujo esta la representación gráfica de la función f de x igual a x más 1 por x al cubo por x menos 1. A partir del dibujo podemos observar que hay dos puntos, el punto a1 f de a sub 1 y a2 f de a sub 2 que son dos puntos especiales. Concretamente el primero de ellos se trata de un máximo local. y el segundo de ellos se trata de un mínimo local. Máximos y mínimos locales son dos puntos importantes para determinar el comportamiento de una función. Recordemos de la segunda semana cuál eran las definiciones de mínimo local y máximo local. Recordemos que, dada una función f que pasa por el punto a f de a decimos que f tiene un mínimo local en ese punto sí, y solo sí existe un intervalo abierto i que contiene a, tal que el valor de la función en a es menor o igual que cualquier otro valor de la función en el intervalo. Y decimos que una función f tiene un máximo local en el punto a f de a sí, solo sí existe un intervalo abierto i que contiene a tal que el valor de la función en a es mayor o igual que cualquier otro valor de la función en el intervalo i. A continuación vamos a ver la relación que hay entre los máximos y mínimos de una función y su derivada. En este dibujo podemos ver la representación gráfica de tres funciones. En la función de la izquierda podemos observar que en el punto (1, -2), esta función tiene un mínimo. En la función del centro también podemos observar que en el punto (1, 2) la función tiene un máximo. Y finalmente en la función de la derecha podemos observar que en el punto (0, 0) la función también tiene un mínimo. Vamos a ver qué relación guardan estos puntos con las derivadas de las funciones correspondientes En el primer caso, la función de la izquierda, podemos trazar la recta tangente en este punto y veremos que el valor de la derivada es 0 puesto que la pendiente de esta recta es 0. De la misma manera, en la función del centro la recta tangente también es horizontal, su pendiente es 0 y por tanto la derivada en el punto 1 también es 0. ¿En cambio qué ocurre con la función de la derecha? you sabemos que tiene un mínimo. Pero también hemos visto en videos anteriores que esta función no tiene derivada en el punto (0, 0). Recordemos que la raíz de tangente podían ser 2 y por tanto la función derivada no existe. Por tanto aún teniendo un mínimo en este punto no podemos relacionarlo con la derivada. Así pues tenemos el siguiente resultado. Si f es una función que tiene derivada en el punto x igual a a. Entonces, o bien, si tiene un mínimo local o un máximo local en el punto a f de a entonces, o bien la derivada es 0, o bien, la derivada no existe. Así pues el concepto de derivada por si solo no es suficiente para determinar los máximos y mínimos de una función. Necesitamos introducir un nuevo concepto que se llama punto crítico. Observemos las dos representaciones gráficas que hay en esta transparencia. En la función de la izquierda tenemos un punto en el cuál si trazamos la recta tangente en este punto podemos observar que también es una recta horizontal y por lo tanto su pendiente sea 0 y por tanto su derivada es 0. Observemos que en este punto no, la función no tiene ni un máximo ni un mínimo. En la función de la derecha, de nuevo podemos trazar la recta tangente en el punto (0, 0), y podemos observar que se trata de una recta vertical cuya pendiente es infinito y por tanto podamos concluir que la derivada tampoco no existe. Por tanto en estos puntos no puede haber ni máximo ni mínimo. Los puntos para los cuales no existe la derivada o se anula la derivada pero no sabemos si es un máximo o un mínimo se llaman puntos críticos de la función. Concretamente si tomamos cualquier valor del dominio de f. Se dice que a es un valor crítico de f, o bien, la derivada se anula o bien, la derivada no existe. El correspondiente punto del plano, es decir, el punto de coordenadas a,f de a se denomina un punto crítico de la función. A raíz de todos estos resultados podemos establecer un procedimiento sencillo para determinar los máximos y mínimos de una función. El procedimiento es el siguiente. Supongamos que f es una función definida en un intervalo i. En primer lugar determinaremos los puntos críticos de f en ese intervalo. Es decir, los valores para los cuales o bien, la derivada sea nula o bien la derivada no existe. A continuación estudiaremos el signo de la función derivada. De tal manera que si la función cambia de positivo a negativo antes y después del valor x igual a a. Entonces podemos concluir que f tiene un máximo local en a. Si por el contrario la función derivada cambia de negativo a positivo antes y después del valor x igual a a. Entonces podemos concluir que f tiene un mínimo local en a. Vamos a utilizar este procedimiento que acabamos de describir para determinar los máximos y mínimos locales de la función f de x igual a x cuatra menos cuatro x cubo. Si representamos esta función podemos observar que hay unos puntos de manera que, o bien, son mínimos o bien no son máximos y mínimos. Vamos a ver como aplicando este procedimiento podremos hallar cuáles son los máximos y mínimos de esta función. Para ello y aplicando el procedimiento primero debemos hallar los puntos críticos de esta función. Es decir, tenemos que hallar la derivada e igualarla a 0. La derivada es muy sencilla puesto que se trata de una función polinómica cuya derivada es 4 x cubo menos 12 x cuadrado. Si sacamos factor común x cuadrado obtendremos x cuadrado factor común de 4 x menos 12. Igualando a cero esta función, es decir x cuadrado por 4 x menos 12 igual a 0, obtenemos dos posibles soluciones. La solución x igual a 0 que corresponde a 1 de los dos puntos en azul del dibujo y el valor x igual a 3 que corresponde a otro de los puntos en azul del dibujo. Por tanto estos dos valores que son los valores críticos de la función son los posibles máximos y mínimos. Para saber en cada uno de ellos si se trata de un máximo o un mínimo debemos estudiar el signo de la derivada alrededor de cada uno de estos dos valores. Para empezar, tomemos x igual a 0 y un valor cercano pero más pequeño que 0. Por ejemplo, tomamos el valor de la derivada en menos 1. Si tomamos el valor de la derivada en menos 1 podemos comprobar que da menos 8 que es un valor menor que cero. Eso quiere decir que la pendiente a la recta tangente en todos los puntos anteriores de x igual a 0 es negativa. Si tomamos un valor mayor que x igual a 0 por ejemplo el valor 1, observaremos que nos da menos 8 que también es un valor negativo. De acuerdo con el procedimiento anterior en este punto no hay ni un máximo ni un mínimo, por tanto en x igual a 0 no es ni máximo, ni mínimo. Si repetimos el mismo procedimiento en el valor x igual a 3 y por ejemplo tomamos un valor anterior, como por ejemplo el valor 2, su derivada a la 4 por menos 4 que es un valor menor que 0 y si tomamos por ejemplo el valor 4, la derivada vale 16 por 4 que es un mayor igual que 0 Siguiendo con el procedimiento anterior podemos concluir que en este caso sí que la derivada cambia de signo. Pasa de negativo a positivo y por tanto podemos concluir que en x igual a 3 hay un mínimo local de esta función. Resumiendo. Una función f tiene un mínimo local en un punto a, f de a sí, solo sí existe un intervalo abierto i que contiene a y tal que el valor de la función en este punto es menor o igual que el valor de la función para cualquier otro valor del intervalo. De la misma manera, recordemos que una función tiene un máximo local en el punto a, f de a sí solo sí existe un intervalo abierto i que contiene a y tal que el valor de la función en a es mayor o igual que el valor de la función en cualquier otro valor del intervalo. Además hemos visto que si f tiene un mínimo local o un máximo local en un punto a, f de a entonces, o bien la derivada vale 0 o bien la derivada no existe. Además hemos definido el concepto de valor crítico de una función. Era aquí el valor para el cuál o bien la derivada vale 0 o bien la derivada no existe. you finalmente hemos visto que si a es un valor crítico de la función y la derivada cambia de positivo a negativo antes y después de a entonces podemos afirmar que f tiene un máximo local en a. Y también que si a es un valor crítico de la función y la derivada cambia de negativo a positivo antes y después de a, entonces podemos afirmar que f tiene un máximo local en x igual a a.
