Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Operaciones con números complejos (parte II)
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Números complejos
Los ceros de la función f(x)=x^2+1, los números complejos, operaciones con números complejos, formas trigonométrica y polar de un número complejo, potenciación y radicación de números complejos.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Antes de mostrar cómo calcular el inverso de
un número complejo, repasemos un par de definiciones.
La primera, que you hemos visto, es el opuesto de un número complejo, que es
simplemente cambiar de signo tanto la parte real
como la parte imaginaria del número complejo dado.
Y la segunda es el conjugado de un número complejo,
donde se trata únicamente de cambiar de signo la parte
imaginaria del número complejo dado. El conjugado de un número complejo
expresado como z, se denota con una barra encima, o sea, z barra.
Veamos estos dos conceptos aplicados al siguiente ejemplo, o sea, al número
complejo 3 menos 5i, que representado gráficamente sería el punto 3 menos 5.
El opuesto
de z sería menos z, que es menos 3 más 5i. O sea, cambiamos
de signo tanto la parte real como la parte imaginaria del número complejo dado.
Y para el conjugado z barra, sería igual a 3 más 5i, o sea, cambiamos
de signo únicamente la parte imaginaria del número complejo dado.
Gráficamente el opuesto
y el conjugado son estos dos puntos: menos z y z barra respectivamente.
El opuesto es el punto situado a la misma distancia que el
punto z del 0, o sea, si esta distancia del 0 a z es
r, hay exactamente la misma distancia desde 0 a menos z, r.
Y es el punto totalmente opuesto al punto
3 menos 5, o sea, menos
3, 5. Y el conjugado es el punto que también
está a la misma distancia r, que el punto z del
0, y es el punto situado totalmente simétrico respecto al
eje x del punto z. O sea, sería el punto
3, 5.
Ahora sí, veamos cómo calcular el inverso de un número complejo dado.
En general, el inverso de un número complejo a
más bi es 1 dividido por a más bi.
Antes de explicar los pasos que hay que aplicar para en general calcular
el inverso de un número complejo, veamos un primer ejemplo donde se
trata de calcular el inverso de 3 menos 4i dividido por 2.
El inverso de z es 1 dividido por z, o
sea, 1 dividido por 3 menos 4i, dividido entre 2.
Aplicando las propiedades de las fracciones, esto se puede expresar
como 2 dividido por 3 menos 4i. A continuación el objetivo
es conseguir que en el denominador no aparezca la i, o sea, no aparezca
un número complejo con parte imaginaria, que aparezca simplemente un número
real. Para ello, multiplicamos esta
expresión por un cociente donde en el numerador y en el denominador
aparezca el mismo valor, y, por lo tanto será como multiplicar
por 1, y este valor sea el conjugado del denominador, o sea, 3 más 4i.
Así multiplicamos la expresión que teníamos por este cociente
que es igual a 1 y por lo tanto
no altera el resultado y donde en el numerador
y denominador aparece el conjugado del denominador que teníamos.
Si realizamos este producto y en el denominador,
si multiplicamos 3 menos 4i por 3 más 4i,
obtenemos 3 por 3, 9, menos
12i, más 12i, menos 16i
al cuadrado, o sea, 9. Estos dos términos
se simplifican. i al cuadrado es menos 1, o sea, 9
más 16, que es 25. Así en el
denominador aparece 25 y you no aparece ninguna parte
imaginaria con la i. En el numerador multiplicamos 2 por 3 más
4i, y obtenemos 6 más 8i. Por lo tanto
obtenemos el número complejo 6 dividido por 25, más 8 dividido por
25i, y este es el inverso del número complejo dado en el enunciado.
En general, para calcular el inverso de un número complejo a más bi, que es
1 dividido por a más bi, simplemente
se trata de multiplicar numerador y denominador por
el conjugado del denominador, o sea, en este caso, a menos bi.
Multiplicamos numerador y denominador por este número complejo de
forma que, al hacerlo, el denominador, que es a más bi por a
menos bi, aparece un número real, o sea, un número sin parte imaginaria.
Vemos que a más bi,
multiplicado por a menos bi, en general, siempre es
igual a a al cuadrado más b al cuadrado.
Y así, el numero complejo 1 dividido por a
más bi se puede expresar como a dividido por
a al cuadrado más b al cuadrado menos b
dividido por a al cuadrado más b al cuadrado i.
Ahora bien, en algunos casos la situación es más
sencilla y no es necesario aplicar todos estos pasos.
Por ejemplo, si se trata de calcular el inverso de 2 dividido
por menos 4 más 10i, este es 1 dividido por z, o
sea, 1 dividido por 2, dividido por menos 4
más 10i, y, si aplicamos las propiedades de las fracciones,
esto es igual a menos 4, más 10i dividido por 2.
Así vemos que en el denominador you no aparece la parte imaginaria, por
lo tanto, no es necesario multiplicar numerador y denominador por el conjugado.
Y you tenemos que el inverso es menos 4, dividido por
2, más 10 dividido por 2 i, que simplificado
es menos 2 más 5i.
Y este sería el inverso del número dado donde no es necesario multiplicar el
numerador y denominador por el conjugado porque
el denominador you aparece como un número real.
Finalmente, acabaremos este vídeo mostrando dos ejemplos de
cómo calcular el cociente entre dos números complejos.
La técnica que aplicaremos será la misma que hemos aplicado you
en el proceso de calcular el inverso de un número complejo.
Se trata simplemente de multiplicar el numerador
y el denominador por el conjugado del denominador.
Veamos el primer ejemplo.
En este se trata de calcular i dividido por 2 más 5i.
Para ello, como hemos dicho,
multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del
denominador, o sea, por 2 menos 5i. Al realizar
el producto 2 más 5i, multiplicado
por 2 menos 5i, este siempre será igual a a
al cuadrado más b al cuadrado, o sea, 2 al cuadrado
más 5 al cuadrado, o sea, 4 más
25, o sea 29. También podemos hacer todas las
operaciones como hemos visto al realizar productos y obtendremos
el mismo resultado. Lo vemos en este ejemplo, 2 por 2, 4.
2 por menos 5i es menos 10i. 5i por 2 es más 10i, y menos 25 por
i al cuadrado. Estos dos términos
se simplifican y queda 4 menos 25 por i al cuadrado.
Si sustituimos i al cuadrado por menos 1, nos da más 25, o sea, igual que antes, 29.
Así el denominador es simplemente 29, y ha desaparecido la parte imaginaria.
El numerador simplemente multiplicamos y tenemos 2
por i menos 5i al cuadrado. De nuevo aplicamos el hecho
de que i al cuadrado es menos 1. Y obtenemos en
el numerador 2i más 5. Así, el
número complejo es 5 dividido por 29
más 2 dividido por 29i. Y you tenemos
el resultado del cociente del enunciado. Y finalmente veamos
cómo calcular otro cociente. En este caso se trata de calcular
6 más 2i, dividido por menos 1 menos 5i.
Igual que antes, multiplicamos numerador y denominador por el
conjugado del denominador, o sea, menos 1 más 5i.
Ahora realizamos estas operaciones, el denominador será
el producto de menos 1 menos 5i, multiplicado
por menos 1 más 5i, o sea, simplemente es 1 al cuadrado más 5 al cuadrado.
Y el numerador, si realizamos
este producto es 6 por menos 1, menos 6. 6 por 5i es
más 30i, 2i por menos 1 es menos
2i, y 2i por 5i es más 10i al cuadrado. El
denominador you tenemos que es 1 al cuadrado más 5 al cuadrado, o sea,
26.
En el numerador agrupamos los términos que tienen i, en este caso 30i menos
2i, que será más 28i, y los términos que no tienen i.
Observamos que 10i al cuadrado, si sustituimos i
al cuadrado por menos 1 es menos 10.
Por lo tanto, menos 10 menos 6, menos 16, y así you
obtenemos el número complejo que será menos 16 dividido
por 26, más 28 dividido por 26 i.
Este número complejo se puede simplificar,
simplificando cada una de estas dos fracciones.
En el primer caso tenemos menos 8 dividido
por 13, dividiendo por 2 numerador y el denominador.
Y en el segundo caso, igual que antes, dividiendo
numerador y denominador por 2 obtenemos 14 dividido por 13.
Estas dos fracciones you no se pueden simplificar más,
y así you obtenemos el resultado del cociente del enunciado.
Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
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