En este vídeo veremos como calcular potencias de números complejos expresados en forma polar. Además veremos, algunas igualdades trigonométricas que se pueden obtener fácilmente, a partir de la fórmula que veremos para el cálculo de potencias. Para calcular la potencia enésima del número complejo r alpha, como se trata de calcular simplemente el producto de r alpha n veces, utilizando la fórmula que you hemos visto para el producto de números complejos expresados en forma polar, vemos que el resultado es el número complejo cuyo módulo es el producto del módulo r, n veces y cuyo argumento es la suma del argumento alpha n veces. Por lo tanto, el módulo será r elevado a n, y el argumento será n por alpha. Veamos un primer ejemplo donde se trata de calcular la potencia, dos sesenta grados elevado a tres. Utilizamos la fórmula que acabamos de ver y obtenemos el numero complejo cuyo módulo es dos elevado a tres y argumento sesenta por tres, o sea, el número complejo ocho, ciento ochenta grados. Si además queremos expresar este resultado en forma binómica, utilizamos la expresión trigonométrica que es igual a ocho por el coseno de ciento ochenta grados, más i por el seno de ciento ochenta grados, como sabemos que el coseno de ciento ochenta grados es, menos uno y el seno de ciento ochenta grados es cero,tenemos que, es igual a ocho por menos uno más i por cero, o sea, menos ocho. O equivalentemente, menos ocho cero. Así tenemos el resultado expresado en forma polar o en forma binómica. En este segundo ejemplo se trata de calcular la siguiente potencia utilizando formas polares. Para ello, convertimos el numerador y el denominador en forma polar, uno más raíz cuadrada de tres i, podemos comprobar en forma polar sería dos sesenta grados, para ello calculamos el módulo y el argumento como hemos visto en vídeos anteriores. En el denominador uno menos raíz cuadrada de tres y realizamos lo mismo y vemos que es dos menos sesenta grados. Ahora you podemos calcular z, como el cociente entre dos sesenta grados dividido entre dos menos sesenta grados y todo ello elevado a veinte. Primero realizamos este cociente, como hemos visto antes, dividimos los módulos, en este caso es uno y restamos los argumentos, o sea, sesenta menos, menos sesenta grados, todo ello elevado a veinte, o sea, uno ciento veinte grados, elevado a veinte. Ahora si, you podemos aplicar la fórmula que hemos visto, para las potencias y obtenemos que, esta potencia es igual a uno elevado a veinte como módulo y como argumento ciento veinte grados por veinte. O sea, uno de argumento dos mil cuatrocientos grados. Dos mil cuatrocientos grados son, seis vueltas completas de trecientos sesenta grados más docientos cuarenta grados. Por lo tanto, este ángulo es coterminal con el de docientos cuarenta grados, y definen el mismo número complejo, o sea, uno docientos cuarenta grados. Y este sería el resultado. Si además queremos ver este resultado en forma trigonométrica o en forma binómica podemos escribir que es, igual a uno por el coseno de docientos cuarenta grados más i por el seno de docientos cuarenta grados, o sea, menos un medio menos raíz cuadrada de tres dividido entre dos i. Y este sería el equivalente a uno docientos cuarenta grados en forma binómica. Finalmente, calcularemos las siguientes potencias, primero dos treinta grados elevado a cuatro. O sea, el módulo será dos elevado a cuatro y el argumento treinta grados por cuatro, o sea, dieciséis ciento veinte grados. Siguiente potencia, de nuevo el módulo es dos elevado a cuatro y ahora el argumento será ciento veinte grados por cuatro, o sea, dieciséis cuatrocientos ochenta grados. La siguiente potencia, de nuevo el módulo es dos elevado a cuatro, y el ángulo será de doscientos diez grados por cuatro. Por lo tanto, el número será dieciséis ochocientos cuarenta grados. Y finalmente, esta potencia nos da, dos elevado a cuatro y como argumento trescientos grados por cuatro. o sea, dieciséis mil doscientos grados. Veamos, ¿qué relación hay entre estas cuatro potencias? Observamos que cuatrocientos ochenta grados es igual a trescientos sesenta grados más ciento veinte. Por lo tanto, cuatrocientos ochenta es coterminal con ciento veinte, y podemos escribir que este número complejo es igual a dieciséis ciento veinte grados. De la misma forma, como ochocientos cuarenta grados es igual a dos por trescientos sesenta más ciento veinte, también podemos escribir que esta tercera potencia es igual a dieciséis ciento veinte grados. Y finalmente, tenemos que mil doscientos grados es igual a tres por trescientos sesenta grados más ciento veinte, vemos que de nuevo, esta última potencia es igual a dieciséis ciento veinte grados. Así vemos, que el resultado de éstas cuatro potencias es el mismo, dieciséis ciento veinte grados. O equivalentemente, existen cuatro números complejos. Omega, dos treinta grados, dos ciento veinte grados, dos doscientos diez grados, y dos trescientos grados, tales que, al elevar a cuatro obtenemos dieciséis ciento veinte grados. En el siguiente vídeo veremos que en realidad estos cuatro valores, son las raíces cuartas de dieciséis ciento veinte grados. Y además veremos como calcularlas, como calcular estos cuatro valores a partir, de éste número complejo dieciséis ciento veinte. Veamos a continuación, la siguiente fórmula trigonométrica que se puede deducir fácilmente a partir de esta igualdad. O sea, sabemos que uno alpha elevado a n es igual al módulo uno elevado a n, o sea, en este caso uno, y como argumento alpha por n. Vemos que si convertimos esta expresión o esta igualdad en forma trigonométrica tenemos que uno alpha es, coseno de alpha más i por seno de alpha y toda esta expresión que es uno alpha elevada a n. En el otro lado de la igualdad vemos que es igual a uno n alpha. Por lo tanto, es coseno de n alpha más i por seno de n alpha, o sea, esto es equivalente a n alpha. Por lo tanto, a partir de esta igualdad obtenemos esta igualdad trigonométrica. Veamos a continuación que podemos deducir las fórmulas, del coseno del ángulo doble y del seno del ángulo doble, a partir de esta igualdad trigonométrica que acabamos de ver. Simplemente sustituyendo la n por dos. Así tenemos, que el coseno de alpha más i por el seno de alpha al cuadrado, es igual al coseno de dos alpha más i por el seno de dos alpha. Realizamos esta potencia y tenemos que es igual a coseno al cuadrado de alpha más i al cuadrado por el seno al cuadrado de alpha, más dos veces coseno de alpha por seno de alpha por i. Y esto es igual a coseno de dos alpha más i seno de dos alpha. Sustituimos i al cuadrado por menos uno y tenemos que esto es igual a coseno al cuadrado de alpha menos seno al cuadrado de alpha, más dos coseno de alpha por seno de alpha por i. Si tenemos dos números complejos que están igualados, por lo tanto la parte real de este número complejo debe ser igual a la parte real de éste otro número complejo. Así tenemos que ésta parte de aquí, debe ser igual a ésta parte de aquí y obtenemos la primera igualdad que nos dice que el coseno de dos alpha es igual a, coseno al cuadrado de alpha menos seno al cuadrado de alpha. Si igualamos las partes imaginarias, tenemos que esta parte de aquí debe ser igual a esta otra parte de aquí. Por lo tanto, tenemos la segunda igualdad que nos dice que el seno de dos alpha, debe ser igual a dos coseno de alpha por seno de alpha. Y you hemos obtenido las fórmulas trigonométricas para el ángulo doble, coseno y seno del ángulo doble. Finalmente, veamos como expresar el coseno de tres alpha y el seno de tres alpha, en función del coseno de alpha y seno de alpha utilizando la fórmula trigonométrica que acabamos de ver. Para ello, sustituimos la n por tres, y obtenemos que el coseno de alpha más i seno de alpha elevado a tres es igual al coseno de tres alpha más i por el seno de tres alpha. Desarrollamos esta potencia y obtenemos que es igual a coseno al cubo de alpha, más tres veces coseno al cuadrado de alpha, por i por el seno de alpha, más tres veces el coseno de alpha por i al cuadrado, por el seno al cuadrado de alpha, más i al cubo por el seno al cubo de alpha. A continuación, agrupamos los términos de la parte real y los términos de la parte imaginaria, Así obtenemos que en la parte real aparece el coseno al cubo de alpha, menos tres veces el coseno de alpha por el seno al cuadrado de alpha. you que i al cuadrado es menos uno. Y por lo tanto, esta parte de aquí, se transforma en menos tres coseno de alpha por seno cuadrado de alpha, Y para la parte imaginaria tenemos este sumando. O sea, tres coseno al cuadrado de alpha por seno de alpha, you que contiene el factor i. Y esta parte de aquí que aparece como menos seno al cubo de alpha. you que, i al cubo es igual a menos i, por lo tanto, menos y la i que aparece como factor común de adelante.Así obtenemos que esta expresión, debe ser igual a coseno de tres alpha más i veces el seno de tres alpha. Igualamos la parte real con la parte real y obtenemos que el coseno de tres alpha es igual a coseno al cubo de alpha menos tres veces coseno de alpha por seno al cuadrado de alpha. Si igualamos las partes imaginarias, obtenemos que seno de tres alpha debe ser igual a tres veces coseno al cuadrado de alpha por seno de alpha, menos seno al cubo de alpha. Y de esta forma, hemos obtenido una expresión para el coseno de tres alpha y el seno de tres alpha en función del coseno y seno de alpha. Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
