Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Producto y cociente de números complejos en forma polar
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
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De la lección
Números complejos
Los ceros de la función f(x)=x^2+1, los números complejos, operaciones con números complejos, formas trigonométrica y polar de un número complejo, potenciación y radicación de números complejos.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En los siguientes tres vídeos veremos como
operar números complejos expresados en forma polar.
Veremos que en algunos casos las operaciones
resultarán mucho más fáciles de esta forma.
En este vídeo nos centraremos en el cálculo del producto
y del cociente de números complejos expresados en forma polar.
Y en los siguientes dos vídeos
veremos cómo calcular potencias y raíces enésimas
de números complejos también expresados de forma polar.
Antes de mostrar cómo calcular el producto y
el cociente de números complejos expresados en forma
polar, veamos cómo saber si dos números complejos,
expresados también en forma polar, son iguales o no.
Para ello, observamos que si tenemos dos números
complejos r sub alfa y s sub beta, estos serán iguales siempre que los
módulos sean iguales y la diferencia entre los argumentos sea un múltiplo de 2 pi.
O lo que es lo mismo, un número entero de vueltas completas a la circunferencia.
De hecho, si tenemos un número complejo, este
será un punto del plano, por ejemplo a,b que
representado en forma polar sea igual a r sub alfa.
Por lo tanto, el ángulo alfa será
este de aquí, y r será la distancia entre
el punto y el origen 0,0. Vemos que si
sumamos a alfa un número entero de vueltas
completas, por ejemplo, si sumamos una vuelta
completa, volvemos a estar en el mismo punto.
Si sumamos dos vueltas completas, de nuevo estamos en el mismo punto.
Por lo tanto, si la diferencia entre los dos argumentos, alfa y beta, es
un número entero de vueltas completas, entonces
decimos que los dos números complejos serán iguales.
Veamos a continuación cuántos números complejos
diferentes hay en la siguiente lista.
Primero, observamos que los números complejos con módulo 3 no
podrán ser iguales a los números complejos con módulo 4.
you que si dos números complejos son iguales, sus módulos deben ser iguales.
así empezamos comparando los dos números complejos que
tenemos con módulo 4.
Para ello, realizamos la diferencia entre los argumentos para ver si la diferencia
es un múltiplo de 2 pi. 5 pi dividido entre 4 menos -3 pi entre 4.
Esto es igual a 5 pi más 3 pi dividido entre 4.
O sea, 8 pi dividido entre 4 que es 2 pi. Vemos que la diferencia
entre estos dos argumentos es 2 pi. Por lo tanto, estos dos números
complejos con módulo 4 son iguales.
Veamos qué pasa con el resto de números que tienen módulo 3.
Empezamos por los dos primeros: 3, 3 pi medios; y 3 menos pi medios.
Realizamos la diferencia entre
los argumentos: 3 pi medios menos -pi medios.
Y vemos que esto es igual a 3pi más pi, o sea,
4 pi dividido entre 2. O sea, 2 pi.
La diferencia es un múltiplo de 2pi, por lo
tanto, podemos decir que estos dos números son iguales.
Continuamos con lo siguiente, tenemos
3pi.
Queremos saber si este número complejo es igual a
los dos números complejos anteriores, que también tenían módulo 3.
Para ello, realizamos la diferencia entre los argumentos: menos pi
medios menos pi. Y esto es igual a
menos pi, menos 2 pi O sea, menos 3 pi medios,
que no es igual a un múltiplo de 2 pi. Por lo tanto, el número complejo
3 pi no será igual a estos dos números anteriores que tenían módulo 3.
Continuamos con el siguiente, o sea, 3 menos pi.
3 menos pi veremos que es igual a 3 pi, you
que la diferencia pi menos menos pi es igual a 2
pi, es claramente un múltiplo de 2 pi. Veamos qué pasa con el
siguiente número complejo. O sea, 3 menos 5 pi dividido entre 2.
Veremos que este es igual a los dos números complejos
que tenían argumentos 3 pi medios y menos pi medio.
Para ello, realizamos la diferencia entre menos 5
pi medios y cualquiera de estos dos argumentos.
Por ejemplo, menos menos pi medios. Y vemos que
esto es igual a menos 5 pi, más pi. O sea, menos
4 pi dividido entre 2.
O sea, menos 2 pi.
De nuevo tenemos que la diferencia es un múltiplo de 2 pi.
Por lo tanto,
estos tres números complejos serán iguales.
Y para acabar, tenemos el número complejo
3 menos 3 pi, que veremos que es igual a los números
complejos 3 pi y 3 menos pi. Por ejemplo, realizamos la diferencia
entre menos 3 pi y menos pi.
Esto nos da menos 3 pi más pi, que es igual a menos 2 pi.
Vemos la diferencia también es un múltiplo de 2 pi.
Y, por lo tanto, estos 3 números complejos serán iguales.
Así tenemos que de la lista de todos
estos números complejos únicamente hay tres de diferentes.
También observad que la
diferencia entre los argumentos para comprobar si dos números complejos
son iguale o no, se puede realizar en cualquier sentido.
O sea, podemos realizar b menos alfa, o alfa menos b.
Acabamos de ver que en la siguiente lista únicamente hay tres números complejos
diferentes que son 3 3 pi medios, 3 pi, y 4 5 pi cuartos.
Estos tres
números complejos convertidos a forma binómica
serían los siguientes: En el primer caso sería 3 por el coseno de 3 pi
medios más i por el seno de 3 pi medios. 3 pi medios
es el ángulo de 270 grados, por lo tanto, el coseno
es 0 y el seno -1. Por lo tanto sustituimos
y obtenemos que este número complejo en forma polar sería
equivalente a menos 3 i, o sea, 0 menos 3.
Para 3 pi realizamos alas mismas operaciones.
Por lo tanto 3 por coseno de pi.
Más i por seno de pi. Pi es el ángulo de 180 grados.
Por lo tanto, el coseno es menos 1 y el seno
es 0. Si tenemos 3 por menos 1.
Más i por 0. O sea,
menos 3, que es equivalente a menos 3
0. Y finalmente, 4 5 pi cuartos sería
por el coseno de 5 pi cuartos más i por el
seno de 5 pi cuartos. O sea, 4 por
5 pi cuartos es el ángulo de 225 grados, cuyo ángulo de
referencia es el ángulo de 45 grados y se encuentra en el tercer cuadrante.
Por lo tanto el coseno y el seno son negativos.
Y además sabemos que es igual a raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
Por lo tanto menos raíz cuadrada
de 2 dividido por 2. Más i raíz cuadrada de 2 dividido por 2.
Por lo tanto esto es igual a menos 2 raíz
cuadrada de 2, menos 2 raíz cuadrada de 2 por i.
Que es equivalente a menos 2 raíz cuadrada de 2, menos 2 raíz cuadrada de 2.
Y así tenemos los números complejos expresados en
forma binómica.
Veamos ahora cómo multiplicar números complejos expresados en forma polar.
Vemos que si multiplicamos los números r alfa s beta
obtenemos el número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos r por s
y cuyo argumento es la suma de los argumentos alfa más beta.
Para comprobar esta
condición simplemente expresamos los números complejos en forma trigonométrica.
El primero r alfa sería r por el coseno de alfa, más i seno de alfa.
Y el segundo sería s por el coseno de beta más i por el seno de beta.
si multiplicamos estas expresiones obtenemos
el producto de los módulos r por s.
Y multiplicamos estos dos sumandos y tenemos coseno de alfa por coseno de beta.
Más i coseno de alfa multiplicado por i coseno de beta.
Sería i al cuadrado por seno de alfa, por seno de beta.
A continuación multiplicamos el coseno de alfa por i seno de beta e i seno de alfa
multiplicado pro coseno de beta. Sacamos factor común a la i Y tenemos
i multiplicado por seno de alfa por coseno de beta
más coseno de alfa,
por seno de beta. Y eso
es igual a, sustituimos i al cuadrado
por menos 1, por lo tanto, menos seno de alfa
por seno de beta. Y esta expresión la dejamos igual.
Y ahora you simplemente recordar que esta
parte de aquí es igual al coseno de alfa más beta.
Y esta parte de aquí es igual al seno de alfa más beta.
Por lo tanto, esto sería más i por el seno de alfa más beta.
Y así tenemos el número complejo cuyo módulo es
el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos.
Veamos un ejemplo.
En este caso se trata de calcular el producto de los números complejos.
3 pi sextos y 2 pi tercios.
El módulo será el producto de los módulos. Por lo tanto, 6.
Y el argumento será la suma de los argumentos.
En este caso
pi sextos más pi tercios. Esto es igual a í más 2 pi dividido por 6.
O sea, simplificando, pi medios.
Si este número complejo que hemos
obtenido, 6 pi medios, lo queremos expresar
en forma binómica, simplemente utilizamos la
expresión trigonométrica 6 por el coseno de
pi medios más i por el seno de pi medios.
El coseno de pi medios es 0 y el seno de pi medios es 1.
Por lo tanto, 6 i.
Y obtenemos el número complejo expresado en forma
binómica, o bien expresado en forma polar.
De la misma forma que hemos visto cómo calcular el producto de
números complejos en forma polar, podemos comprobar que el cociente de dos números
complejos, r alfa, s beta, expresados en forma polar es el número complejo
cuyo módulo es el cociente de los módulos, r dividido por s en
este caso, y cuyo argumentos es la
diferencia de los argumentos, alfa menos beta.
O sea, el argumento del numerador
menos el argumento del denominador.
Finalmente, veamos un ejemplo de cálculo del
cociente entre dos números complejos utilizando formas polares.
Si el numerador y el denominador estuvieran you expresados en
forma polar, podríamos utilizar directamente
la fórmula que acabamos de ver.
En este caso, necesitamos convertir primero el numerador
y el denominador en su expresión en forma polar.
Para ello utilizamos las técnicas
que you hemos visto en vídeos anteriores. Y vemos que 1 más i es igual a raíz
cuadrada de 2 por el coseno de 45 grados más i por el seno de 45 grados.
Por lo tanto, en forma polar sería número raíz cuadrada de 2 y 45 grados.
De la misma forma, 1 menos i se puede expresar como raíz cuadrada de 2 por
el coseno de menos 45 grados.
O sea, coseno de 315 grados más i por el seno de 315 grados.
Y así en forma polar será el número raíz cuadrada de 2 y 315 grados.
A continuación realizamos el cociente, o sea, raíz cuadrada
de 2 45 dividido por raíz cuadrada de 2,
315. Para ello, realizamos el cociente entre
los módulos. Raíz cuadrada de 2 dividido entre raíz
cuadrada de 2. Y este será el módulo del resultado.
Como argumento será 45 menos 315 grados. Por lo tanto tenemos el
número 1 menos 270 grados. Menos 270 es coterminal con 90
grados y, por lo tanto, representan el mismo número complejo.
Si sustituyo menos 270 por 90 grados. Así tenemos el número
complejo en forma polar: 1, 90 grados. O sea, número
complejo i, que expresado en forma binómica sería (0,1)
Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
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