En los siguientes tres vídeos veremos como operar números complejos expresados en forma polar. Veremos que en algunos casos las operaciones resultarán mucho más fáciles de esta forma. En este vídeo nos centraremos en el cálculo del producto y del cociente de números complejos expresados en forma polar. Y en los siguientes dos vídeos veremos cómo calcular potencias y raíces enésimas de números complejos también expresados de forma polar. Antes de mostrar cómo calcular el producto y el cociente de números complejos expresados en forma polar, veamos cómo saber si dos números complejos, expresados también en forma polar, son iguales o no. Para ello, observamos que si tenemos dos números complejos r sub alfa y s sub beta, estos serán iguales siempre que los módulos sean iguales y la diferencia entre los argumentos sea un múltiplo de 2 pi. O lo que es lo mismo, un número entero de vueltas completas a la circunferencia. De hecho, si tenemos un número complejo, este será un punto del plano, por ejemplo a,b que representado en forma polar sea igual a r sub alfa. Por lo tanto, el ángulo alfa será este de aquí, y r será la distancia entre el punto y el origen 0,0. Vemos que si sumamos a alfa un número entero de vueltas completas, por ejemplo, si sumamos una vuelta completa, volvemos a estar en el mismo punto. Si sumamos dos vueltas completas, de nuevo estamos en el mismo punto. Por lo tanto, si la diferencia entre los dos argumentos, alfa y beta, es un número entero de vueltas completas, entonces decimos que los dos números complejos serán iguales. Veamos a continuación cuántos números complejos diferentes hay en la siguiente lista. Primero, observamos que los números complejos con módulo 3 no podrán ser iguales a los números complejos con módulo 4. you que si dos números complejos son iguales, sus módulos deben ser iguales. así empezamos comparando los dos números complejos que tenemos con módulo 4. Para ello, realizamos la diferencia entre los argumentos para ver si la diferencia es un múltiplo de 2 pi. 5 pi dividido entre 4 menos -3 pi entre 4. Esto es igual a 5 pi más 3 pi dividido entre 4. O sea, 8 pi dividido entre 4 que es 2 pi. Vemos que la diferencia entre estos dos argumentos es 2 pi. Por lo tanto, estos dos números complejos con módulo 4 son iguales. Veamos qué pasa con el resto de números que tienen módulo 3. Empezamos por los dos primeros: 3, 3 pi medios; y 3 menos pi medios. Realizamos la diferencia entre los argumentos: 3 pi medios menos -pi medios. Y vemos que esto es igual a 3pi más pi, o sea, 4 pi dividido entre 2. O sea, 2 pi. La diferencia es un múltiplo de 2pi, por lo tanto, podemos decir que estos dos números son iguales. Continuamos con lo siguiente, tenemos 3pi. Queremos saber si este número complejo es igual a los dos números complejos anteriores, que también tenían módulo 3. Para ello, realizamos la diferencia entre los argumentos: menos pi medios menos pi. Y esto es igual a menos pi, menos 2 pi O sea, menos 3 pi medios, que no es igual a un múltiplo de 2 pi. Por lo tanto, el número complejo 3 pi no será igual a estos dos números anteriores que tenían módulo 3. Continuamos con el siguiente, o sea, 3 menos pi. 3 menos pi veremos que es igual a 3 pi, you que la diferencia pi menos menos pi es igual a 2 pi, es claramente un múltiplo de 2 pi. Veamos qué pasa con el siguiente número complejo. O sea, 3 menos 5 pi dividido entre 2. Veremos que este es igual a los dos números complejos que tenían argumentos 3 pi medios y menos pi medio. Para ello, realizamos la diferencia entre menos 5 pi medios y cualquiera de estos dos argumentos. Por ejemplo, menos menos pi medios. Y vemos que esto es igual a menos 5 pi, más pi. O sea, menos 4 pi dividido entre 2. O sea, menos 2 pi. De nuevo tenemos que la diferencia es un múltiplo de 2 pi. Por lo tanto, estos tres números complejos serán iguales. Y para acabar, tenemos el número complejo 3 menos 3 pi, que veremos que es igual a los números complejos 3 pi y 3 menos pi. Por ejemplo, realizamos la diferencia entre menos 3 pi y menos pi. Esto nos da menos 3 pi más pi, que es igual a menos 2 pi. Vemos la diferencia también es un múltiplo de 2 pi. Y, por lo tanto, estos 3 números complejos serán iguales. Así tenemos que de la lista de todos estos números complejos únicamente hay tres de diferentes. También observad que la diferencia entre los argumentos para comprobar si dos números complejos son iguale o no, se puede realizar en cualquier sentido. O sea, podemos realizar b menos alfa, o alfa menos b. Acabamos de ver que en la siguiente lista únicamente hay tres números complejos diferentes que son 3 3 pi medios, 3 pi, y 4 5 pi cuartos. Estos tres números complejos convertidos a forma binómica serían los siguientes: En el primer caso sería 3 por el coseno de 3 pi medios más i por el seno de 3 pi medios. 3 pi medios es el ángulo de 270 grados, por lo tanto, el coseno es 0 y el seno -1. Por lo tanto sustituimos y obtenemos que este número complejo en forma polar sería equivalente a menos 3 i, o sea, 0 menos 3. Para 3 pi realizamos alas mismas operaciones. Por lo tanto 3 por coseno de pi. Más i por seno de pi. Pi es el ángulo de 180 grados. Por lo tanto, el coseno es menos 1 y el seno es 0. Si tenemos 3 por menos 1. Más i por 0. O sea, menos 3, que es equivalente a menos 3 0. Y finalmente, 4 5 pi cuartos sería por el coseno de 5 pi cuartos más i por el seno de 5 pi cuartos. O sea, 4 por 5 pi cuartos es el ángulo de 225 grados, cuyo ángulo de referencia es el ángulo de 45 grados y se encuentra en el tercer cuadrante. Por lo tanto el coseno y el seno son negativos. Y además sabemos que es igual a raíz cuadrada de 2 dividido por 2. Por lo tanto menos raíz cuadrada de 2 dividido por 2. Más i raíz cuadrada de 2 dividido por 2. Por lo tanto esto es igual a menos 2 raíz cuadrada de 2, menos 2 raíz cuadrada de 2 por i. Que es equivalente a menos 2 raíz cuadrada de 2, menos 2 raíz cuadrada de 2. Y así tenemos los números complejos expresados en forma binómica. Veamos ahora cómo multiplicar números complejos expresados en forma polar. Vemos que si multiplicamos los números r alfa s beta obtenemos el número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos r por s y cuyo argumento es la suma de los argumentos alfa más beta. Para comprobar esta condición simplemente expresamos los números complejos en forma trigonométrica. El primero r alfa sería r por el coseno de alfa, más i seno de alfa. Y el segundo sería s por el coseno de beta más i por el seno de beta. si multiplicamos estas expresiones obtenemos el producto de los módulos r por s. Y multiplicamos estos dos sumandos y tenemos coseno de alfa por coseno de beta. Más i coseno de alfa multiplicado por i coseno de beta. Sería i al cuadrado por seno de alfa, por seno de beta. A continuación multiplicamos el coseno de alfa por i seno de beta e i seno de alfa multiplicado pro coseno de beta. Sacamos factor común a la i Y tenemos i multiplicado por seno de alfa por coseno de beta más coseno de alfa, por seno de beta. Y eso es igual a, sustituimos i al cuadrado por menos 1, por lo tanto, menos seno de alfa por seno de beta. Y esta expresión la dejamos igual. Y ahora you simplemente recordar que esta parte de aquí es igual al coseno de alfa más beta. Y esta parte de aquí es igual al seno de alfa más beta. Por lo tanto, esto sería más i por el seno de alfa más beta. Y así tenemos el número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos. Veamos un ejemplo. En este caso se trata de calcular el producto de los números complejos. 3 pi sextos y 2 pi tercios. El módulo será el producto de los módulos. Por lo tanto, 6. Y el argumento será la suma de los argumentos. En este caso pi sextos más pi tercios. Esto es igual a í más 2 pi dividido por 6. O sea, simplificando, pi medios. Si este número complejo que hemos obtenido, 6 pi medios, lo queremos expresar en forma binómica, simplemente utilizamos la expresión trigonométrica 6 por el coseno de pi medios más i por el seno de pi medios. El coseno de pi medios es 0 y el seno de pi medios es 1. Por lo tanto, 6 i. Y obtenemos el número complejo expresado en forma binómica, o bien expresado en forma polar. De la misma forma que hemos visto cómo calcular el producto de números complejos en forma polar, podemos comprobar que el cociente de dos números complejos, r alfa, s beta, expresados en forma polar es el número complejo cuyo módulo es el cociente de los módulos, r dividido por s en este caso, y cuyo argumentos es la diferencia de los argumentos, alfa menos beta. O sea, el argumento del numerador menos el argumento del denominador. Finalmente, veamos un ejemplo de cálculo del cociente entre dos números complejos utilizando formas polares. Si el numerador y el denominador estuvieran you expresados en forma polar, podríamos utilizar directamente la fórmula que acabamos de ver. En este caso, necesitamos convertir primero el numerador y el denominador en su expresión en forma polar. Para ello utilizamos las técnicas que you hemos visto en vídeos anteriores. Y vemos que 1 más i es igual a raíz cuadrada de 2 por el coseno de 45 grados más i por el seno de 45 grados. Por lo tanto, en forma polar sería número raíz cuadrada de 2 y 45 grados. De la misma forma, 1 menos i se puede expresar como raíz cuadrada de 2 por el coseno de menos 45 grados. O sea, coseno de 315 grados más i por el seno de 315 grados. Y así en forma polar será el número raíz cuadrada de 2 y 315 grados. A continuación realizamos el cociente, o sea, raíz cuadrada de 2 45 dividido por raíz cuadrada de 2, 315. Para ello, realizamos el cociente entre los módulos. Raíz cuadrada de 2 dividido entre raíz cuadrada de 2. Y este será el módulo del resultado. Como argumento será 45 menos 315 grados. Por lo tanto tenemos el número 1 menos 270 grados. Menos 270 es coterminal con 90 grados y, por lo tanto, representan el mismo número complejo. Si sustituyo menos 270 por 90 grados. Así tenemos el número complejo en forma polar: 1, 90 grados. O sea, número complejo i, que expresado en forma binómica sería (0,1) Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
