Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Representación gráfica de funciones exponenciales y logarítmicas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
324 calificaciones
De la lección
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial, representación gráfica, las funciones logarítmicas, representación gráfica, ecuaciones exponenciales, conversión entre expresiones exponenciales y logarítmicas, cambio de base en expresiones logarítmicas, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo mostraremos a través de un par de ejemplos cómo representar
gráficamente algunas funciones exponenciales y logarítmicas utilizando
transformaciones. De la misma forma que se ha visto you en
semanas anteriores para otro tipo de funciones.
En este primer ejemplo, se trata de dibujar la gráfica de la función
exponencial 3 elevado a X menos 2 más 1 utilizando transformaciones.
Para ello empezaremos dibujando la representación gráfica de la función 3
elevado a X. Sabemos que si X es igual a 0, f de 0 es
igual a 3 a la 0, o sea 1, y que si X es igual a 1, f de 1 es igual a 3 a la 1, o
sea 3. Por lo tanto sabemos que esta gráfica, 3
elevado a X, pasará por los puntos (0, 1), o sea, este punto, y por el punto (1,
3), por lo tanto, este es el punto (1, 3) y este el punto (0, 1).
Además sabemos que si el valor de la base es mayor a 1, como en este caso, que 3 es
mayor que 1, la forma de esta función exponencial, que pasa por estos puntos,
es esta de aquí con una asíntota horizontal en el eje de las X, mejor
representada sería este dibujo de aquí, donde la asíntota horizontal se ha
representado con una línea de puntos de color rojo.
A partir de la gráfica de esta función podemos representar la función 3 elevado
a X menos 2 simplemente con un desplazamiento a la derecha de 2
unidades, you que esta es la misma función que esta.
Excepto que en lugar de X, aparece X menos 2.
Por lo tanto, simplemente hay que desplazar hacia la derecha dos unidades.
Vemos cómo se trasladan estos dos puntos, el (0, 1) y el (1, 3) Teniendo en cuenta
este desplazamiento hacia la derecha del eje de las X.
Así el punto (0, 1) se transforma en el punto (2, 1), o sea, este punto, (2, 1),
sumando dos unidades a la coordenada X. De la misma forma, el punto (1, 3) se
transforma en el punto (3, 3), o sea, este de aquí, sumando dos unidades a la
coordenada X. A partir de estos dos punto representamos
la gráfica que pasa por ellos. La gráfica tendrá la misma forma que la
gráfica anterior, you que de nuevo la base 3 es un valor mayor que 1.
Así obtenemos la siguiente gráfica y de nuevo la asíntota horizontal aparece en
el eje de las X y está representada por una línea discontinua de color rojo.
A partir de esta última representación gráfica you podemos dibujar la gráfica de
la función dada, 3 elevado a la X, menos 2 más 1, simplemente desplazando hacia
arriba una unidad, la gráfica anterior. you que la única diferencia entre estas
dos funciones es que en esta última aparece más 1.
Así los puntos (2, 1), (3, 3), se transforman en los puntos (2, 2), o sea,
este punto aquí es (2, 2) donde hemos sumado un 1 en la coordenada Y.
El punto (3, 3) se transforma en el punto (3, 4) de nuevo hemos sumado un 1 en la
coordenada Y. Si tenemos estos dos puntos, si dibujamos
la gráfica que pasa por estos dos puntos hay que tener en cuenta que la asíntota
horizontal también se ha desplazado hacia arriba una unidad.
Por lo tanto estaría en el punto 1. Y si dibujamos la gráfica, tendríamos una
gráfica de esta forma. O sea, mejor dibujada, tendríamos esta
gráfica de aquí. Y con esto hemos dibujado la gráfica de
la función 3 elevado a la X menos 2 más 1 con dos desplazamientos.
Un primer desplazamiento hacia la derecha, y un último desplazamiento hacia
arriba. Si para esta gráfica queremos calcular
los puntos de intersección con los ejes, vemos que para el eje X, f de X tendría
que ser 0. O sea 3 elevado a X menos 2 más 1 igual a
0. Obtenemos 3 elevado a X menos 2 igual a
menos 1. Esto nunca es posible you que una
potencia de 3 nunca será un valor negativo.
Por lo tanto, efectivamente vemos que no hay ningún punto de intersección con el
eje X. Si ahora miramos el eje Y para ello X es
igual a 0, por lo tanto f de 0 es igual a 3 a la 0 menos 2 más 1, o sea, 3 igual a
menos 2, más 1. Y obtenemos 1 dividido 3 al cuadrado, o
sea 9 más 1. Si hacemos esta suma, unificamos
denominador, 1 más 9 y obtenemos 10 dividido por 9.
Y así hay un punto de intersección con el eje Y que viene dado por X 0 y la Y 10
dividido por 9. Este punto sería este punto de aquí de la
gráfica. Y finalmente veamos un segundo ejemplo en
el que se trata de dibujar la gráfica de la función logarítmica logaritmo en base
2 de X más 2, menos 2. Para ello, igual que antes, empezaremos
dibujando la gráfica de la función logaritmo en base 2 de X.
Para representar la gráfica de esta función empezaremos dibujando algunos
puntos. Por ejemplo para X igual a 1, f de 1 es
igual al logaritmo de 1 en base 2 de 1, o sea, 0 you que 0 es el exponente que hay
que elevar a la base 2 para obtener 1. Así esta gráfica pasa por el punto (1,
0), este de aquí. Otro punto estaría dado por X igual a 2,
f de 2 es igual al logaritmo en base de 2 de 2, o sea 1, el exponente que hay que
elevar a la base 2 para obtener 2 y así obtenemos esta gráfica que pasará por el
punto (2, 1). Si además calculamos un tercer punto, por
ejemplo para X igual a 4, f de 4 es igual al logaritmo en base 2 de 4, que es 2,
you que 2 es el exponente que hay que elevar a la base 2 para obtener 4 Esta
gráfica pasará por el punto (4, 2), este de aquí.
Así obtenemos los tres puntos por lo cuales sabemos que pasará la gráfica.
Además sabemos que si la base 2, en este caso es una valor mayor que 1, la forma
de la gráfica será esta de aquí con una asíntota vertical en el eje Y.
O sea, obtenemos esta gráfica donde la asíntota la hemos representado con una
línea de puntos de color rojo. A continuación representamos la gráfica
de la función logaritmo en base 2 de X más 2 a partir de la gráfica anterior.
Vemos que la única diferencia es que en lugar de X, ahora aparece X más 2.
Por lo tanto simplemente se trata de desplazar hacia la izquierda dos
unidades, por lo tanto, menos 2, la coordenada X, la gráfica anterior.
Empezamos desplazando los puntos que habíamos obtenido en la gráfica anterior.
El punto (1, 0) se transforma en el punto (-1, 0) simplemente restando 2 a la
coordenada X El punto (2, 1) se transforma en el punto (0, 1) de nuevo
restando 2 a la coordenada X. Finalmente el punto (4, 2) se transforma
en el punto (2, 2). De nuevo restando 2 a la coordenada X.
Así obtenemos los tres puntos así observamos que la asíntota vertical que
teníamos en la gráfica anterior se desplaza dos unidades hacia la izquierda
por lo tanto pasaría por la coordenada menos dos.
Y la gráfica tendría esta forma, de nuevo teniendo en cuenta que la base 2 es un
valor mayor que 1. Mejor dibujado quedaría de esta forma
donde de nuevo la asíntota vertical la hemos dibujado con una línea de puntos de
color rojo. A partir de esta última gráfica you
podemos dibujar la gráfica del enunciado. En este caso observamos que la única
diferencia es que en lugar del logaritmo en base 2 de X más 2, aparece el mismo
logaritmo pero añadiendo menos 2. Esto significa que hay que desplazar
hacia abajo la gráfica anterior dos unidades simplemente restando menos 2 en
las coordenadas Y. Primero vamos a desplazar los puntos que
habíamos calculado en la gráfica anterior, o sea, (-1, 0), punto (0, 1), y
el punto (2, 2). El primero de ellos: (-1, 0) se
trasladaría restando 2 en la coordenada Y al punto (-1, -2).
El punto (0, 1) se trasladaría al punto (0, -1).
De nuevo restando dos unidades en la coordenada Y.
Y finalmente el punto (2, 2) se trasladaría al punto (2, 0), restando dos
unidades en la coordenada Y. Así obtenemos estos tres puntos.
La asíntota vertical continuará pasando por el menos 2 y finalmente la gráfica
sería la siguiente. A continuación si queremos calcular los
puntos de intersección con los ejes, para el eje X sabemos f de X va a ser igual a
0 por lo tanto el logaritmo en base 2 de X más 2 menos 2 tiene que ser igual a 0.
Pasamos el 2 al otro lado de la igualdad y obtenemos logaritmo en base 2 de X más
2 es igual a 2. El 2 lo podemos expresar como un
logaritmo, logaritmo en base 2 de 4 es igual a 2, you que 2 es el exponente que
hay que elevar a la base 2 para obtener el 4.
Así podemos escribir que X más 2 es igual a 4, o sea, X es igual a 4 menos 2 que es
igual a 2. El punto (2, 0) es el punto de
intersección con el eje X. O sea, este punto.
Para el eje Y, la X es igual a 0, por lo tanto f de 0 es igual a logaritmo en base
2 de 0 más 2 menos 2, o sea esto es igual al logaritmo en base 2 de 2 menos 2.
El logaritmo en base 2 de 2 es 1. 1 menos 2, o sea menos 1.
El punto (0, -1) es el punto de intersección con el eje Y.
O sea, este punto de aquí. Muchas gracias y nos vemos en el
siguiente vídeo.
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