En este vídeo mostraremos a través de un par de ejemplos cómo representar gráficamente algunas funciones exponenciales y logarítmicas utilizando transformaciones. De la misma forma que se ha visto you en semanas anteriores para otro tipo de funciones. En este primer ejemplo, se trata de dibujar la gráfica de la función exponencial 3 elevado a X menos 2 más 1 utilizando transformaciones. Para ello empezaremos dibujando la representación gráfica de la función 3 elevado a X. Sabemos que si X es igual a 0, f de 0 es igual a 3 a la 0, o sea 1, y que si X es igual a 1, f de 1 es igual a 3 a la 1, o sea 3. Por lo tanto sabemos que esta gráfica, 3 elevado a X, pasará por los puntos (0, 1), o sea, este punto, y por el punto (1, 3), por lo tanto, este es el punto (1, 3) y este el punto (0, 1). Además sabemos que si el valor de la base es mayor a 1, como en este caso, que 3 es mayor que 1, la forma de esta función exponencial, que pasa por estos puntos, es esta de aquí con una asíntota horizontal en el eje de las X, mejor representada sería este dibujo de aquí, donde la asíntota horizontal se ha representado con una línea de puntos de color rojo. A partir de la gráfica de esta función podemos representar la función 3 elevado a X menos 2 simplemente con un desplazamiento a la derecha de 2 unidades, you que esta es la misma función que esta. Excepto que en lugar de X, aparece X menos 2. Por lo tanto, simplemente hay que desplazar hacia la derecha dos unidades. Vemos cómo se trasladan estos dos puntos, el (0, 1) y el (1, 3) Teniendo en cuenta este desplazamiento hacia la derecha del eje de las X. Así el punto (0, 1) se transforma en el punto (2, 1), o sea, este punto, (2, 1), sumando dos unidades a la coordenada X. De la misma forma, el punto (1, 3) se transforma en el punto (3, 3), o sea, este de aquí, sumando dos unidades a la coordenada X. A partir de estos dos punto representamos la gráfica que pasa por ellos. La gráfica tendrá la misma forma que la gráfica anterior, you que de nuevo la base 3 es un valor mayor que 1. Así obtenemos la siguiente gráfica y de nuevo la asíntota horizontal aparece en el eje de las X y está representada por una línea discontinua de color rojo. A partir de esta última representación gráfica you podemos dibujar la gráfica de la función dada, 3 elevado a la X, menos 2 más 1, simplemente desplazando hacia arriba una unidad, la gráfica anterior. you que la única diferencia entre estas dos funciones es que en esta última aparece más 1. Así los puntos (2, 1), (3, 3), se transforman en los puntos (2, 2), o sea, este punto aquí es (2, 2) donde hemos sumado un 1 en la coordenada Y. El punto (3, 3) se transforma en el punto (3, 4) de nuevo hemos sumado un 1 en la coordenada Y. Si tenemos estos dos puntos, si dibujamos la gráfica que pasa por estos dos puntos hay que tener en cuenta que la asíntota horizontal también se ha desplazado hacia arriba una unidad. Por lo tanto estaría en el punto 1. Y si dibujamos la gráfica, tendríamos una gráfica de esta forma. O sea, mejor dibujada, tendríamos esta gráfica de aquí. Y con esto hemos dibujado la gráfica de la función 3 elevado a la X menos 2 más 1 con dos desplazamientos. Un primer desplazamiento hacia la derecha, y un último desplazamiento hacia arriba. Si para esta gráfica queremos calcular los puntos de intersección con los ejes, vemos que para el eje X, f de X tendría que ser 0. O sea 3 elevado a X menos 2 más 1 igual a 0. Obtenemos 3 elevado a X menos 2 igual a menos 1. Esto nunca es posible you que una potencia de 3 nunca será un valor negativo. Por lo tanto, efectivamente vemos que no hay ningún punto de intersección con el eje X. Si ahora miramos el eje Y para ello X es igual a 0, por lo tanto f de 0 es igual a 3 a la 0 menos 2 más 1, o sea, 3 igual a menos 2, más 1. Y obtenemos 1 dividido 3 al cuadrado, o sea 9 más 1. Si hacemos esta suma, unificamos denominador, 1 más 9 y obtenemos 10 dividido por 9. Y así hay un punto de intersección con el eje Y que viene dado por X 0 y la Y 10 dividido por 9. Este punto sería este punto de aquí de la gráfica. Y finalmente veamos un segundo ejemplo en el que se trata de dibujar la gráfica de la función logarítmica logaritmo en base 2 de X más 2, menos 2. Para ello, igual que antes, empezaremos dibujando la gráfica de la función logaritmo en base 2 de X. Para representar la gráfica de esta función empezaremos dibujando algunos puntos. Por ejemplo para X igual a 1, f de 1 es igual al logaritmo de 1 en base 2 de 1, o sea, 0 you que 0 es el exponente que hay que elevar a la base 2 para obtener 1. Así esta gráfica pasa por el punto (1, 0), este de aquí. Otro punto estaría dado por X igual a 2, f de 2 es igual al logaritmo en base de 2 de 2, o sea 1, el exponente que hay que elevar a la base 2 para obtener 2 y así obtenemos esta gráfica que pasará por el punto (2, 1). Si además calculamos un tercer punto, por ejemplo para X igual a 4, f de 4 es igual al logaritmo en base 2 de 4, que es 2, you que 2 es el exponente que hay que elevar a la base 2 para obtener 4 Esta gráfica pasará por el punto (4, 2), este de aquí. Así obtenemos los tres puntos por lo cuales sabemos que pasará la gráfica. Además sabemos que si la base 2, en este caso es una valor mayor que 1, la forma de la gráfica será esta de aquí con una asíntota vertical en el eje Y. O sea, obtenemos esta gráfica donde la asíntota la hemos representado con una línea de puntos de color rojo. A continuación representamos la gráfica de la función logaritmo en base 2 de X más 2 a partir de la gráfica anterior. Vemos que la única diferencia es que en lugar de X, ahora aparece X más 2. Por lo tanto simplemente se trata de desplazar hacia la izquierda dos unidades, por lo tanto, menos 2, la coordenada X, la gráfica anterior. Empezamos desplazando los puntos que habíamos obtenido en la gráfica anterior. El punto (1, 0) se transforma en el punto (-1, 0) simplemente restando 2 a la coordenada X El punto (2, 1) se transforma en el punto (0, 1) de nuevo restando 2 a la coordenada X. Finalmente el punto (4, 2) se transforma en el punto (2, 2). De nuevo restando 2 a la coordenada X. Así obtenemos los tres puntos así observamos que la asíntota vertical que teníamos en la gráfica anterior se desplaza dos unidades hacia la izquierda por lo tanto pasaría por la coordenada menos dos. Y la gráfica tendría esta forma, de nuevo teniendo en cuenta que la base 2 es un valor mayor que 1. Mejor dibujado quedaría de esta forma donde de nuevo la asíntota vertical la hemos dibujado con una línea de puntos de color rojo. A partir de esta última gráfica you podemos dibujar la gráfica del enunciado. En este caso observamos que la única diferencia es que en lugar del logaritmo en base 2 de X más 2, aparece el mismo logaritmo pero añadiendo menos 2. Esto significa que hay que desplazar hacia abajo la gráfica anterior dos unidades simplemente restando menos 2 en las coordenadas Y. Primero vamos a desplazar los puntos que habíamos calculado en la gráfica anterior, o sea, (-1, 0), punto (0, 1), y el punto (2, 2). El primero de ellos: (-1, 0) se trasladaría restando 2 en la coordenada Y al punto (-1, -2). El punto (0, 1) se trasladaría al punto (0, -1). De nuevo restando dos unidades en la coordenada Y. Y finalmente el punto (2, 2) se trasladaría al punto (2, 0), restando dos unidades en la coordenada Y. Así obtenemos estos tres puntos. La asíntota vertical continuará pasando por el menos 2 y finalmente la gráfica sería la siguiente. A continuación si queremos calcular los puntos de intersección con los ejes, para el eje X sabemos f de X va a ser igual a 0 por lo tanto el logaritmo en base 2 de X más 2 menos 2 tiene que ser igual a 0. Pasamos el 2 al otro lado de la igualdad y obtenemos logaritmo en base 2 de X más 2 es igual a 2. El 2 lo podemos expresar como un logaritmo, logaritmo en base 2 de 4 es igual a 2, you que 2 es el exponente que hay que elevar a la base 2 para obtener el 4. Así podemos escribir que X más 2 es igual a 4, o sea, X es igual a 4 menos 2 que es igual a 2. El punto (2, 0) es el punto de intersección con el eje X. O sea, este punto. Para el eje Y, la X es igual a 0, por lo tanto f de 0 es igual a logaritmo en base 2 de 0 más 2 menos 2, o sea esto es igual al logaritmo en base 2 de 2 menos 2. El logaritmo en base 2 de 2 es 1. 1 menos 2, o sea menos 1. El punto (0, -1) es el punto de intersección con el eje Y. O sea, este punto de aquí. Muchas gracias y nos vemos en el siguiente vídeo.
