Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Resolución de ecuaciones exponenciales
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
348 calificaciones
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De la lección
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial, representación gráfica, las funciones logarítmicas, representación gráfica, ecuaciones exponenciales, conversión entre expresiones exponenciales y logarítmicas, cambio de base en expresiones logarítmicas, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En el siguiente vídeo vamos a mostrar cómo resolver diferentes ecuaciones
exponenciales, o sea, ecuaciones donde las incógnitas aparecen como exponentes.
Para ello primero vamos a recordar brevemente las propiedades algebraicas
más importantes relacionadas con las funciones exponenciales.
Y a continuación, veremos la resolución de algunas ecuaciones exponenciales.
La primera propiedad nos dice que el producto de dos potencias con la misma
base, a elevado a x multiplicado por a elevado a y es igual a esa misma base a
elevada a la suma x más y. Por ejemplo, tres elevado a cinco
multiplicado por tres elevado a menos tres es igual a tres elevado a la suma de
los exponentes cinco más menos tres. O sea, tres elevado a dos.
La segunda propiedad nos dice que si en lugar de multiplicar dividimos dos
potencias con la misma base, a elevado a x dividido por a elevado a y, esto es
igual a esa misma base a, elevado a la diferencia de los exponentes x menos y.
Por ejemplo, ocho elevado a menos seis dividido entre ocho elevado a menos dos,
es igual a la base ocho elevado a la diferencia de los exponentes, o sea,
menos seis menos menos dos, esto es igual a ocho elevado a menos seis más dos que
es ocho elevado a menos cuatro. La tercera propiedad nos dice que si
tenemos una potencia a elevado a x elevada a otro exponente y, esto es igual
a a elevado al producto de los exponentes x por y.
Por ejemplo, dos elevado a cuatro y a su vez elevado a tres es igual a dos elevado
al producto de los exponentes cuatro por tres, o sea, dos elevado a doce.
La cuarta propiedad se refiere a que un producto elevado a un exponente x es
igual al producto de cada uno de los factores a y b elevado a ese mismo
exponente x. Por ejemplo, tres por cinco elevado a
siete es igual a tres elevado a siete por cinco elevado a siete.
La quinta propiedad es parecida a la anterior, pero si en lugar de un producto
a por b, tenemos un cociente a dividido por b elevado a un exponente x.
En este caso, esta expresión es igual al numerador a elevado al exponente x
dividido por el denominador b elevado a ese mismo exponente x.
Por ejemplo, tres dividido entre cinco elevado a dos es igual al cociente entre
el numerador tres elevado al exponente dos dividido por el denominador cinco
elevado al exponente dos. Finalmente, recordar que un valor
cualquiera a elevado a cero siempre es igual a uno y un valor cualquiera a
elevado a uno es igual a ese mismo valor a.
Así por ejemplo, un valor cualquiera, por ejemplo, tres elevado a cero es igual a
uno y otro valor cualquiera, por ejemplo doce elevado a uno es igual a doce.
En el vídeo anterior hemos visto que las funciones exponenciales son biyectivas,
por lo tanto, tenemos la siguiente propiedad que nos permitirá resolver
ecuaciones exponenciales. Esta propiedad nos dice que si tenemos
dos potencias con la misma base y éstas son iguales, esto es equivalente, o sea
si y solo si, a decir que esos exponentes x e y son iguales.
La implicación en este sentido la utilizaremos para resolver ecuaciones
exponenciales. A continuación planteamos el siguiente
ejercicio donde se trata de hallar el valor de x en la siguiente ecuación
exponencial. Primero de todo, vemos que en este caso
podemos conseguir una igualdad donde aparezcan dos potencias con la misma
base. Veamos que claramente veinticinco se
puede escribir como cinco al cuadrado, por lo tanto, tenemos cinco al cuadrado
elevado a x más dos que es igual a cinco elevado a tres x menos cuatro.
Una potencia y una potencia, como hemos visto antes se multiplican los
exponentes, por tanto esto es igual a cinco elevado a dos por x más dos igual a
cinco elevado a tres x menos cuatro. Vemos que tenemos una igualdad donde
aparecen dos potencias con la misma base, si aplicamos esta propiedad en este
sentido, podemos escribir que los exponentes deben ser iguales, por lo
tanto dos x más dos debe ser igual a tres x menos cuatro.
Ahora vemos que hemos obtenido una ecuación de primer grado.
Resolvemos el paréntesis, dos x más cuatro es igual a tres x menos cuatro,
pasamos los términos con x a un lado de la igualdad, tenemos dos x menos tres x
es igual a menos cuatro menos cuatro, por lo tanto, menos x es igual a menos ocho y
podemos escribir que x es igual a ocho. Por tanto, el resultado de la ecuación
exponencial es x igual a ocho. Veamos un segundo ejemplo donde se trata
de hallar el valor de x en esta ecuación. Vemos de nuevo que también es fácil
obtener, en este caso una igualdad con dos potencias con la misma base.
Vemos que nueve se puede expresar como tres al cuadrado.
Y uno dividido por veintisiete se puede expresar como uno dividido por tres
elevado a tres, o sea, tres elevado a menos tres.
Utilizamos estas dos igualdades en la expresión dada y podemos escribir que
tres al cuadrado todo ello elevado a la diez menos x al cuadrado es igual a tres
elevado a menos tres, todo ello elevado a x al cuadrado más tres x.
Una potencia de una potencia, se multiplican los exponentes y tenemos tres
elevado a dos, diez menos x al cuadrado es igual a tres elevado a menos tres
multiplicado por x al cuadrado más tres x.
Ahora vemos que tenemos una igualdad con dos potencias con la misma base, de
nuevo, utilizamos esta propiedad en este sentido, y podemos escribir que los
exponentes de estas dos expresiones deben ser iguales.
Por lo tanto, dos multiplicado por diez menos x al cuadrado debe ser igual a
menos tres multiplicado por x al cuadrado más tres x.
Resolvemos los paréntesis, veinte menos dos x al cuadrado es igual a menos tres
por x al cuadrado menos nueve x. Vemos que obtenemos una ecuación de
segundo grado, para resolverla pasamos todos los términos a un lado de la
igualdad. Así podemos escribir que menos dos x al
cuadrado más tres x al cuadrado, más nueve x, más veinte es igual a cero.
Menos dos x al cuadrado más tres x al cuadrado, podemos realizar la suma porque
son dos expresiones que tienen la misma potencia de x y podemos escribir x al
cuadrado, más nueve x, más veinte es igual a cero.
Resolvemos la ecuación de segundo grado utilizando la fórmula que you conocemos,
x es igual a menos el valor que multiplica a la x, o sea, menos nueve más
menos la raíz cuadrada de nueve al cuadrado, o sea, ochenta y uno menos
cuatro por el término que multiplica a x al cuadrado, uno en este caso por el
término independiente, o sea veinte, dividido por dos multiplicado por el
término que multiplica a x al cuadrado dos por uno, esto es igual a menos nueve
más menos raíz cuadrada de ochenta y uno menos ochenta dividido por dos, o sea,
esto es igual a menos nueve más menos raíz cuadrada de uno dividido por dos.
La raíz cuadrada de uno es uno, por lo tanto nos queda que esto es igual a menos
nueve más menos uno dividido entre dos. Así obtenemos las dos soluciones de la
ecuación de segundo grado, una utilizando signo positivo x es igual a menos nueve
más uno dividido entre dos, o sea menos ocho dividido entre dos, esto es menos
cuatro, la primera solución y una segunda solución utilizando el signo negativo
menos nueve menos uno dividido entre dos. Esto es igual a menos diez dividido entre
dos, o sea, menos cinco. Así, la soluciones de la ecuación
exponencial son x igual a menos cuatro y x igual a menos cinco.
Veamos un último ejemplo de resolución de una ecuación exponencial, en este caso se
trata de resolver esta ecuación exponencial y vemos que no podemos
conseguir al igual que hemos hecho en los ejemplos anteriores una igualdad en al
que aparezcan dos potencias con la misma base.
No obstante, vemos que en este caso el exponente x siempre se puede escribir con
la base tres, para ello vemos que nueve elevado a x se puede escribir como tres
al cuadrado elevado a x, el resto lo copiamos igual, realizamos el paréntesis,
tres por uno es tres más tres multiplicado por tres elevado a x menos
uno, se suman los exponentes y podemos escribir que es igual a tres elevado a x.
Tres al cuadrado elevado a x también se puede reescribir como tres elevado a x,
elevado al cuadrado menos tres a la x es igual a tres más tres x.
Como hemos dicho, vemos ahora claramente que el exponente x siempre aparece con la
base tres. En este caso, podemos realizar un cambio
de variable y escribir tres elevado a x como una nueva variable t.
Utilizando esta igualdad tenemos que t al cuadrado menos t es igual a tres más t.
Y ahora vemos que hemos obtenido una ecuación de segundo grado donde la
incógnita es la t. Pasamos todos los términos a un lado de
la igualdad, escribimos t al cuadrado, menos t, menos t, menos tres es igual a
cero. O sea, t al cuadrado menos dos veces t
menos tres es igual a cero. Resolvemos la ecuación de segundo grado,
tanto t es igual a menos el valor que multiplica la incógnita t, o sea, dos más
menos raíz cuadrada, dos al cuadrado, cuatro menos cuatro por el término que
multiplica t al cuadrado, uno por el término independiente menos tres dividido
por dos por el término que multiplica t al cuadrado, uno.
Esto es igual a dos más menos, la raíz cuadrada de cuatro más doce dividido por
dos, o sea, dos más menos la raíz cuadrada de dieciséis dividido entre dos
y esto es igual a dos más menos cuatro dividido entre dos.
Ahora you obtenemos las dos soluciones de la ecuación de segundo grado, una con el
signo positivo y otra con el signo negativo o sea, t es igual a dos más
cuatro dividido entre dos, o sea seis entre dos es igual a tres.
La segunda solución t es igual a dos menos cuatro dividido entre dos es igual
a menos dos entre dos, lo que es igual a menos uno.
Ahora bien, simplemente hemos obtenido el valor de la incógnita t y necesitamos el
valor de la x, para ello substituimos la t en esta ecuación y tenemos que si la t
es igual a tres podemos escribir que tres elevado a x es igual a tres y por tanto,
ahora obtenemos una igualdad con dos potencias con la misma base y podemos
utilizar esta propiedad con este sentido y escribir que los exponentes son
iguales. Tres es igual a tres elevado a uno, tanto
podemos escribir que el exponente x es igual a uno, y obtenemos la primera
solución de la ecuación exponencial. Para el segundo valor de la t, o sea, si
t es igual a menos uno, obtenemos la igualdad tres elevado a x debe ser igual
a menos uno. En este caso observamos que una potencia
donde la base es un número positivo, no puede dar lugar nunca a un valor
negativo, por lo tanto esta igualdad nunca se cumple y obtenemos una única
solución que es x igual a uno. Muchas gracias y nos vemos en el
siguiente vídeo.
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