Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Resolución de ecuaciones logarítmicas
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
328 calificaciones
De la lección
Funciones exponenciales y logarítmicas
La función exponencial, representación gráfica, las funciones logarítmicas, representación gráfica, ecuaciones exponenciales, conversión entre expresiones exponenciales y logarítmicas, cambio de base en expresiones logarítmicas, ecuaciones logarítmicas, aplicaciones.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este video vamos a mostrar cómo resolver ecuaciones logarítmicas.
Para ello utilizaremos las propiedades algebraicas de los logaritmos que hemos
visto en el vídeo anterior y la siguiente propiedad que viene dada por el hecho de
que las funciones logarítmicas son biyectivas.
Concretamente esta propiedad nos dice que el logaritmo en base b de dos valores x e
y son iguales sí y solo si estos dos valores x e y son iguales.
O sea, estas dos igualdades son equivalentes.
Utilizaremos esta implicación en este sentido para resolver ecuaciones
logarítmicas y fijémosnos que en el otro sentido es evidente, you que si tenemos
dos valores x e y que son iguales, está claro que sus logaritmos serán iguales.
Veamos ahora cómo resolver el siguiente ejercicio en el que se trata de hallar el
valor de x de la siguiente ecuación logarítmica.
Para ello si queremos utilizar esta propiedad en este sentido queremos
obtener una igualdad con dos logaritmos. Para ello pasamos los términos que no
tienen logaritmo a un lado de la igualdad y tenemos logaritmo en base tres de dos x
menos siete es igual a siete menos cinco por tanto logaritmo en base tres de dos x
menos siete es igual a dos y ahora queremos transformar este dos en un
logaritmo. Para ello vemos que dos es igual al
logaritmo en base tres, ¿de qué valor? Si dos es el exponente que hay que elevar
a tres para obtener este valor de aquí, simplemente sería tres al cuadrado.
Efectivamente, dos es el exponente que hay que elevar a tres para obtener tres
al cuadrado. Así, sustituímos el dos por un logaritmo,
logaritmo en base tres de tres al cuadrado.
Ahora sí que podemos aplicar you esta propiedad y obtenemos que dos x menos
siete debe ser igual a tres al cuadrado. Tenemos una ecuación de primer grado.
Pasamos los términos que no tienen x a un lado de la igualdad.
O sea, dos x es igual a nueve más siete. Dos x es igual a dieciseis, despejamos la
x pasando el dos dividiendo y obtenemos que la solución o una posible solución de
esta ecuación logarítmica es x igual a ocho.
Y digo podría ser una solución porque antes de confirmar que ésta es la
solución de la ecuación logarítmica hay que comprobar que este valor no hace que
el logaritmo de la ecuación dada sea un valor negativo.
O sea, hay que comprobar qué pasa si sustituyo x igual a ocho en la ecuación.
Obtenemos en este caso el logaritmo en base tres de dos por ocho menos siete más
cinco igual a siete. Y en este caso, el valor dos por ocho,
dieciseis menos siete es igual a nueve. Como este valor es positivo, este
logaritmo efectivamente es dos más cinco igual a siete.
Si la solución que obtenemos hace que la ecuación dada tenga un logaritmo con un
valor negativo entonces esa solución no sería una solución de la ecuación
logarítmica. Por lo tanto, recordemos que en las
ecuaciones logarítmicas siempre hay que comprobar los resultados.
En este caso, confirmamos que efectivamente que x igual a ocho es una
solución de la ecuación logarítmica. Veamos un segundo ejemplo, en éste se
trata de hallar el valor de x en la siguiente ecuación logarítmica.
Para ello aplicamos las propiedades algebraicas y el valor que multiplica a
un logaritmo puede pasar dentro del logaritmo como una potencia.
Por lo tanto, podemos escribir que esta igualdad se puede expresar como el
logaritmo en base diez, you que no aparece ninguna base de cuatro elevado a
x al cuadrado menos x menos tres. Esto es igual a este logaritmo también se
puede expresar como un logaritmo donde el tres pasa dentro como una potencia.
Por lo tanto, el logaritmo de uno partido por cuatro elevado a tres.
Ahora sí que podemos aplicar esta propiedad en este sentido y por lo tanto
podemos decir que cuatro elevado a x al cuadrado menos x menos tres debe ser
igual a uno dividido por cuatro elevado a tres.
Ahora nos fijamos que esto realmente es una ecuación exponencial y para resolver
una ecuación exponencial habíamos visto que podemos aplicar la propiedad que
teníamos, que si dos potencias con la misma base esto es igual a decir que los
exponentes son iguales. Así en este caso queremos obtener una
igualdad con dos potencias con la misma base y vemos que efectivamente en este
caso se puede hacer, you que podemos expresar uno dividido por cuatro como
cuatro elevado a menos uno y menos uno elevado a tres sería menos tres.
Así tenemos una igualdad con dos potencias con la misma base, aplicamos
esta misma propiedad y podemos decir que los exponentes x elevado al cuadrado
menos x menos tres y menos tres son iguales.
Ahora vemos que obtenemos una ecuación de segundo grado, pasamos todos los términos
a un lado de la igualdad y tenemos la siguiente igualdad: o sea, x al cuadrado
menos x es igual a cero. Resolvemos esta ecuación de segundo
grado, por lo tanto x es igual a menos, el término que multiplica a la x, o sea
más uno, más menos raíz cuadrada de uno al cuadrado menos cuatro por el término
que multiplica x cuadrado, uno, por el término independiente que en este caso es
cero dividido por dos por uno. O sea, esto es igual a uno más menos uno
menos uno es cero y raíz cuadrada de uno es uno dividido por dos.
Así tenemos dos soluciones: una solución que viene dada por el signo positivo, uno
más uno dividido entre dos, o sea dos dividido entre dos que es uno y una
segunda solución que viene dada por el signo negativo uno menos uno dividido
entre dos, o sea cero dividido por dos que es cero.
De nuevo estas dos soluciones, x igual a uno y x igual a cero hay que comprobarlas
antes de confirmar que realmente son las soluciones de esta ecuación logarítmica.
Para ello simplemente como hemos hecho antes, sustituimos estos dos valores en
la ecuación logarítmica dada. Así tenemos que uno al cuadrado menos uno
menos tres multiplicado por el logaritmo de cuatro debe ser igual a por tres
logaritmo de un cuarto. Si nos fijamos antes de hacer los
cálculos, tenemos un logaritmo, logaritmo de 4 y logaritmo de un cuarto, estos
valores siempre van a ser positivos, cuatro es positivo y un cuarto también es
positivo. Por lo tanto, seguro que esta igualdad se
cumplirá. De la misma forma para x igual a cero,
Tenemos que cero elevado al cuadrado menos cero menos tres, menos logaritmo de
cuatro debe ser igual a tres por logaritmo de un cuarto.
De nuevo no hace falta hacer los cálculos, porque tenemos un logaritmo de
cuatro y un logaritmo de un cuarto que efectivamente son valores positivos, por
lo tanto you podemos confirmar que estos dos valores: x igual a cero y x igual a 1
son las soluciones de la ecuación logarítmica dada.
Veamos un tercer y último ejemplo de resolución de una ecuación logarítmica,
en este caso se trata de resolver esta ecuación donde aparecen varios logaritmos
para unificar estos logaritmos y tener tan sólo un logaritmo aplicamos las
propiedades algebraicas que hemos visto antes y podemos transformar la suma de
dos logaritmos, como elsuma logaritmo de un producto o la diferencia de dos
logaritmos, como el logaritmo de un cociente.
Además si hay un valor que multiplica a un logaritmo podemos pasarlo dentro del
logaritmo como un exponente. Así tenemos que el primer logaritmo se
puede transformar en el logaritmo de dos al cuadrado.
Este logaritmo más el logaritmo de x al cuadrado menos uno, menos el logaritmo de
cuatro x menos uno igual a cero. Estos tres logaritmos se pueden
transformar a la vez como un solo logaritmo, con la misma base, es decir
base diez de, cuando hay una suma transformamos como un producto, dos al
cuadrado multiplicado por x al cuadrado menos uno, tengo aquí una resta de dos
logaritmos, el primero sería el numerador, el producto que you tenemos y
el último sería el denominador que sería cuatro x menos uno, e igual a cero.
De nuevo, cualquier valor lo podemos transformar en un logaritmo you que en
este caso el cero es el exponente que hay que elevar a la base diez para obtener
¿qué valor?, en este caso, diez elevado a cero.
O sea, cero es el exponente que hay que elevar a diez, la base, para obtener este
valor, diez elevado a cero. Así podemos transformar el cero, como un
logaritmo, logaritmo en base diez, por tanto you no lo escribimos de diez
elevado a cero. Ahora aplicamos esta propiedad en este
sentido y podemos escribir que cuatro por x elevado a cuadrado menos uno dividido
por cuatro x menos uno es diez a la cero que es uno.
Transformamos esta igualdad, cuatro x al cuadrado menos uno es igual a cuatro x
menos uno. Simplemente, éste que está dividiendo
pasa al otro lado multiplicando al uno y tenemos que cuatro x al cuadrado menos
cuatro, operando el paréntesis, es igual a cuatro x menos uno.
O sea, vemos que tenemos una ecuación de segundo grado, pasamos todos los términos
a un lado de la igualdad y tenemos que es cuatro x al cuadrado menos cuatro x, el
menos uno pasa sumando, menos cuatro más uno es menos tres es igual a cero.
Resolvemos esta ecuación de segundo grado por lo tanto x es igual a menos el valor
que multiplica a la x, o sea cuatro, más menos raíz cuadrada de este cuatro al
cuadrado, o sea dieciseis, menos cuatro por el término que multiplica a x al
cuadrado, o sea cuatro, por el término independiente menos tres.
Todo ello dividido por dos por el término que multiplica a x al cuadrado, o sea
cuatro. Esto es igual a cuatro más menos raíz
cuadrada de dieciseis más, menos por menos es más, cuatro por cuatro por tres
es cuarenta y ocho, dividido cuatro por dos, ocho.
Esto es igual a cuatro, más menos la raíz cuadrada de sesenta y cuatro dividido por
ocho, o sea cuatro más menos ocho dividido por ocho.
Así las dos soluciones vienen dadas por estos dos signos, positivo y negativo, o
sea x es igual a cuatro más ocho dividido entre ocho, o sea, doce dividido entre
ocho igual a tres medios. Y la segunda solución es x es igual a
cuatro menos ocho dividido entre ocho o sea, esto es igual a menos cuatro,
dividido entre ocho, o sea menos un medio.
Las dos soluciones son: una x es igual a tres medios y la otra x es igual a menos
un medio, éstas son las candidatas a la solución de la ecuación logarítmica.
Pero antes de confirmar que son solución, tenemos que comprobar que no hacen que
aparezca un logaritmo de un valor negativo.
En el primer caso si la x es igual a tres medios, sustituyendo tenemos que dos por
el logaritmo de dos más el logaritmo de tres medios al cuadrado, menos uno, menos
logaritmo de cuatro x menos uno, tiene que ser igual a cero.
En este caso tenemos que comprobar que este valor sea un valor positivo y éste
también un valor positivo. Vemos que este valor nueve, dividido por
cuatro menos uno es un valor positivo y cuatro x menos uno, aquí me he olvidado
de sustituir la x por tres medios, o sea cuatro por tres medios menos uno, eso
también es un valor positivo. Por lo tanto esta solución sí que es
solución de la ecuación logarítmica. En cambio si comprobamos para la segunda
solución, menos un medio, sustituímos dos por logaritmo de dos más el logaritmo de
menos un medio al cuadrado menos uno, menos el logaritmo de cuatro por menos un
medio menos uno igual a cero. Vemos que en este caso, este valor de
aquí es un valor negativo, you que es un medio menos uno es igual a menos un medio
y este valor también es negativo, cuatro por menos un medio menos uno, claramente,
es un valor negativo. Por lo tanto, tenemos que esta solución
no puede ser una solución de la ecuación logarítmica.
Así de las dos soluciones encontradas, únicamente la primera, tres medios, es
una solución de la ecuación logarítmica.
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