Al comienzo de este tema ya hemos descrito algunos subconjuntos de los números reales. No obstante, necesitamos algún mecanismo para describir conjuntos de números más pequeños. Veamos un ejemplo, "describir el conjunto de números reales mayores o iguales que uno y menores que tres". Este conjunto incluye, por ejemplo, números como el uno, el 1,5, el dos, 2,5, el 2,9, pero no el tres. Por tanto, debemos encontrar alguna forma sencilla para describir este conjunto de números. La forma que se utiliza es mediante una ordenación, es decir, este conjunto estará formado por todos los números reales tales que son mayores o iguales que uno y son menores que tres. De esta forma, podemos describir conjuntos de números más pequeños que los naturales, los racionales, los enteros, etcétera. Una manera alternativa de escribir este conjunto podría ser la siguiente, el conjunto de números reales tales que "uno menor o igual que "a" menor que tres". Uno de los subconjuntos más importantes que vamos a tratar, se llama "intervalo". Intervalo es un conjunto de números reales entre dos números "a" menor que "b". A continuación, vamos a ver unos cuantos ejemplos para identificar estos intervalos. En este ejercicio disponemos de seis ejemplos de intervalos. El primero de ellos se trata del intervalo cerrado de extremos "uno" y "tres". Este intervalo representa el conjunto de números reales, tales que "uno" es menor o igual que "a", menor o igual que "tres". El segundo de ellos representa el intervalo cerrado de extremos "menos dos", "cuatro", es decir, el conjunto de números reales tales que "menos dos" es menor o igual que "a", menor o igual que cuatro". El tercero de ellos representa el intervalo abierto por la izquierda de extremo cero y cerrado por la derecha de extremo seis, es decir, el conjunto de números reales tales que "cero es menor que "a", menor o igual que seis". Sigamos con el siguiente, el intervalo abierto de extremos "menos dos, dos" representa el conjunto de números reales tales que "menos dos" es menor que "a", menor que dos", y el intervalo cerrado por la izquierda de extremo "menos uno" y abierto por la derecha de extremo cinco" representa el conjunto de números reales tales que "menos uno es menor o igual que "a", menor que cinco". Los dos últimos son un poco distintos. El primero de ellos se trata del intervalo abierto de extremo menos infinito, cero. Es decir, se trataría del conjunto de números reales tales que son menores que cero. Y, finalmente, el último de ellos se trata del intervalo cerrado por la izquierda de extremo dos y por la derecha infinito. Esto representa el conjunto de números reales tales que "a" es mayor o igual que "dos". A menudo, necesitaremos tratar con conjuntos de números reales que son mayores que un intervalo. Para ello necesitaríamos algún sistema, algún mecanismo, para describir estos conjuntos. Veamos el siguiente ejemplo, describir como un intervalo todos los números reales entre el "dos" y el "cinco" más los números reales entre el "cuatro" y el "diez". Los números entre el "dos" y el "cinco", es fácil describirlos como un intervalo, sería el intervalo cerrado de extremos "dos", "cinco". De la misma manera, describir los números entre "cuatro" y "diez" sería el intervalo de extremos "cuatro" y "diez" cerrado. Pero, ¿cómo podemos describir los números reales formados por los dos intervalos? Para ello, podemos utilizar una descripción formal indicando que se trata de todos los números reales que son mayores o iguales que "dos", menores o iguales que "cinco", o mayores o iguales que "cuatro" y menores o iguales que "diez". Esta forma de expresar nos permite describir conjuntos más amplios de intervalos. Concretamente, esta forma de escribir dos intervalos se llama "la unión de dos intervalos" y se describiría como "dos", "cinco", intervalo cerrado cinco, unión con intervalo cerrado "cuatro", "diez". Esto define una nueva operación en el conjunto de los intervalos, la unión de dos intervalos "a" y "b" es, simplemente, el conjunto de los números reales que pertenecen a "a" o pertenecen a "b". De la misma manera que definimos la unión, se define la intersección, la intersección de dos conjuntos "a" y "b", que se describe de esta manera, estaría formado por todos aquellos números reales que pertenecen a "a" y pertenecen a "b". En este ejercicio vamos a ver cómo operamos con intervalos. En este primer ejemplo, nos piden la unión entre el intervalo "menos tres, cero y el intervalo menos uno, infinito". La forma más sencilla de resolver este tipo de ejercicios es haciendo una representación gráfica. El primer intervalo, "menos tres", cero", lo podemos representar de esta manera, y el segundo intervalo, "menos uno, infinito", lo podemos representar de esta manera. La unión de ambos intervalos estará formada por todos los números reales que pertenecen, a la vez, a uno y a otro conjunto, es decir, estaría formada por todos estos números reales y todos estos números reales. Uniendo ambos conjuntos obtendríamos el conjunto desde menos tres hasta infinito, es decir, el intervalo "menos tres, infinito". Veamos otro ejemplo, en este caso, se trata de los mismos intervalos de antes pero debemos hallar la intersección. De nuevo, representamos ambos intervalos, el intervalo "menos tres, cero y el intervalo menos uno, infinito". En esta ocasión, debemos hallar la intersección de ambos conjuntos, es decir, el conjunto de valores que pertenecen a la vez al conjunto "menos tres, cero" y al conjunto "menos uno, infinito". La intersección de ambos conjuntos será el intervalo "menos uno, cero". En este ejemplo, los intervalos vienen definidos por un conjunto. Así, primero vamos a presentar el conjunto de los números reales "menores o iguales que dos", esta sería la representación del conjunto de los reales menores o iguales que dos. A continuación vamos a representar el conjunto de elementos "mayores o iguales que menos dos". En este caso nos piden todos aquellos valores que pertenecen a ambos intervalos a la vez, es decir, la intersección de ambos intervalos y, como hemos visto antes, correspondería a todos los puntos que pertenecen a un intervalo y pertenecen al otro intervalo, es decir, el intervalo entre "menos dos y dos". De manera parecida, nos pueden preguntar por la unión de los dos intervalos anteriores. De nuevo, representamos primero el conjunto de todos los elementos "menores o iguales que dos" y representamos también todos los elementos "mayores o iguales que menos dos". En este caso, la unión de ambos intervalos es el conjunto de elementos que pertenecen a uno o a otro conjunto, por lo que obtenemos el intervalo "menos infinito, infinito" o, de manera equivalente, toda la recta real. Finalmente, vamos a resolver el último ejercicio. En este caso debemos hallar la intersección entre dos intervalos. Primero de todo, vamos a representar el intervalo formado por todos los números reales "menores o iguales que menos dos", este se podría representar de esta manera. A continuación, representamos todos los números reales "mayores o iguales que dos", que lo podríamos representar de esta manera. Ahora nos piden el conjunto de números reales que pertenecen, a la vez, al primer conjunto y al segundo junto pero, si nos fijamos, estos dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, es decir, el intervalo intersección de estos dos intervalos es el intervalo vacío, que podríamos representar mediante el símbolo de conjunto vacío.
