Curso diseñado para facilitar la entrada del estudiante en los cursos de cálculo de primer semestre de prácticamente cualquier grado universitario, con especial énfasis en Ciencias e Ingeniería.
Valores trigonométricos más comunes
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Pre-Calculus
321 calificaciones
De la lección
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas, identidades fundamentales, representaciones gráficas, resolución de triángulos rectángulos, resolución de ecuaciones trigonométricas, resolución de triángulos cualesquiera.
Conoce a los instructores
Jaume PujolProfesor titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
Mercè VillanuevaProfesora Titular
Departamento de Ingeniería de la Información y de las Comunicaciones
En este vídeo veremos cómo calcular los valores trigonométricos
de aquellos angulos para los cuales es fácil obtener su valor exacto.
Como you hemos recordado en el primer vídeo de la semana,
si consideramos una esfera de radio uno y un angulo theta cualquiera,
las coordenadas x e y en el punto de la circunferencia
determinado por el angulo theta, se corresponde con el coseno y seno
de theta respectivamente.
O sea, x que es el coseno de theta e y es el seno de theta.
Además para cualquier angulo theta, las coordenadas x e y
se pueden obtener fácilmente a partir de las coordenadas correspondientes
a su angulo de referencia alfa del primer cuadrante, o
sea, partir del seno de alfa y coseno de alfa.
Concretamente si el angulo theta se encuentra en
el segundo cuadrante, las coordenadas del correspondiente
punto serían menos coseno de alfa seno de
alfa. Si el angulo theta se encuentra en el
tercer cuadrante, las coordenadas de este punto serían menos
coseno de alfa menos seno de alfa y finalmente si el angulo se encuentra
situado en el cuarto cuadrante, las coordenadas de este
punto serían coseno de alfa menos seno de alfa.
Así tenemos que las razones trigonométricas
de un angulo cualquiera se pueden reducir
siempre a las de un angulo del
primer cuadrante, al llamado angulo de referencia.
A través de los siguientes ejercicios, iremos
calculando las razones trigonométricas de aquellos angulos para
los cuales podemos calcular su valor exacto.
En este primer ejercicio, por ejemplo, veremos cual
es el coseno y seno de algunos angulos extremos.
Para el angulo de cero grados, las coordenadas de este punto son uno, cero.
Por lo tanto, el coseno de seno es uno y el seno de cero es cero.
Para el angulo de noventa grados, las coordenadas de este punto por
lo tanto el coseno de noventa es cero y el seno es uno.
Para un angulo de ciento ochenta grados como las coordenadas son menos uno, cero,
el coseno de ciento ochenta es menos uno y el seno de ciento ochenta es cero.
Y finalmente para un angulo de doscientos setenta grados, las
coordenadas son cero, menos uno, por lo tanto, el coseno de
doscientos setenta es cero y el seno es menos uno.
En este segundo ejercicio veremos como calcular el valor exacto del coseno de
pi dividido por seis radianes y seno de pi dividido por seis radianes.
A partir de estos valores también veremos como calcular el
coseno y el seno del angulo pi dividido por tres radianes.
Sabemos que el coseno de pi dividido por seis y el seno de pi dividido
por seis, son las coordenadas x e y de este punto, por lo
tanto, la longitud de este lado es x y la longitud de este lado del triángulo es y.
Además vemos que pi dividido por seis, es un angulo de treinta grados.
Si dibujamos este triángulo vertical,
este angulo será de sesenta
grados, este es el angulo pi dividido por seis o sea de
treinta grados y este de noventa grados. Si duplicamos
este triángulo obtenemos un triángulo equilátero o
sea, un triángulo que tiene todos sus lados iguales y todos
sus angulos también iguales. Además sabemos que la longitud de este
lado es el radio de la circunferencia, por lo tanto, la longitud es uno.
Si todos los lados son iguales, la longitud de este lado también es uno.
Y por lo tanto esta parte de aquí es exactamente la mitad, un medio.
Así you tenemos que el valor
de y es igual a un medio. Para obtener el valor de x o sea, la
longitud de este lado, utilizamos el teorema de Pitágoras, o sea sabemos que
x al cuadrado más un medio al cuadrado es igual a uno.
Partir de aquí despejamos x al cuadrado que
es igual a uno menos uno dividido por cuatro
o sea tres dividido por cuatro y obtenemos que x es igual a más menos la raíz
cuadrada de tres cuartos, o sea más menos raíz cuadrada de tres dividido por dos.
Como x debe ser un valor positivo, consideramos que x
es igual a raíz cuadrada de tres dividido por dos.
Por lo tanto, you tenemos también el valor de x, raíz cuadrada
de tres dividido por dos. Para obtener los valores de coseno y
seno del angulo pi dividido por tres,
observamos a través de este dibujo que la
longitud de este lado es también x y la longitud de este lado es también y.
Por lo tanto el coseno de pi dividido por tres es igual al seno de pi
dividido por seis que you hemos calculado antes, y sabemos que es un medio.
De la misma forma el seno de pi dividido por tres es igual al coseno
de pi dividido por seis que sabemos que es raíz cuadrada de tres dividido por dos.
Así hemos calculado el coseno y seno del angulo de
pi dividido por seis y a partir de estos valores hemos
calculado también el coseno y seno de pi dividido por tres.
En este tercer ejercicio se trata de calcular el valor exacto de coseno de
doscientos cuarenta grados y seno de doscientos
cuarenta grados utilizando su angulo de referencia.
Podemos ver que el angulo de referencia del
angulo doscientos cuarenta es el angulo de sesenta grados.
Además en el ejercicio anterior, you hemos calculado el valor de
coseno de sesenta grados que es el coseno de
pi dividido por tres y este valor era un medio.
También habiamos calculado el valor de seno de
sesenta grados, you que es seno de pi
dividido por tres y este valor era igual a raíz cuadrada de tres dividido por dos.
Por lo tanto.
las coordenadas de este punto son un medio y
raíz cuadrada de tres dividido por dos. A partir de estos valores y teniendo en
cuenta que el angulo doscientos cuarenta se encuentra en el tercer cuadrante,
tenemos que las coordenadas x e y para el punto correspondiente
al angulo de doscientos cuarenta grados serán menos coseno
de sesenta, menos seno de sesenta,
o sea menos un medio, menos raíz cuadrada de tres dividido por dos.
Así tenemos que el coseno de doscientos cuarenta
grados es igual a menos un medio y
el seno de doscientos cuarenta grados es igual
a menos raíz cuadrada de tres dividido por dos.
En este último ejercicio veremos
como calcular el valor exacto de coseno de
menos pi cuartos y seno de menos pi cuartos.
De nuevo, utilizando el angulo de referencia.
En este caso el angulo de referencia vemos que
es pi cuartos, o sea cuarenta y cinco grados.
Por lo tanto, empezaremos calculando las coordenadas de este punto.
Para ello dibujamos el triángulo
rectángulo, este de aquí, y vemos que dos de sus angulos son iguales, cuarenta
y cinco grados y cuarenta y cinco grados, y este es el angulo de noventa grados.
Por lo tanto, estos dos lados serán iguales.
Este lado de aquí corresponde al radio de la circunferencia y por lo tanto sabemos
que vale uno.
Si utilizamos el teorema de Pitágoras, vemos que x al
cuadrado más x al cuadrado debe ser igual a uno.
Por lo tanto, dos x al cuadrado es igual a uno y tenemos que x al cuadrado
es igual a un medio y por tanto x es igual a más menos raíz
cuadrada de un medio o sea, más menos raíz cuadrada de uno,
uno, dividido por raíz cuadrada de dos.
Si multiplicamos numerador y denominador por raíz cuadrada de dos obtenemos más
menos raíz cuadrada de dos dividido por raíz cuadrada de dos por raíz
cuadrada de dos o sea, más menos raíz cuadrada de dos dividido por dos.
Teniendo en cuenta que x debe ser un
valor positivo tomamos x igual a raíz cuadrada de
dos dividido por dos.
Así tenemos que las coordenadas de este punto son raíz cuadrada
de dos dividido por dos, raíz cuadrada de dos dividido por dos.
A partir de estos valores calculamos las coordenadas para este punto de aquí,
o sea las coordenadas correspondientes al angulo menos pi dividido por cuatro.
Teniendo en cuenta que este es un angulo del
cuarto cuadrante, tenemos que las coordenadas x e y, serán
coseno de pi cuartos menos
seno de pi cuartos. Por lo
tanto, raíz cuadrada de dos dividido por dos, menos raíz cuadrada de dos dividido
por dos. Así tenemos que el coseno de menos
pi cuartos es igual a raíz cuadrada de dos dividido por dos y seno
de menos pi cuartos es igual a menos raíz cuadrada de dos dividido por dos.
A través de los ejercicios anteriores, hemos obtenido las razones
trigonométricas del coseno y seno para los siguientes angulos del primer cuadrante.
Así también
tenemos los valores del coseno y seno de todos aquellos angulos para
los cuales el angulo de referencia sea uno de los que aparecen en esta tabla.
Osea tenemos el coseno y seno para todos los angulos que ap arecen en
el gráfico de la derecha expresados en
radianes, conjuntamente con el correspondiente coseno y seno.
Muchas gracias y nos vemos
en el siguiente vídeo.
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