שלום. בשיעורים הקרובים אנחנו נעסוק במשפט פיתגורס. משפט או עובדה מתמטית שמוכרת למרביתכם מבית הספר, אבל אנחנו נעסוק בה מכמה וכמה היבטים וננסה להתוודע דרכה לכמה מהרעיונות היסודיים במתמטיקה: רעיון ההוכחה ועוד רעיונות שיבואו בהמשך. העניין בגיאומטריה הוא עניין קדום. יש לנו כאן במצגת טבלת חרס מן התקופה הבבלית מ-1800 לפני הספירה, כ-1200 שנה לפני פיתגורס, המעידה על עיסוק במשולשים ישרי זווית. יותר מאוחר יש לנו את הפפירוס הזה, פפירוס מקורי ובו קטעים מספרו המפורסם של אוקלידס על יסודות הגיאומטריה. פיתגורס חי כ-300 שנה לפני אוקלידס ולא ברור אם היה איש כזה או לא היה. מה שידוע לנו זה שהייתה קיימת כת שנקראה הפיתגוראים והכת הזאת הייתה אולי הקבוצה הראשונה של אנשים שעסקה במחקר מתמטי במובן המודרני של המילה. ובכן, מה אומר משפט פיתגורס? משפט פיתגורס מתייחס למשולש ישר זווית כמו המשולש שאתם רואים כאן בסרטוט שלפניכם, ולשלושה ריבועים שנבנים על צלעות המשולש: הריבוע הצהוב והריבוע הירוק נבנו על הניצבים של המשולש, והריבוע האדום נבנה על היתר שלו. והמשפט אומר שסכום שטחי הריבועים הנבנים על הניצבים, כלומר במקרה הזה סכום השטח של הריבוע הצהוב עם הריבוע הירוק שווה לשטח הריבוע שנבנה על יתר הריבוע האדום. בואו נרשום את זה. במשולש ישר זווית סכום שטחי הריבועים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. דיוגנס וגם פלוטארך מספרים לנו שפיתגורס כל כך התרגש מהתגלית המתמטית הזאת, שהוא הקריב מאה שוורים לאלים לאות תודה על שגילו לו את האמת הנפלאה הזאת. משפט פיתגורס זכה להרבה תשומת לב במהלך ההיסטוריה ובצדק. הוא משפט יסודי וחשוב במתמטיקה ובגיאומטריה. ניתנו לו הרבה מאוד הוכחות, אנחנו נדבר על אחת מן ההוכחות האלה עוד מעט. זהו כמדומני המשפט היחידי במתמטיקה שיש לו הוכחה שניתנה על ידי נשיא של ארצות הברית ב-1881. ובכן, איך נשתכנע באמיתות המשפט הזה? אני יכול להוציא סרט מדידה ולמדוד את אורכי הצלעות. אורך הצלע הזאת הוא 30 סנטימטר, זאת 40 סנטימטר, וזאת 50. ולחשב את שטחי הריבועים שמופיעים כאן בסרטוט. 30 בריבוע נותן לי 900, 40 בריבוע נותן 1600, וכשאני מחבר את שני השטחים הללו אני מקבל 2500 שהוא אכן 50 בריבוע, שטח הריבוע הבנוי על היתר. האם זה משכנע? לכל היותר זה מעיד שבדוגמה הספציפית הזאת, במשולש שמידותיו 30, 40 ו-50, ובגבולות הדיוק של סרט המדידה שלי מתקיים המשפט. זו אינה הוכחה. זה לא משכנע שאותו דבר קורה במשולש אחר או אפילו במשולש הזה, אולי לא דייקתי במדידה. במוזיאוני מדע מדגימים הרבה פעמים את משפט פיתגורס בעזרת דגם מסתובב עשוי פרספקס, בין שני לוחות פרספקס כלואים נוזלים, וכשמסובבים את הדגם הנוזלים עוברים משני הריבועים האלה אל הריבוע הבנוי על היתר וממלאים אותו בדיוק. שוב זו המחשה, הדגמה ויזואלית, שאולי מעוררת מחשבה אצל תלמידים, אבל היא אינה מהווה הוכחה מתמטית. אנחנו מעוניינים לדון בהוכחות של משפט פיתגורס או לפחות בהוכחה אחת כזאת ונשאלת השאלה למה צריך הוכחה? אז תשובה מקובלת אחת ששומעים אותה הרבה פעמים היא שהמתמטיקה נבנית נדבך על גבי נדבך. האמיתות המתמטיות הן אמיתות אבסולוטיות. מה שנכון והוכח מתמטית, נשאר נכון לעד. וכדי לבסס את הקומות העליונות על הקומות התחתונות אנחנו חייבים להיות בטוחים שהקומות התחתונות עומדות יציב ונכונותן נבדקה מעל לכל ספק. זה נכון וחשוב, אבל זו לא הסיבה היחידה ואולי אפילו לא הסיבה העיקרית לחיפוש אחר הוכחות מתמטיות. הוכחה מתמטית, מעבר לכך שהיא מוודאת נכונות משפט מן הסוג הזה בכל המצבים, בכל התרחישים האפשריים. מעבר לכך, אמורה ללמד אותנו משהו על המנגנון מאחורי המשפט, למה הוא נכון? מה קורה, מהו ההסבר לתופעה? אם אנחנו מבינים את המשפט הזה לעומק, אם אנחנו מבינים גם את ההוכחה, אנחנו מסוגלים לחשוב על משפטים דומים, לשער השערות ולקדם את המקצוע על ידי זה שנשער השערות חדשות, נוכיח גם אותן וחוזר חלילה. ההוכחה שנביא היום היא בעצם הוכחה מוכרת מכמה מקורות. היא הופיעה גם בכתבים הסינים העתיקים האלה, במאה ה-16 לספירה, הרבה אחרי פיתגורס, והיא מבוססת על פירוק והרכבה של צורות. אנחנו נראה שיש בידנו לפרק בדרך מסוימת את הריבוע הזה ולהרכיב אותו משני הריבועים האלה. למעשה נראה דבר קצת שונה, אבל ביסודו של דבר זהו הרעיון. הבה נשרטט ריבוע גדול שאורך צלעו סכום אורכי הניצבים, כלומר האורך של הניצב הקצר יותר שנסמן אותו בקו אחד, והניצב הארוך יותר שנסמן אותו בשני קווים. אנחנו יכולים לעשות את זה על ידי שנקצה שני קווים מקבילים, כאשר הקטעים הללו הם הניצב הקצר והקטעים הללו הניצב הארוך. זוויות הריבוע הן זוויות ישרות. ומה שקיבלנו כאן זו צורה שמורכבת משני ריבועים. הריבוע הזה שטחו שווה לשטח הריבוע הירוק, הוא בעצם חופף לו, ואילו הריבוע הזה שצלעו הניצב הארוך יותר חופף לריבוע הצהוב. כמובן, קנה המידה הוא לא אותו קנה מידה כמו בציור מימין, אבל הרעיון אמור להיות ברור. נשארו לנו שני מלבנים שאני חוצה אותם על ידי אלכסונים ומקבל ארבעה משולשים ישרי זווית שכל אחד מהם חופף למשולש המקורי איתו התחלנו. שימו לב, אלו משולשים ישרי זווית שהניצבים שלהם שווים לניצבים הללו, ועל כן לפי משפט חפיפה, לפי צלע זווית צלע, כל אחד מארבעת המשולשים האלה חופף למשולש המקורי שלו. נסתכל עכשיו על אותו ריבוע גדול ונפרק אותו בדרך שונה. אני חוזר ומשרטט את הריבוע הגדול שהופיע בלוח הזה, אלא שהפעם אני מקצה את ה... אני מקצה את הניצבים בצורה שונה. אני מקצה קודם את הניצב הקצר ואחריו את הארוך, שוב את הקצר ואחריו את הארוך, הקצר והארוך וחוזר חלילה, ומחבר את הקודקודים שקיבלתי. ומתקבל כאן ריבוע חדש, שאני טוען, שווה לריבוע האדום, לריבוע iii. בואו נבדוק את זה. שוב, כל אחד מארבעת המשולשים שציירתי הוא המשולש המקורי, ועל כן הצלע הזאת, כמו גם הצלע הזאת, כולן שוות ליתר במשולש המקורי שאני אסמן אותו עכשיו עם שלושה קווים קטנים. יוצא אם כך, שהצורה שקיבלתי בתוך הריבוע הגדול הינה אותו ריבוע אדום שצלעו היא היתר של המשולש המקורי. התבוננו בשני הציורים. הריבוע הגדול פה וכאן הוא אותו ריבוע. פירקתי אותו בשתי דרכים שונות. בכל אחד מהפירוקים קיבלנו ארבעה משולשים שווים למשולש המקורי, ואם אנחנו נקזז אותם, נמחק אותם, נגזור אותם מן הציור, נישאר כאן עם שני הריבועים הבנויים על הניצבים, ואילו כאן עם הריבוע הבנוי על היתר, ועל כן היות ושטח הריבועים הגדולים שווה, זה אותו ריבוע, גם מה שיישאר אחרי שנגזור את המשולשים, שטח הריבוע האדום הבנוי על היתר יהיה שווה לסכום שטחי הריבועים. זו הוכחה המבוססת על פירוק והרכבה של צורות. נחזור עליה במצגת. שטח הריבועים הגדולים שווה, ולכן אם נקזז את ארבעת המשולשים, נישאר עם צורות שוות שטח. האם השתכנעתם? תפקידו של המתמטיקאי להטיל ספק ולחזור על הטיעון, לבדוק כל שלב ושלב בו. דבר ראשון שאמור להיות ברור מן ההוכחה הזאת הוא שהיא לא משתמשת בשום תכונות מיוחדת של המשולש הזה, כמו המידות הספציפיות שלו 30, 40 ו-50. אותה ההוכחה אפשר לחזור עליה בכל דוגמה ודוגמה ותקפותה תישאר בעינה. למען האמת לא דייקתי כל כך בציור. המשולשים אינם בדיוק המשולש הזה, אבל אילו הייתי מדייק, אז היינו מקבלים בדיוק את אותן צורות. אם כך, זאת הוכחה כללית שעובדת בכל מקרה. מה לגבי האמירות שהבלעתי, שטיטאתי מתחת לשטיח במהלך ההוכחה? ראוי לבדוק אותן אחת לאחת. בואו נתעכב על אמירה אחת שמן הראוי שנשים עליה נשים לה לב והיא האמירה שמה שהתקבל כאן הוא אכן ריבוע. נכון שכל ארבע הצלעות הללו הן, היתר במשולש המקורי, אבל כפי שאנחנו רואים במצגת מרובע שארבעת צלעותיו שוות הוא מעוין בדרך כלל, ורק אם זוויותיו ישרות, הוא ריבוע. האמירה שמה שמתקבל בשרטוט הזה הוא ריבוע טעונה בדיקה. לא די בכך שארבעת הצלעות הללו שוות זו לזו ושוות ליתר, צריך להוכיח שהזווית הזאת למשל, הזווית המשורטטת כאן, היא זווית ישרה. ובכן, נסתכל על שתי הזויות הללו: הזווית הזאת שמסומנת בשתי קשתות, והזווית הזאת שמסומנת בקשת אחת. אלו הן שתי הזויות הקודקודיות של משולש ישר זווית איתו התחלנו, שביחד מצטרפות ל-90 מעלות. הזווית הזאת שווה לזווית הזאת, שתי אלה אותו משולש, ושתי אלה ביחד מצטרפות ל-90 מעלות כי הזווית הישרה יחד איתן נותנת 180. כל הזווית הזאת זווית שטוחה בת 180 מעלות, ולכן אם נחסיר את שתי הזויות האלה, נישאר עם זווית של 90 מעלות. ואותו טיעון נכון בכל אחד ואחד מהקודקודים, ועל כן אכן יש לנו ריבוע. היופי בהוכחה הזאת הוא הרעיון שהיה לפיתגורס או לאותם סינים, חכמים סינים משושלת מינג, לקחת את הצורה הזאת ולפרק אותה בדרכים שונות. יש פה איזשהו ניצוץ, איזושהי הברקה, שבדיעבד קצת קשה להסביר איך הגיעו אליה, אולי על ידי הרבה ניסוי וטעייה, אבל היא אותו ניצוץ מתמטי שעומד בבסיס ההוכחה. שימו לב שלא כתבנו בשום מקום ביטוי אלגברי. לא כתבנו את הביטוי המפורסם a בריבוע ועוד b בריבוע שווה c בריבוע, המבטא בצורה אלגברית את משפט פיתגורס, אם a ו- b הם אורכי הניצבים ו-c הוא אורך היתר. אנחנו התייחסנו אל משפט פיתגורס כעובדה גיאומטרית, כפי שהיוונים התייחסו אליה, ובהיבטים האלגבריים נדון בשבוע הבא. אחרי שהשתכנענו והבנו את היופי בהוכחה, בואו ונדון בהרחבות של משפט פיתגורס. בואו נשאל למשל את השאלה האם הוא נכון אך ורק במשולש ישר זווית? קל להשתכנע שישנם משולשים שבהם אי-אפשר לצפות לשום משפט מן הסוג הזה. למשל במשולש שווה צלעות שלושת הריבועים הבנויים על שלושת צלעות המשולש שווים, ובוודאי אין זה נכון שאחד מהם שווה, שטחו שווה לסכום שטחי האחרים. לאמיתו של דבר קיים משפט הפוך למשפט פיתגורס האומר שאם במשולש כל שהוא סכום שטחי הריבועים הבנויים על שתי צלעות שווה לשטח הריבוע על הצלע השלישית, אזי המשולש ישר זווית. אנחנו לא נוכיח את המשפט הזה, אבל אני רוצה להסביר למה אני קורא לו המשפט ההפוך למשפט פיתגורס, מה הפוך בו. שימו לב שבמשפט פיתגורס הייתה לנו הנחה והייתה לנו מסקנה. ההנחה הייתה שהמשולש הינו ישר זווית והמסקנה הייתה שסכום שטחי הריבועים הבנויים על שתי הצלעות הקצרות על שני הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על הצלע השלישית המשפט ההפוך, מה שהיה מסקנה הפך להיות ההנחה ההנחה היא ששטח של הריבוע הזה שווה לסכום השטחים האלה ומה שהיה ההנחה, המשולש הישר זווית הפך להיות המסקנה. בדרך כלל מכך ש-א׳ גורר את ב׳ אי אפשר להסיק ש-ב׳ גורר את א׳ אם אני אומר שכל הבנים בכיתה לובשים מכנסיים אין זה אומר שכל מי שלובש מכנסיים הוא בן. זו עובדה אחרת, במקרה הזה שתי העובדות נכונות אבל העובדה ההפוכה, המשפט ההפוך ממשפט פיטגורס דורש הוכחה. אם כך ראינו שאי אפשר לוותר על ההנחה שהמשולש הינו ישר זווית. מה בדבר ההנחה שהצורות שאנחנו בונים על צלעות המשולש הן דווקא ריבועים? אילו היינו בונים במקום ריבועים מלבנים שאורך צלעם אורך בסיסם הוא הצלע אבל גובהם רק מחצית מהצלע, כלומר אילו במקום הריבוע הזה היינו מסתפקים במלבן הזה במקום בריבוע הירוק היינו מסתפקים במלבן הירוק ובמקום הריבוע הצהוב היינו מסתפקים במלבן הצהוב בואו נמסגר אותם אין ספק שמנכונות המשפט לריבועים נובעת נכונותו גם למלבנים מפני שכל מלבן שטחו חצי משטח הריבוע שהיה קודם ועל כן שטח המלבן האדום הוא חצי משטח הריבוע האדום הוא שווה לכן לשטח המלבן הצהוב ועוד שטח המלבן הירוק. טוב, אז יש לנו את משפט פיטגרוס למלבנים באותה צורה אנחנו יכולים לשרטט במקום מלבן חצי עיגול הבנוי על הצלע נמשיך ונמחק חלקים מהריבוע המקורי ונסתפק בחצי עיגול שקוטרו הצלע של המשולש וחשבון פשוט מעיד שכל חצי עיגול כזה תופס פאי חלקי 8 אתם יכולים לחשב כמה זה באחוזים, 30 וכמה אחוזים משטח הריבוע המקורי ועל כן שטח חצי העיגול האדום שווה לשטח חצי העיגול הצהוב ועוד שטח חצי העיגול הירוק. למעשה כל צורה שלא נחשוב עליה אם היא משתנה באופן פרופורציונאלי לצלעות תניב לנו משפט פיתגרוס לצורה הזאת, למשל אנחנו יכולים לחשוב על משפט פיתגרוס לארנבים כמו בשקף שלפנינו שימו לב שציירתי שלושה ארנבים שמתייחסים זה לזה ביחסים, באותה פרופורציה שקיימת בין הריבועים אילו הייתי מכניס את הארנב הקטן לריבוע הירוק את הארנב הבינוני לריבוע הכחול והארנב הגדול לריבוע האדום כל אחד היה מתקבל מן האחר על ידי תהליך של זום ומשפט פיתגורס לארנבים במקרה זה יגיד ששטח הארנב הגדול שווה לסכום שטחי הארנבים הקטנים. בואו נסכם התחלנו מאיזכור של משפט בעל חשיבות היסטורית משפט שמבחינה מסוימת היבא את ראשית של המתמטיקה כפי שאנחנו מבינים אותה היום עמדנו על הצורך בהוכחה שלו נתנו הוכחה כזו, בדקנו את ההוכחה הזאת מכמה זוויות ניסנו להכליל אותה וגילנו כמה תובנות התהליך שעשינו הוא התהליך שעושה מתמטיקאי או תלמיד של מתמטיקה כאשר הוא בא לדון בעובדה חדשה ותגלית חדשה. לא אמדנו עדין על השימושים ובהם נדון בהמשך.
