אם שמתם לב הפרק הנוכחי עוסק במידה רבה ביחסי הגומלין בין אלגברה וגיאומטריה. אנחנו התחלנו ממשפט פיתגורס שהניסוח שלו היה גיאומטרי ללא כל אלגברה, נתנו לו גם הוכחה גיאומטרית. אחר כך ניסחנו אותו בעזרת אלגברה. מזה עברנו לדון בשאלות על מספרים, שהן שאלות אלגבריות בקיום מספרים אי רציונליים. אחרי כן חזרנו אל הגיאומטריה והשתמשנו במשפט פיתגורס ובתיאור הקרטזי. התיאור של רנה דקארט של המישור, כזוגות של נקודות בלי מספרים ממשיים. על מנת לכתוב משוואה של מעגל. נחזור עכשיו למשפט פיתגורס ונראה עוד שימוש מאוד יפה שהגיאומטריה מאפשרת לנו לעשות כדי לפתור בעיה אלגברית. והבעיה הינה הבעיה של שלשות פיתגוראיות. על מנת להבין את הבעיה נחזור אלפיים שנה אחורה לעיניהן של פיתגוראים ונסתכל במשולש ישר זווית שאורך צלעותיו סומנו: A, B, C. מאלה A ו-B היו הניצבים C היה היתר. אילו אנחנו נבחר בתור A ו-B אורכים שלמים, נגיד כפולות שלמות של מטר אחד, אנחנו נקבל ש-C יהיה נתון בתוך המשוואה: C בריבוע שווה A בריבוע ועוד B בריבוע, בתור השורש של A בריבוע ועוד B בריבוע. אבל לפעמים, אם נהיה ברי מזל, השורש הזה גם הוא יהיה מספר שלם ובדרך כלל לא. למשל אם A שווה 3 ו-B שווה 4, C יוצא שורש של 9 ועוד 16, שורש של 25, למזלנו הוא יצא שלם. אם A שווה 5 ו-B שווה 12 C יוצא שורש של 25 ועוד 144 שורש של 169 13. שוב התמזל מזלנו ו-C יצא שלם. אבל אם A שווה 4 ו-B שווה 10 C יוצא שורש של 16 ועוד 100, שורש של 116 זה בערך 10.77. זהו אינו מספר שלם. האמת היא זה לא מספר רציונאלי. אנחנו לא נוכל לתאר אותו, לא כשבר עשרוני ולא כשבר פשוט נצטרך אינסוף ספרות אחרי הנקודה כדי לתאר אותו בצורה מדויקת. הן מטעמים פרקטיים והן מטעמים אסתטיים היוונים התעניינו בשאלה, מתי אפשר לבנות משולש ישר זווית שכל שלושת צלעותיו הן מספרים שלמים? נבין את ההגדרה שלשה פיתגוראית הינה שלשה או שלושה מספרים שלמים: A, B, C המקיימים את המשוואה: C בריבוע שווה A בריבוע ועוד B בריבוע. אני חוזר, אם יש לנו משולש ישר זווית ששלושת צלעותיו אורכיהן הוא מספר שלם אז ממשפט פיתגורס מתקבלת שלשה פיתגוראית. גם ההפך נכון, את זה תראו באחד התרגילים שתתבקשו לעשות בבית. בהינתן שלושה מספרים שלמים המקיימים את היחס הזה, ניתן לבנות משולש ישר זווית שאלה מידותיו. העניין בשלשות פיתגוראיות העסיק את היוונים הרבה מאוד. איך נמצא את כולם? בשתי הדוגמאות הראשונות התמזל מזלנו ו-C יצא שלם, בדוגמא השלישית לא התמזל מזלנו. האם על ידי תהליך של ניסוי וטעייה אנחנו פשוט נחפש ננחש A ו-B וננסה לחשב את C ולקוות שיצא מספר שלם. בדרך זו סביר להניח שברוב המקרים אנחנו נכשל. היוונים התעניינו בדרך שיטתית לקבל שלשות פיתגוראיות ואת כל השלשות הפיתגוראיות. מה שאנחנו נראה עכשיו הגיע בתקופה קצת יותר מאוחרת זו דרך כזאת המסתמכת על הרעיונות של דקארט על הגיאומטריה האנליטית. הבעיה שלנו אם כך: איך מוצאים את כל השלשות הפיתגוראיות? את כל השלשות של מספרים שלמים המקיימים את המשוואה הנפלאה הזו והשלב הראשון בחיפוש אחרי שלשות כאלו יהיה שלב של רדוקציה. רדוקציה הוא תהליך מחשבתי שבו ממירים בעיה אחת בבעיה אחרת שהיא יותר פשוטה. ומראים שאם יודעים לפתור את הבעיה היותר פשוטה, אז מצליחים לפתור גם את הבעיה היותר מסובכת. זה מזכיר לי בדיחה מפורסמת על ההבדל בין מתמטיקאי לפיזיקאי. שואלים את שניהם איך הם ידליקו סיר עם מים רותחים על תנור ושניהם נותנים את אותו פתרון: מסובבים את הגז, מציתים את הגפרור ומדליקים את הגז ומרתיחים את המים. אחר כך אומרים להם, טוב, עכשיו יש לכם אותה הבעיה אבל התנור עומד בפינה השנייה של החדר. הפיזיקאי שוב חוזר על אותו פתרון: מסובבים את הגז, מדליקים את הגפרור, מרתיחים את המים. המתמטיקאי אומר: לא, מעבירים את התנור לצד השני של החדר ואת הבעיה הזו כבר פתרנו. מה שהמתמטיקאי עשה, הוא עשה רדוקציה של הבעיה לבעיה מוכרת. אנחנו לא נעשה רדוקציה כל כך טיפשית כאן, נעשה רדוקציה של מספר המשתנים מבעיה בשלושה משתנים לבעיה בשני משתנים. הרעיון, ההברקה, הוא הרעיון הבא, אם אנחנו מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-C בריבוע אנחנו מגיעים למשוואה הבא: 1 שווה A בריבוע חלקי C בריבוע ועוד B בריבוע. חלקי C בריבוע ואם אנחנו נקרא ל-A חלקי C X. ול-B חלקי C Y. אלה הם עכשיו מנות של מספרים שלמים. כלומר X ו-Y הם מספרים רציונאלים לא עוד שלמים בדרך כלל. למשל בדוגמה המפורסמת שחזרנו עליה שוב ושוב של שלוש, ארבע וחמש, X יהיה שלוש חמישיות, Y יהיה ארבע חמישיות. אבל אלה הם זוג של מספרים רציונאלים המקיימים את המשוואה X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה 1. X בריבוע זה A חלקי C בריבוע. Y בריבוע זה B בריבוע חלקי C בריבוע. סכומם הוא 1 מפני שאם תכפילו ב-C בריבוע, תעבירו את C בריבוע לאגף שמאל, תקבלו את המשוואה המקורית. מה עשינו? התחלנו עם פתרון שאנחנו מניחים שקיבלנו אותו במשפט פיתגורס, לסליחה, פתרון של שלשה פיתגוראית במספרים שלמים וקיבלנו ממנו זוג מספרים, לא שלושה, זוג. הורדנו את מספר הנעלמים מ-A, B, C משלושה לשניים: X, Y. המחיר ששילמנו, ש-X ו-Y אינם עוד שלמים. אלא הם מספרים רציונאלים. אבל המשוואה הזו היא משוואה מוכרת. זוהי כפי שראינו בשיעור האחרון, משוואת מעגל היחידה סביב הראשית. והמשמעות של העובדה שזוג המספרים X וY מקיימים את המשוואה הזאת היא שהנקודה P ששיעוריה הם X ו Y נמצאת על מעגל היחידה סביב הראשית, אני לא אחזור על זה. ושיעוריה רציונלים. שניהם מספרים רציונלים, שניהם מספרים פשוטים. העובדה ששיעוריה הם רציונלים מקורה בעובדה שהתחלנו עם שלשה פיתגוראית התחלנו עם A B ל-C שלמים. ועל כן, אילו היתה לנו שלשה פיתגוראית יכולנו למצוא נקודה כזו, נקודה כזו תיקרא בקיצור נקודה רציונלית P הינה נקודה רציונלית על מעגל היחידה. את התהליך שעשינו מימין לשמאל יצאנו משלשה פיתגוראית והגענו אל נקודה רציונלית על מעגל היחידה אנחנו יכולים לעשות גם משמאל לימין. אנחנו יכולים להתחיל מנקודה רציונלית על מעגל היחידה. מה זה נקודה רציונלית על מעגל היחידה? זה נקודה ששיעוריה הם X ו-Y הם מספרים רציונלים והם מקיימים את המשוואה הזאת. היות וכידוע לכם לכל שני מספרים רציונלים יש מכנה משותף. כל זוג שברים אפשר לבטא על ידי מכנה משותף, אנחנו יכולים למצוא מספר שלם, C, שהוא מכנה משותף לשניהם. ולכתוב את X כ-A חלקי C ואת Y כ-B חלקי C. אני חוזר התחלנו מתוך, עכשיו אנחנו מתחילים מצד שמאל, אנחנו מתחילים מנקודה רציונלית על מעגל היחידה. הנקודה הזו היא X ו-Y שני השיעורים שלה הם מספרים רציונלים. והעובדה שהם על מעגל היחידה אומרת שהשיעורים הללו מקיימים את המשוואה הזאת. אנחנו יכולים למצוא מכנה משותף ולכתוב את X ו-Y כ-A חלקי C ו-B חלקי C. כאשר אנחנו מציבים את הערכים הללו והפעם A B ו-C הם שלמים במשוואה הזאת, אנחנו מקיימים את המשוואה הזאת. וכאשר אנחנו מכפילים ב-C בריבוע את שני האגפים, אנחנו חוזרים אל המשוואה המקורית. אני לא כותב את כל הדברים האלה מפני שהכל כבר כתוב על הלוח, פשוט במקום ללכת מצד ימין לצד שמאל אני הולך חזרה מצד שמאל לצד ימין, אבל בואו ננסח את התובנה הזאת כמשפט המבטא את הקשר בין נקודות רציונליות על מעגל היחידה ושלשות פיתגוראיות, משפט: בהינתן שלושה פיתגוראית ABC הנקודה XY אני שומר אותה כ-P כאשר X זה A חלקי C ו-Y הוא B חלקי C, היא נקודה רציונלית על מעגל היחידה ולהיפך. בהינתן נקודה רציונלית YX על מעגל היחידה יש שלשה פיתגוראית ABC המולידה אותה שממנה היא מתקבלת. את המשפט הזה הוכחנו הוכחה מלאה. אבל יש נקודה אחת עדינה שאני רוצה להתעכב עליה כרגע. התהליך שתיארתי מימין לשמאל ומשלשות פיתגוראיות אל נקודות רציונליות היה חד משמעי, בהינתן ABC מצאתי את X ו-Y התהליך ההפוך לא היה חד משמעי. בהינתן X ו-Y, מספרים רציונלים, אמרתי לכם שאנחנו נמצא מכנה משותף ונבטא את X כ-A חלקי C ואת Y כ-B חלקי C. אבל מכנה משותף אינו יחיד, למשל אם אני מתחיל מהפתרון שלוש חמישיות בריבוע ועוד ארבע חמישיות בריבוע שווה אחד. אם אני מתחיל מהנקודה הרציונלית ממעגל היחידה ששיעור ה-X שלה הוא שלוש חמישיות, שיעור ה-Y הוא ארבע חמישיות, אני יכול לקבל את AB ו-C בתור שלוש, ארבע וחמש כמובן אבל אני יכול גם להסתכל על שש, שמונה ועשר שלוש חמישיות הוא גם שש עשיריות וארבע חמישיות, הוא גם שמונה עשיריות עשר גם הוא מכנה משותף, גם חמש עשרה הוא מכנה משותף אני יכול להסתכל על השלשה הפיתגוראית: תשע, שתים עשרה וחמש עשרה וכן הלאה. מה משותף לכל השלשות הללו? השלשות הללו כולן פרופורציונליות זו לזו. השלשה שש שמונה ועשר התקבלה מהשלשה שלוש ארבע וחמש על ידי הכפלה של שלושת הגורמים בשניים. השלשה הזאת התקבלה על יד הכפלה בשלוש. משולשים שצלעותיהם פורפורציונליות נקראים משולשים דומים. אם יש לנו משולש ישר זווית שצלעותיו הן AB ו-C ואנחנו מנפחים אותו ביחס K, אנחנו מקבלים משולש ישר זווית דומה שצלעותיו הן K פעמים A סליחה K פעמים A. זה K פעמים B. ו-K פעמים C. היות והדרך היחידה לקבל משלשה פיתגוראית אחת שלשה פיתגוראית אחרת שמתאימה לאותה נקודה רציונלית היא דרך כזאת של ניפוח אנחנו מגיעים למסקנה שמנקודה רציונלית אחת מנקודה רציונלית XY על מעגל היחידה ניתן לקבל אוסף אין סופי של שלשות פיתגוראיות. כן קיבלתי שלשה פיתגוראית אחת A, B ו-C אתם יכולים לקבל את פעמיים אותה שלשה, שלוש פעמים אותה שלשה, ארבע פעמים אותה שלשה וכן הלאה אבל כולן, שכולן מייצגות משולשים דומים. משולשים ישרי זווית, בעלי אותן זוויות. או אם אתם רוצים משולשים שהתקבלו על ידי תהליך של זום. אחרי שהתייחסנו לנקודה העדינה הזאת אנחנו יכולים לשפר קצת את ניסוח המשפט, לא נעשה את זה בכתב ולומר שיש לנו התאמה חד חד ערכית. בין נקודות רציונליות על מעגל היחידה ומחלקות שקילות של שלשות פיתגוראיות שמתקבלות זו מזו על ידי תהליך של ניפוח או דמיון. דרך אחרת לחשוב על מה שעשינו מתוארת בשירטוט שלהלן. התחלנו עם משולש ישר זווית שאורך צלעותיו הם AB ו-C ואילה היו מספרים שלמים. שירטטנו אותו במישור הקרטזי, זהו המישור הקרטזי. וכיילנו אותו על ידי זום, על ידי ניפוח או כיווץ, במקרה שלנו זה כיווץ. כך שהקודקוד הזה ינוח על מעגל היחידה. מה עשינו? את היתר שאורכו היה C החלפנו עכשיו ביתר שאורכו אחד. כלומר חילקנו את אורך הייתר ב-C או אם אתם רוצים ניפחנו פי אחד חלקי C את המשולש. גם שני הניצבים השתנו באותו יחס הניצב הזה הפך להיות הניצב הזה, שאורכו עכשיו B חלקי C והניצב הזה הפך להיות הניצב הזה שאורכו A חלקי C והמשולש הכתום הוא משולש המקיים B חלקי C ועוד A חלקי C בריבוע שווה אחד בריבוע. וזו משוואת מעגל היחידה. הציור הגיאומטרי ממחיש בצורה של דמיון משולשים את התהליך שעשינו קודם מימין לשמאל או משמאל לימין בצורה אלגברית. התהליך משמאל לימין מתחיל במשולש הזה ומנפח אותו חזרה אל המשולש שצלעותיו הן שלמות. התהליך החשוב הזה שקראנו לו רדוקציה מאפשר לנו להחליף את הבעייה של מציאת כל השלשות הפיתגוראיות בבעיה שקולה של מציאת כל הנקודות הרציונליות על מעגל היחידה אבל איך עושים את, איך פותרים את הבעיה השנייה?
