נשאר לנו אם כך לפתור את הבעיה של מציאת כל הנקודות הרציונליות על מעגל היחידה, כלומר כל אותן נקודות X, Y המקיימות את המשוואה הזאת. ומה שאנחנו נעשה, אנחנו נגייס לעזרתנו את הגיאומטריה האנליטית של דקארט. נניח שמצאנו נקודה כזאת ונסמן אותה לרגע x0 y0 ונראה מה אנחנו יכולים להסיק על הנקודה הזו. נחשוב עליה לרגע כעל נקודה קבועה שכבר נמצאה. הנה, זו הנקודה. והמעגל הוא מעגל היחידה. תסלחו לי על הציור, דמיינו שזה אכן מעגל ולא ביצה. ואנחנו שמים לב שעל מעגל היחידה יש עוד נקודות מאוד פשוטות, אלה הן הנקודות שבהן הוא חותך את ציר X וציר Y. הנקודה ששיעוריה (1,0) היא נקודת החיתוך עם ציר ה-X, אבל אנחנו נתמקד עכשיו בקוטב הצפוני, נסמן אותו N נקודת החיתוך עם ציר ה-Y, שיעור ה-X הוא 0. הנקודה הזו היא על ציר ה-Y, ה-X שלה הוא 0. ושיעור ה-Y הוא כמובן 1. נתבונן בישר שמחבר את הנקודה P שקיומה, אנחנו מניחים מובטח, נמצאה נקודה רציונלית כזאת ו-N. מהו שיפוע הישר הזה? שיפוע הישר ייקרא t. ואיזו נוסחה אנחנו יכולים למצוא לו? ה-t הזה שווה להפרש בין קואורדינטות ה-Y של N ו-P מחולק בהפרש בין קואורדינטות ה-X. ההפרש בין קואורדינטות ה-Y הוא קואורדינטת ה-Y של N ש-1 פחות קואורדינטת ה-Y של P אשר הינה Y-0 מחולק בקואורדינטת ה-X של N שהיא 0, פחות קואורדינטת ה-X של P שהיא x0. שימו לב לסימן במקרה שלנו, בשרטוט הזה, x0 היא נקודה משמאל על ציר X, משמאל לראשית ועל כן הינה שלילית, ו-0 פחות x0 הינו אכן הגידול ב-X בין P ל-N שהוא חיובי. זה שווה 1 פחות y0 מחולק במינוס x0 או אם אתם רוצים, y0 פחות 1 מחולק ב-x0, זהו שיפוע הישר ומשוואת הישר הזה נתונה על ידי y שווה t פעמים x ועוד 1 מפני שזוהי משוואה של ישר ששיפועו t וכאשר x שווה 0 הוא חותך את ציר ה-y ב-1, כמתבקש. ואכן בואו נעשה בדיקה כפולה, כאשר x שווה 0 כפי שאמרנו y יוצא 1 וזוהי הנקודה הזאת. כאשר x שווה x0 y יוצא t פעמים x0 ועוד 1, אבל t פעמים x0 הוא y0 פחות 1 ועוד 1 זה y0, אנחנו חוזרים אל הנקודה P. אז זוהי משוואה של ישר שעובר בין P ו-N P ו-N. אבל נקודה P מקיימת את משוואת הישר הזה וגם את המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה 1. סימולטנית, הנקודה P מקיימת את שתי המשוואות הללו. בואו ננסה לפתור את שתי המשוואות הללו ולראות מהן כל הנקודות שמקיימות אותה. נחלץ את y מן המשוואה הזו. הוא כבר מחולץ לנו, ונציג אותו כאן. נעשה קצת מניפולציות אלגבריות: x בריבוע ועוד tx ועוד 1 זה הערך של y בריבוע שווה 1. אני חוזר, אם הנקודה x, y והנקודה P היא נקודה כזו, מקיימת גם את המשוואה הזו וגם את המשוואה הזו אז x צריך לקיים את המשוואה הזאת. שימו לב, זו משוואה אחת בנעלם 1, חילצנו את ה-y. טיפה אלגברה, x בריבוע ועוד יש לנו כאן בינום, t בריבוע, x בריבוע ועוד פעמיים מכפלת הראשון בשני 2tx ועוד 1 בריבוע זה 1, שווה 1. נחסיר אחד משני האגפים ונקבל x בריבוע כפול 1 ועוד t בריבוע. אני אוסף את שני האיברים האלה ביחד ועוד 2tx שווה 0. כן, את ה-1 צמצמנו. בשלב הזה אנחנו רואים ש-x כופל את כל אגף שמאל ואנחנו היינו רוצים לחלק בו. זה מותר בתנאי ש-x שונה מ-0. בואו נעצור רגע וננסה להבין מה המשמעות x שווה 0. x שווה 0 פותר את המשוואה הזו. האם יש לנו נקודה שפותרת את שתי המשוואות האלה שעבורה x שווה 0? כן. הנקודה x שווה 0, y שווה 1 פותרת את המשוואה הזו וגם את המשוואה הזו. ואיזו נקודה זו? x שווה 0, y שווה 1. זהו הקוטב הצופני, הוא אכן על שתי המשוואות אבל זו לא הנקודה שבה אני מתעניין. אז אם נניח ש-x שונה מ-0, זה לא מפתיע שאנחנו מקבלים את הקוטב הצפוני בתור פתרון, הוא אכן מונח על המעגל ועל הישר. אבל אם נניח שאנחנו לא רק מתייחסים אליו אנחנו רוצים את הנקודה השנייה, אז מותר לנו לחלק ב-x ולקבל x כפול 1 ועוד t בריבוע שווה ועוד 2t שווה 0, ואם נעביר אגפים, נקבל ש-x שווה מינוס 2t מחולק ב-1 ועוד t בריבוע. מהו ה-y? את ה-y נקבל למשל מהמשוואה הראשונה y שווה tx ועוד 1 שווה t כפול הערך הזה נותן לנו מינוס פעמיים t בריבוע חלקי 1 ועוד t בריבוע, וזה צריך להוסיף 1 1 זה 1 ועוד t בריבוע חלקי 1 ועוד t בריבוע ומתקבל פה 1 פחות t בריבוע חלקי 1 ועוד t בריבוע. זהו ה-y המתקבל. נקיף גם אותו במסגרת. מה עשינו? בואו נחזור רגע על התהליך שהוא בעצם תרגיל נחמד בגיאומטריה אנליטית הנחנו שיש לנו נקודה כזו: x0, y0 חישבנו את השיפוע של הישר המחבר אותה לקוטב הצפוני, הוא היה נתון על ידי המשוואה הזאת ופתרנו את זוג המשוואות המתוארות כאן כדי למצוא את שתי הנקודות, הקוטב הצפוני ו-P ששתי המשוואות מקיימות בו זמנית, כלומר את החיתוך של הישר עם המעגל. נקודה אחת הינה נקודה טריוויאלית, אנחנו רוצים להיפטר ממנה. והנקודה השנייה שיעוריה נתונים בעזרת השיפוע, בעזרת הנוסחאות הנחמדות הללו. למה כל זה מועיל לנו? זה מועיל לנו בגלל האבחנה המאוד חשובה אולי המרכזית בכל התהליך, והיא האבחנה שאם השיעורים של P היו רציונליים גם השיפוע יוצא מספר רציונלי. אנחנו לא מתעניינם בנקודה P כלשהי. אנחנו מתעניינים בנקודה P ששיעוריה x0 ו-y0 הם רציונליים, אבל אם x0 ו-y0 הינם רציונליים, כלומר שברים פשוטים, אתם יודעים מכיתה ב׳ או ג׳. כאשר אתם מחסירים, מחלקים, עושים את ארבע פעולות החשבון היסודיות על שברים פשוטים אתם לא יוצאים מתוך תחום השברים הפשוטים כלומר המספרים הרציונלים ולכן גם t יוצא שבר רציונלי ולהפך, אם t היה מספר רציונלי, הנוסחאות הללו, הנוסחאות היפות הללו מראות לנו ש x ו- y מתקבלים שוב מארבע פעולות החשבון הבסיסיות כדי לקבל את x אנחנו צריכים להכפיל את ה- t בשניים, לקחת את הנגדי שלו, פה במכנה להעלות אותו בריבוע, להוסיף אחד ולחלק את המונה במכנה. כל התהליכים הללו משאירים אותנו בתוך אותו עולם של מספרים רציונלים, x יוצא רציונלי וכנ"ל y יוצא רציונלי. מה התובנה? התובנה היא שניתן למיין את כל הנקודות הרציונליות על מעגל היחידה בעזרת השיפועים הללו. כל נקודה רציונלית נותנת לנו ישר בעל שיפוע רציונלי וכל שיפוע רציונלי נותן לנו נקודה רציונלית. בואו נרשום את זה. נמחק את הציור, לא נזדקק לו עוד. נרשום במקום זה את התובנה: נקודה P X 0 Y 0 רציונלית על מעגל היחידה נותנת ישר PN בעל שיפוע רציונלי T ולהפך: כל שיפוע רציונלי t נותן נקודה רציונלית על מעגל היחידה ששיעוריה נתונים. נקודה רציונלית על מעגל היחידה ששיעוריה נתונים על ידי הנוסחאות הרשומות. כדי לסיים לגמרי את הבעיה המקורית כל שנותר הוא להציב בשביל t מספר רציונלי המיוצג כמנה של שני מספרים שלמים, m חלקי n, ולפתח, בואו נעשה את זה, x יוצא מינוס 2m חלקי n חלקי אחד ועוד m בריבוע חלקי n בריבוע. ואם אתם תכפילו מונה ומכנה ב n בריבוע, תכפילו מונה ומכנה ב n בריבוע, כמובן לא שיניתם את הערך של x וקיבלתם מינוס 2mn חלקי n בריבוע ועוד m בריבוע. זהו ה- x. ב y נעבור ללוח השני ה y הוא 1 פחות t בריבוע חלקי 1 ועוד t בריבוע אבל ה t אנחנו מניחים הוא מספר רציונלי שבר פשוט וה- y יוצא 1 פחות m בריבוע חלקי n בריבוע חלקי 1 ועוד n בריבוע חלקי n בריבוע ושוב נכפיל מונה ומכנה באותו גודל n בריבוע ונקבל n בריבוע פחות m בריבוע חלקי n בריבוע ועוד m בריבוע זהו ה y. למזלנו ה x וה y כבר כתובים בעזרת מכנה משותף. המכנה אנחנו לא צריכים לעבוד עכשיו כדי למצוא מכנה משותף. המכנה של שניהם הוא המספר השלם n בריבוע ועוד m בריבוע. ועל כן קיבלנו, מקבלים את השלשה הפיתגוראית. אם אתם זוכרים, ה x היה ה a חלקי c. נכתוב את זה אולי בצבע אחר כדי להזכיר לנו עם מה התחלנו. ה x היה צריך להיות a חלקי c וה-y היה צריך להיות b חלקי c, סליחה, בכתיב הזה, הוא a חלקי c, ואם כך אנחנו רואים שלשה פיתגוראית a,b,c שווה a הוא מינוס 2mn ה b הוא n בריבוע פחות m בריבוע וה c בשני המקומות הוא n בריבוע ועוד m בריבוע אם סימן המינוס לא מוצא חן בעיניכם, אתם יכולים להכפיל את a במינוס 1, כמובן עם a,b,c שלשה פיתגוראית גם מינוס a,b,c היא שלשה פיתגוראית. בואו נסתכל במספרים שלמים מה זה אומר? זה אומר שאם יש לנו שבר שמיוצג כ m חלקי n כלומר אם בחרנו את m ו -n, את המונה m והמכנה n של t ואנחנו משתמשים בשבר הזה גאומטרית לצייר ישר דרך הקוטב הצפוני ששיפועו m חלקי n, אנחנו מקבלים נקודה רציונלית על מעגל היחידה וממנה שלשה פיתגוראית שמיוצגת על ידי 2mn n בריבוע פחות m בריבוע ו n בריבוע ועוד m בריבוע, ולהפך, כל שלשה פיתגוראית מתאימה לנקודה רציונלית על מעגל היחידה ולכן לישר בעל שיפוע t, ואם אנחנו מבטאים את השיפוע הזה כ m חלקי n השלשה הפיתגוראית הזאת מתקבלת כך. בתור דוגמה מספרית בואו נבחר n=7 m=2 מתקבלת השלשה הפיתגוראית 4 פעמים 7 28 49 פחות 4 45 ו 49 ועוד 4 53. הנה דוגמה לשלשה פיתגוראית נחמדה שלא הייתם מצליחים לקבל על ידי ניסוי וטעייה, על ידי ניחוש, אני מניח. לסיכום כל הפרק על משפט פיתגורס, אני רוצה לחזור ולציין שהפרק הזה העלה על הבמה משפט חשוב מאוד, משפט עתיק יומין, והשתמש בו כבמה להציג את אחדות המתמטיקה. בואו נראה מה עשינו. התחלנו במשפט בתחום הגיאומטריה שהניסוח שלו וההוכחה שלו היו גיאומטריים, השתמשנו בו כבמה לדון בצורך בהוכחה ומהי הוכחה וכיצד ניתן להרחיב הוכחות וכן הלאה. מזה עברנו לדיון בהיבט האלגברי שלו וזה הוביל אותנו לשאלה מהו מספר ומהם מספרים רציונליים, אי רציונליים, ראינו שלא כל מספר ניתן לביטוי כשבר פשוט או שבר עשרוני. משם עברנו לבעיה של ייצוג נקודות על ציר המספרים במימד אחד או במישור בעזרת מספרים ממשיים וזה הוביל אותנו לרעיון של דקארט של המישור הקרטזי. המישור הקרטזי אפשר לנו לחזור ולדון בבעיה האלגברית של שלשות פיתגוראיות, דיון גאומטרי בעזרת הגיאומטריה האנליטית ולמצוא פתרון לבעיה האלגברית של מציאת כל השלשות הפיתגוראיות בדרכים גאומטריות. תודה רבה.
