הנה, זו הנקודה.
והמעגל הוא מעגל היחידה.
תסלחו לי על הציור, דמיינו שזה אכן מעגל ולא ביצה.
ואנחנו שמים לב שעל מעגל היחידה יש עוד נקודות
מאוד פשוטות, אלה הן הנקודות שבהן הוא חותך את ציר X וציר Y.
הנקודה ששיעוריה (1,0) היא נקודת
החיתוך עם ציר ה-X, אבל אנחנו נתמקד עכשיו בקוטב הצפוני,
נסמן אותו N נקודת החיתוך עם ציר ה-Y, שיעור ה-X הוא 0.
הנקודה הזו היא על ציר ה-Y, ה-X שלה הוא 0.
ושיעור ה-Y הוא כמובן 1.
נתבונן בישר שמחבר את הנקודה P שקיומה,
אנחנו מניחים מובטח, נמצאה נקודה רציונלית כזאת ו-N.
מהו שיפוע הישר הזה?
שיפוע הישר ייקרא t.
ואיזו נוסחה אנחנו יכולים למצוא לו?
ה-t הזה שווה להפרש בין קואורדינטות
ה-Y של N ו-P מחולק בהפרש בין קואורדינטות ה-X.
ההפרש בין קואורדינטות ה-Y הוא קואורדינטת ה-Y של N ש-1
פחות קואורדינטת ה-Y של P אשר הינה Y-0 מחולק
בקואורדינטת ה-X של N שהיא 0,
פחות קואורדינטת ה-X של P שהיא x0.
שימו לב לסימן במקרה שלנו, בשרטוט הזה,
x0 היא נקודה משמאל על ציר X, משמאל לראשית ועל כן הינה שלילית,
ו-0 פחות x0 הינו אכן הגידול ב-X בין P ל-N שהוא חיובי.
זה שווה 1 פחות y0 מחולק במינוס
x0 או אם אתם רוצים, y0 פחות 1 מחולק ב-x0,
זהו שיפוע הישר ומשוואת הישר
הזה נתונה על ידי y שווה
t פעמים x ועוד 1 מפני שזוהי
משוואה של ישר ששיפועו t
וכאשר x שווה 0 הוא חותך את ציר ה-y ב-1, כמתבקש.
ואכן בואו נעשה בדיקה כפולה, כאשר x שווה 0 כפי שאמרנו y יוצא 1 וזוהי הנקודה הזאת.
כאשר x שווה x0 y יוצא t פעמים x0 ועוד 1,
אבל t פעמים x0 הוא y0 פחות 1 ועוד 1 זה y0, אנחנו חוזרים אל הנקודה P.
אז זוהי משוואה של ישר שעובר בין P ו-N P ו-N.
אבל נקודה P מקיימת את משוואת הישר הזה וגם את
המשוואה x בריבוע ועוד y בריבוע שווה 1.
סימולטנית, הנקודה P מקיימת את שתי המשוואות הללו.
בואו ננסה לפתור את שתי המשוואות הללו ולראות מהן כל הנקודות שמקיימות אותה.
נחלץ את y מן המשוואה הזו.
הוא כבר מחולץ לנו, ונציג אותו כאן.
נעשה קצת מניפולציות אלגבריות: x בריבוע ועוד
tx ועוד 1 זה הערך של y בריבוע שווה 1.
אני חוזר, אם הנקודה x, y והנקודה P היא נקודה כזו,
מקיימת גם את המשוואה הזו וגם את המשוואה הזו אז x צריך לקיים את המשוואה הזאת.
שימו לב, זו משוואה אחת בנעלם 1, חילצנו את ה-y.
טיפה אלגברה, x בריבוע ועוד יש לנו כאן בינום, t בריבוע,
x בריבוע ועוד פעמיים מכפלת הראשון בשני 2tx
ועוד 1 בריבוע זה 1, שווה 1.